高考数学一轮复习题型讲解+训练：正(余)弦定理的应用（原卷版+解析）

2023高考一轮复习讲与练

专题25正（余）弦定理的应用

正（余）弦定理的应用

求

求求

角

边面

积

练布考照方向

1.（2023・新高考n卷T18）记士ABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为b,c,分别以〃，b,

为边长的三个正三角形的面积依次为H，$2,S3,已知H-S2+S3=等,sinB=；

（1）求cABC的面积；（2）若sinAsinC=S^，求从

3

2.（2023・全国乙（文）T17）记,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A—=sinBsin(C—A).

（1）若A=25,求C；（2）证明：2/=〃+c2

3.（2023•全国乙（理）T17）记.ABC的内角的对边分别为a/,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

(1)证明：2/=Z?2+c2;

25

(2)若。=5,cosA二不■,求/ABC的周长.

4.(2023•北京卷T16)在ABC中，sin2C=A/3sinC

(1)求NC；

（2）若Z?=6,且，ABC的面积为66，求AABC的周长.

3

5.（2023•浙江卷T18）在，ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4。=&c,COsC=《.

(1)求sinA的值;

（2）若Z?=ll,求一ABC的面积.

6.（2023•浙江卷T11）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为

“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

412”其中a,b,。是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

a=y/2,b=^/3,c=2,则该三角形的面积S=.

7.（2023年高考全国甲卷理科）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单

位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4B.C

三点，且A.B.C在同一水平面上的投影A',3',C'满足NA，C8=45°,ZA;B'C'=60°.由C点测

得B点的仰角为15。，班'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45。，则儿c两点到水平面

AB'C的高度差A4'—CC'约为（6〃1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

8.（2023•天津高考）在△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA:sinB：sinC=2：I：^2,

b=-^2.

⑴求a的值；

（2）求cosC的值；

⑶求sin（2C一袭）的值.

9、（2023•新高考II卷）在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+\,c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；

（2）是否存在正整数a,使得△A8C为钝角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

10.（2023•全国乙卷）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为小，8=60。，a2+c2=3ac,

贝I」b=.

11.（2023•浙江高考）在△ABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中点，AM=2小,贝！JAC=,

cosNM4C=.

12.（2023年高考数学课标HI卷理科）在△ABC中,cosC=—,AC=4,BC=3,贝cosB二

D.-

3

13.（2023年高考数学课标全国I卷理科）AA5c的内角A,民C的对边分别为a,b,c.设

（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

⑴求A；（2）若0a+人=2c,求sinC.

14.（2023年高考数学课标HI卷（理））△?15c的内角的对边分别为c,若△ABC的面积为

15.(2023年高考数学课标H卷(理))在△ABC中，cos-=—,BC=1,AC=5,则()

25'，

A.4A/2B.730C.A/29D.2小

JT1

16.(2023高考数学课标III卷理科)在△ABC中，3=—,BC边上的高等于—3C,则cosA=()

43

3M屈3M

A.-----B.----C.--V-i-o-D.--------------

10101010

17.(2023高考数学课标2理科)钝角三角形ABC的面积是,，AB=1,BC=JI,则AC=()

18.（2023年高考全国乙卷理科）记.A5c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为g,3=60。，

a2+c2=3ac，贝Ub—•

19.（2023年高考数学课标全国II卷理科）XABC的内角A,5,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,

TT

B=~,则△ABC的面积为

3

20、【2019年高考浙江卷】在中，ZABC=90°,A5=4,6c=3,点。在线段AC上，

若ZBDC=45°,则BD=,cosZABD=.

21.【2019年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A,3,C所对的边分别为。，"C.已知A+c=2«,

3csin5=4。sinC.

（1）求cosB的值；（2）求sin[25+《）的值.

22.（2023年高考数学新课标I卷理科）ZkABC的内角A,瓦C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为

a2

3sinA

（1）求sinBsinC；⑵若6cos6cosc'=1,a=3,求△ABC的周长.

23.（2023年高考数学课标III卷理科）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

sinA+石cosA-Q,a-2^7,b=2.

（1）求c；（2）设。为BC边上一点，且ADLAC,求△ABD的面积.

24.（2023高考数学课标I卷）AABC的内角A,5c的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

⑴求C；（11）若。=屿，AABC的面积为±8,求AABC的周长.

2

45

25.（2023高考数学课标H卷理科）AABC的内角ASC的对边分别为〃也c,若cosA=}cosC=—,

a=l,贝!）/?=.

神典的备离考

类型一、正（余）弦定理的基本应用

基础知识：

1.余、正弦定理的内容及其变形

在△/a'中，若角4B,C所对的边分别是a,b,c,〃为的外接圆半径，则

内容变形

〃2=+/-2/7CCOS_A;b^+c^-a2〃+。2—反

余弦cosA—2bc'cosB-2ac；

b2=c2+a2—2cacos_B；

定理/+♦—g2

/=次+/—2abcos_CcosC~2ab

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

正弦a____b_____c___(2)a:b:c=sinA:sinB:sinC；

sinAsinBsinC

定理〃+/7+ca

I'sinA+sin8+sinCsinA

2、主要结论：

⑴在aABC中，A+B+C=n.变形:^^若一争

rr9jr

(2)在aABC中，内角A,B,C成等差数列08=亨A+C^—.B.

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；

,A+BCA+BC

tan(A+B)=—tanC;sin-3-=cos,;cos--=si”.

(5)大边对大角，大角对大边，如a>b=A>BosinA>sin

(6)在斜4ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB,tanC.

(7)三角形射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

基本题型：

L(求角的大小)在，ABC中，内角A5C的对边分别是若〃=Ac，sinC=23sinB，

则4=.

2.(求角的函数值)在，ABC中，角A，B,C的对边。，b,c满足a+c=2〃，且A—C=90。，则

cosB=()

A.正B.BC.-D.0

444

3、(求三角形的边长)已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边，若sinA=乎,

sinB>sinC,a=3,SAABC=2®则6的值为()

A.2或3B.2C.3D.6

2「

4、(求三角形的高)在AABC中，C=30°,cosA=——,AC=V15-2,则AC边上的高为()

3

A.立B.2C.75D.

22

5、(多选题)已知在.ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,则下列四个论断中正确的是

()

,什sinAcosB.n

A.若——=----,则n3n=一；

ab4

8.'若3=£,b=2,a=5则满足条件的三角形共有两个;

4

C.若a,b,c成等差数列，sinA,sinB,sinC成等比数列，则ABC为正三角形;

3

D.若a=5,c=2,ABC的面积S"c=4,贝UcosBug.

基本方法：

利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三

边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.

利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是己知两

边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进

行判断).

类型二、求三角形的面积

基础知识：

1.三角形常用面积公式

(1)5=呼也(总表示边a上的高)；

.111

(z2)S=-absinC=_acsinB=_bcsinA；

(3)S=-1r(a+b+c)(r为内切圆半径).

基本题型：

bsinC

1.已知a",c分别为ABC内角A，3,C的对边，---+------------=1，AB.AC=4,则ABC

a+csinA+sinB

的面积为()

A.73B.2C.2A/3D.4G

2.在A4BC中，面积S=6—0—。了，贝人皿4=()

1581313

A.—B.—C.—D.—

17171517

3.zxABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c,已知人sinC+csinB=4QsinBsinC,b2+c2-a1=

则^ABC的面积为.

4.已知a/,c分别为AABC三个内角A民C的对边，acosC+y/3asinC-b-c=0

⑴求A(2)若〃=2,AABC的面积为有，求仇c.

bcos5+]

5、在①厂G'A)②2〃sinA=atanB,③(a—c)sinA+csin(A+JB)=ZJsin6这三个条件中任选

一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知A3C的内角A，B,。所对的边分别是。，b,c,若.

(I)求角B；

(2)若a+c=4,求..ABC周长的最小值，并求出此时,ABC的面积.

基本方法：

与三角形面积有关问题的解题策略

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

类型三、判断三角形的形状

基本题型：

Ab+「

1.在AA5C中，NA,DB,/C的对边分别为。，b,c,cos2—=----,则AA6C的形状一定是()

22c

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

2.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等差数列，设AABC的面积为S,

若accosB=¥^S,则△ABC的形状为()

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

3、(多选题)在AABC中，若sinC+sin(8—A)=sin2A,则A4BC的形状()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形

4.已知，ABC中，三内角A,5c满足2B=A+C,三边a,"c满足〃=ac，贝48。是()

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形

5.对于AABC,有如下四个命题：

①若sin2A=sin25,则/ABC为等腰三角形；

②若sinB=cosA,则/ABC是直角三角形；

③若sii?A+sin?5<sin?C，则/ABC是钝角三角形；

a_b_c

④若一A=—B=—C,则/ABC是等边三角形.其中正确的命题序号是

cos—cos—cos—

222

6.在AABC中，角A，B,C所对的边分别是a,b,c,且2N=A+C

(1)若a=l,b=6，求sinC；

(2)若2Z?=a+c,试判断AA5C的形状.

基本方法：

1.判定三角形形状的途径：(D化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数

变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁.

2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注

意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

新翌例破常考

1.（多选题）在AABC中，〃=5后，c=10,A=3O°,则角B的值可以是（）

A.105°B.15°C.45°D.135°

2.设A45c的内角ASC所对边的长分别为。乃,。，若b+c=2〃,3sinA=5sin5,则角。二（）

712"

A.—B.—

33

3〃5兀

C.—D.——

46

3.在AABC中，若sinA:sin8sinC=3:4:6,贝！JcosC=()

11111313

A.——B.------C.—D.------

24242424

4.（多选）△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知〃=3,b=2,sin5=sin2A,贝lj（）

A.sinB=^B.cosA=­g

C.c=3D.SAABC=2\/2

5.如果AA]3]G的三个内角的余弦值分别等于A432G的三个内角的正弦值，则

A.A4B1G和AA232c2都是锐角三角形B.AAHiG和A4与G都是钝角三角形

c.A4耳G是钝角三角形，A432G是锐角三角形D.AA与G是锐角三角形，AA232G是钝角三角形

6.在AABC中，角A氏C所对的边分别为〃也。，S表示AABC的面积，若。855+灰254=血11。,

S=-(b2+c2-a2),则5等于()

4

A.90°B.60°

C.45°D.30°

7.设AA5c的内角AB,。所对的边分别为〃，b,c,且3〃cosC=4cs/A,已知AABC的面积等于

10,万=4,则〃的值为（）

232826n25

A.—B.——C.—D.——

3333

Ab+「

8.在AA5C中，角A5c的对边分别是"c,cos2-=-则AABC的形状为

22c

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形D.正三角形

9.已知a,4c为.ABC的三个内角A,5c的对边，向量机=（cosA,cosB）,〃=（a,J5c-0）,若根〃”，

则内角A的大小为（）

71r%一兀c2万

A.-B.—C.—D.—

6343

10.（多选）在△A5C中，角A,B,。的对边分别是。，b,c,若〃=E,层+/一，=〃庆也。，

6zcosB+bsinA=c,则下列结论正确的是（）

A.tanC'='2

C.b=y/2D.ZXABC的面积为6

11.在AA5C中，已知"tanBu/tanA，则该AA5C的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰或直角三角形

2s

12.在A6c中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,S为&A6c的面积，sin（A+C）=^~r

b-c

且23=A+C,则C的大小为（）

13.在AABC中，角A5,C所对的边分别为a,b,c,且满足Z?cosA+asin3=0.b+c=2+J5,

AA3C的面积为1,则边。=()

A.亚C.10D.而.

14.在AABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b,若°=岳，cosB=&cosC，a=5

则^NABC=-----

15.在△ABC中，a,dc分别为角A,3,C的对边，已知2A=B+C,b=l,面积S=百，则。=.

16.在AA5C中，ZA=60°,b=l,50犷=，§,则---———------的值等于________.

sinA-2sinB+sinC

17.在Z\A3C中，角A,B,C所对应的边分别是。，瓦c,向量加=（。一。，b+c）fn={b-c,a）,且加n.

（1）求&（2）若力cos[A+f]=之①^,求a

18.在AABC中，内角ASC所对的边分别为。也c,已知Z?+c=2acos5.

(1)证明：A=26；(2)若A4BC的面积S=土，求角A的大小.

4

19.在/XABC中，角A，B,C的对边分别为“，b,c,已知(5a—4c)cos3=46cosC.

7T

(1)求cosB的值；(2)若。=一，b-6,求sinA的值

4

nC—b~\~d

、已知在△ABC中，三边a,b,c分别对应三个内角A,B,C,且—=-]—,

20c+b-ab

(1)求角C的大小；

(2)当AABC外接圆半径R=1时，求AABC面积的最大值，并判断此时AABC的形状.

2023高考一轮复习讲与练

专题25正(余)弦定理的应用

求

面

积

Sl-S2+S3=y-,sinB=1.

(1)求A5C的面积；(2)若sinAsinC=XZ，求瓦

3

答案：(1)也(2)1

82

【解析】

分析：(1)先表示出SI,S2，S3,再由$2+$3=4求得+02—匕2=2,结合余弦

定理及平方关系求得〃C,再由面积公式求解即可；

72

(2)由正弦定理得—)=—竺一，即可求解.

sin~3sinAsinC

【小问1详解】

2222

由题意得=-.a--=—a,S2=—b,S3=—c，则

12242434

V<273,2^732_6

S[-S)+=—ci----bH-----c=—，

34442

22_12

即々2+/—匕2=2,由余弦定理得cosB=a,整理得accos6=1,则cos5>0,

lac

又sin3=L

3

则cos八卜[=半,。。=熹=手，则S…*in5邛;

【小问2详解】

,还

ba/acac49

由正弦定理得:______________贝”-----=-----•-----=---------=----=——

sin3sinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC&4

3

nlb3

则----=T

sinB222

(文)T17)记.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A—=sinJBsin(C—A).

(1)若A=25,求C；(2)证明：2a2=/+02

5兀

答案：(1)9;(2)证明见解析.

8

【解析】

分析：(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(sinAcosB-cosAsin=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再根据正弦定理，余

弦定理化简即可证出.

【小问工详解】

由A=25，sinCsin(A-3)=sini3sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),

而0＜3＜］，所以sin5£(0,1),即有sinC=sin(C—A)＞0,而

。＜C＜兀,。＜C—A＜兀，显然CwC—A,所以，C+C—A=兀，而A=25,A+B+C=TI,

5兀

所以C二一.

8

【小问2详解】

由sinCsin(A_5)=sin5sin(C—A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知,

+。2_人2)一；伊+。2_/)=；仅2+。2-+—(?),化简得二/+,

故原等式成立.

3.(2023•全国乙(理)T17)记「ABC的内角ASC的对边分别为。也J已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

（1）证明：2a2=〃+C2；

（2）若a=5,cosA=—,求4ABe的周长.

31

答案：（1）见解析（2）14

分析：（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可

得证；

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出be,从而可求得匕+c,即可得解.

【小问1详解】

证明：因为sinCsin（A—5）=sin3sin（C—A）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sin3sinAcosC,

在2er+c2-b2c,b2+c2-a2,a2+b2-c2

所以ac------------2bc---------------=-ab---------------，

2ac2bc2ab

»2—止，2+；一02,

即所以2/=/+。2

【小问2详解】因为a=5,cosA=一，由（1）得。2+。2=50，

31

由余弦定理可得+,2—2反cosA，贝U50—^c=25,所以bc=①，

312

故（/?+c）2=从+°2+2机?=50+31=81,所以Z?+c=9,所以ABC的周长为

a+Z?+c=14.

4.（2023•北京卷T16）在-ABC中，Sin2C=V3smC

（1）求NC；

（2）若6=6,且二ABC的面积为63，求一ABC的周长.

答案：（1）—（2）6+6A/3

6

【解析】

分析：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos。的值，结合角C的取值范围可求得角C

的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得,ABC的

周长.

【小问1详解】因为Ce（O,»），贝!]sinC>0,由已知可得百sinC=2sinCeosC，

可得cosC=，3,因此，C=~.

26

【小问2详解】由三角形的面积公式可得SaBc=ga沙sinC=|a=6/，解得

由余弦定理可得c?=a2+"—2"cosC=48+36—2x40x6x9=12，:(=2上，

所以，ABC的周长为〃+5+c=66+6.

5.(2023•浙江卷T18)在〈ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c.已知

3

4a=旧c,cosC=-.

(1)求sinA的值；

(2)若b=ll,求，ABC的面积.

答案：(1)—；(2)22.

5

【解析】

分析：(1)先由平方关系求出sinC,再根据正弦定理即可解出；

272_2

(2)根据余弦定理的推论cosC="'以及4a=J？c可解出。，即可由三角形面

2ab

积公式S='absinC求出面积.

2

【小问1详解】

34r-

由于cosC=《，0＜。＜兀，则sinC二因为4〃=&c，

由正弦定理知4sinA=JSsinC，则sinA=^^sinC=.

【小问2详解】

因为4a=&c，由余弦定理，得「a2+b2-c2a+121-ya3,

lab22ala5

4

即/+6a—55=0，解得a=5,而sinC=g,Z?=ll,

114

所以ABC的面积S=—absinC=—x5xllx—=22.

225

6.(2023•浙江卷TU)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他

把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,

J(c--h2Y1

就是S=c2a2—上*_L，其中a",c是三角形的三边，S是三角形的面积.设

VL12〃

某三角形的三边a=应/=J5,c=2，则该三角形的面积S=

4

分析：根据题中所给的公式代值解出.

1(2_i_2_A2V

【详解】因为S=，—c2a2—£_,所以

VL12〃

V23

S—4x2-2

m~7~

7.（2023年高考全国甲卷理科）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新

高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角

高程测量法的一个示意图，现有48.C三点，且4B.C在同一水平面上的投影A',B',C

满足NA'C5'=45°,ZAB'C'=6Q°.由C点测得B点的仰角为15°,班'与CC的

差为100；由B点测得A点的仰角为45。，则4C两点到水平面的高度差

A4'—CC'约为（6^1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

答案：B

解析：

A

ZK

/Pkl\8

。Li---------jlfi,

过。作过B作5DLAA'，

故A4CO=A4（阴-加=A4班'+100=AD+100,

由题，易知ZkAC出为等腰直角三角形，所以4。=功.

所以A4'—CC'=05+100=45'+100.因为4CH=15°,所以

CH=C'B'=100

tan15°

A'ByC'B’100100

在一45'。中，由正弦定理得:

sin45°sin75°tanl50cosl5°sin15°

壬J6-J2

而sin150=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=-----------

3

所以=”=W括+D53’所以'一℃”"W0”373.

8.(2023・天津高考)在△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA：sin8：sin

C=2：1：隹b=p

⑴求。的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C—§的值.

【解析】(l)VsinA：sinB：sinC=2：1：巾,由正弦定理可得a：：:c=2：1：啦,

；b=①；.c=2,a=2@

22-2

(2)由,于,弦,定.理ey可p付cosC=a+Z2?abc=2义8+2启2-43

(3)VcosC=*sinC=yj1-cos2C=^,/.sin2C=2sinCeos。=2乂乎乂(=邛^,

9

cos2C=2cos2。-1=2X

1616

9、(2023•新高考II卷)在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为〃，b,c,b=a+1,c=

Q+2.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，

说明理由.

【解析】⑴由2sinC=3sinA及正弦定理可得2c=3。，

结合b=q+l,c=a+2,解得a=4,b=5,c=6.

..,一人、、由p片+/一。216+25—361〜.

在△ABC中，由平弦定理仔cosC=5—7—77；=d,所以sinC=

AQ.D4Uo

7l-COS2c

Sz\A5C=k》sinC=；X4X5X3市」5巾

8-4,

(2)设存在正整数a满足条件，由已知c>6>a,所以NC为钝角，

/+户一02

所以cosC=---2^---<00/+/72V，今〃2+(4+1)2<(〃+2)2=(〃+])(〃—3)<0,

因为“为正整数，所以4=1,2.

当4=1时，0=2,c=3,不能构成三角形，舍去.

当a=2时，0=3,c=4,满足条件.

综上，当〃=2时，ZVIBC为钝角三角形.

10.(2023•全国乙卷)记△A3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为小，5=60。,

a2+c2=3ac,贝!Jb=.

答案：2也

解析：由题意，得SzviBc=Jzcsin5=小，即•坐=小，解得ac=4.由余弦定理，

得b2=a2+c2—2«ccosB=3ac~2ac^=8,解得0=2w（负值已舍去）.

11.（2023•浙江高考）在△A3C中，ZB=60°,AB=2,M是3C的中点，AM=2事,则AC

=,cosZA/AC=.

2^39

答案：271313

解析：在AABM中，由余弦定理，得AM2=AB2+BM2—2BM-A8COSB,即（25）2=22+90

-2BM-2cos60°,则圆心一2的0—8=0,解得BM=4（负值已舍去）.又点M是BC的中点，

所以BC=2BM=8.在△ABC中，由余弦定理，得AC2=Ag2+Bc2—2AHBCcos8=22+8?一

2X2X8Xcos60°=52,所以47=2行（负值已舍去）.

_2

12.（2023年高考数学课标III卷理科）在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,则cosB=

3

（）

1112

A.-B.-C.—D.一

9323

答案：A

2

解析：・••在AABC中，cosC=j,AC=4,BC=3

2

根据余弦定理：AB2AC2+BC2-2AC-BCcosC,AB2=42+32-2x4x3xj