2024历年高考数学试题汇编：复数

历年高考数学真题精编

20复数

一、单选题

1.（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,括），贝ijz的共轨复数彳=（）

A.1+73/B.I-A/31

C.-l+73iD.-1-后

23

2.（2023•全国）|2+i+2i|=（

A.1B.2C.D.5

3.（2023•全国）设Q£R,（a+i）（l-石）=2,,则。=（）

A.-1B.0C.1D.2

1-i

4.（2023•全国）已知z=，则z—z=（

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

5.（2023•全国）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

z

6.（2022•全国）若z=T+gi,贝1|）

zz-1

C.二+乌

A.-1+后B.-l-TiiD._!_叵

33

二、填空题

5+14i

7.（2023・天津）已知i是虚数单位，化简的结果为.

2+3i

8.（2020•全国）设复数Z2满足区|=区|=2,Z]+Z2=«+i,则|z「Z2l=

5-/

9.（2012天津）i是虚数单位，则—的值为

1+z

10.（2019・江苏）已知复数（a+2i）（l+i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数。的值是

参考答案:

1.D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数Z,然后利用共辄复数的定义计算.

【详解】Z在复平面对应的点是（T,若），根据复数的几何意义，2=-1+后,

由共轨复数的定义可知，z=-l-

故选：D

2.C

【分析】由题意首先化简2+F+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l—2i，

则|2+i?+2i3卜卜2i|=』+(_2)2=#.

故选：C.

3.C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为(o+i)(l—ai)=a—/i+i+a=2a+(l—a?1=2,

f2a=2

所以〈2八，解得：a=L

\l-a=0

故选：C.

4.A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共轨复数的概念得到〉从而解出.

1-i-2i1,-1_

［详解］因为z=-------=—7-----77-----\=-------i,所以z=—i,即z—z=T.

2+2i2(l+i)(l-i)422

故选：A.

5.A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为(l+3i)(3—i)=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

6.C

【分析】由共轨复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-l-^i,zz=(-l+A/3i)(-l-V3i)=l+3=4.

故选：C

7.4+z7z+4

【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i,然后计算其运算结果即可.

5+14i(5+14i)(2-3i)52+13i

【详解】由题意可得=4+i

2+3i(2+3i)(2-3i)13

故答案为：4+i.

8.2A/3

【分析】方法一：令Zi=a+bi,(aeR,beR),z2=c+di,(CER,deR),根据复数的相等可

求得ac+仇7=-2,代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数4/2所对应的点为Z1,ZZ,OP=OZI+OZ2,根据复数的几何意义及复数的模,

判定平行四边形。弓尸弓为菱形，|OP|=|OZJ=|OZ2|=2,进而根据复数的减法的几何意义用

几何方法计算匕-2|.

【详解】方法一.设Z]=a+bi,(awR,b£R),z2=c+成,(cw£R),

Zj+z2=a+c+(b+d)i=A/3+i,

•e-j,又片|=忆2|=2,所以〃2+/=4,c2+=4,

[b+d=l

(Q+c)2+(b+d)2=Q2+c2+/+d2+2(QC+bd)—4

:.ac-\-bd=—2

22

[z]—z2\=\(a—c)+(b—d)i\=—c)+(b—d)=^8—2(ac+bd)

=18+4=25/3.

故答案为：2

方法二：如图所示，设复数4/2所对应的点为Z“Z2,o尸=OZ1+OZ2,

由已知\OP\=A/371=2=|OZj=|OZ2|,

•••平行四边形OZ|PZ?为菱形，且OPZ\,OPZ?都是正三角形，.•.』ZQZ2=12O。,

22222

|Z]Z21=IOZ,I+|OZ21-2IOZ,||OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(-1)=12

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算

求解能力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

9.V13

【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模.

［详解］—==|2-3Z|=713.

1+Z(1+0(1-0

【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

16.2.

【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得Z,然后根据复数的概念，令实部为0即得。

的值.

【详解】.(a+2z')(l+i)=a+ai+2i+2i2=a—2+(a+2)i,

令a—2=0得