简易逻辑（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（解析版）

简易逻辑

目录

讲高考..........................................................................1

题型全归纳......................................................................3

【题型一】全称与特称..................................................3

【题型二】全称与特称命题真假判断......................................5

【题型三】全称特称命题求参数..........................................7

【题型四】充分与必要条件判断..........................................8

【题型五】充分不必要条件求参数.......................................10

【题型六】必要不充分条件求参数.......................................12

【题型七】充要条件应用：文字辨析.....................................14

【题型八】充要条件应用：电路图.......................................15

专题训练.................................................................17

讲高考

1.（2021.全国•高考真题（理））等比数列｛""｝的公比为q,前“项和为S",设甲：

乙：3｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛S,,｝是递增数列时，必有%>0

成立即可说明4>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列为-2,T,-8,-时，满足q>0,

但是｛S,,｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛'｝是递增数列，则必有%>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛

盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要

给予其证明过程.

2.（2019・浙江•高考真题）若。>0,6>0,贝是“曲V4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］A

【褊析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特

取。力的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻

辑推理能力的考查.

【详解】当。6>。时，62，则当a+644时，有<a+b<4,解得abV4,

充分性成立；当。=1,6=4时，满足成W4,但此时。+方=5>4,必要性不成立，综上所述，

“a+644”是，ab<4”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用

“赋值法”，通过特取6的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

3.（全国•高考真题（理））设命题甲：.ABC的一个内角为60。.命题乙：一ABC的三内角

的度数成等差数列.那么（）

A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条

件

［答案］C

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】ABC的一个内角为60。，则另两内角的和为120。，因此,ABC的三内角的度数成

等差数列，

反之，.ABC的三内角的度数成等差数列，由三角形内角和定理知，—ABC必有一个内角为

60°,

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

4.（2022•浙江・高考真题）设xeR,贝l］“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin2x+cos6=l可得:

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

5.（2022.北京・高考真题）设｛%｝是公差不为0的无穷等差数列，贝『｛%｝为递增数列”是“存

在正整数M，当〃〉N。时，%>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,则4*0,利用等差数列的通项公式结合充分条件、

必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d，则dwO,记［可为不超过X的最大整数.

若｛%｝为单调递增数列，则d>。，

若则当“22时，«„>«1>0；若％<0,则为=%+（〃—l）d,

由=%+（〃一l）d>0可得”>1一子，取乂=1-彳+1,则当〃>乂时，>0,

所以，是递增数列”n“存在正整数名,当“>乂时，a“>0”；

若存在正整数N。，当几>时，4>0,取女eN*且左〉M，以〉0,

彳度设d<0,令4=%+（〃一女）dv。可得〃〉％—Y,且左——>k,

ad

当w>k*+1时，an<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛%｝是递增数列.

所以，“｛为｝是递增数列”-"存在正整数N。，当，>乂时，6>0”.

所以，“{%}是递增数列”是“存在正整数时,当〃〉N。时，＞0”的充分必要条件.

故选：C.

TT

6.（•湖南碣考真题（文））命题喏a「‘贝W，的逆否命题是

JIJI

A.若叶一,贝ljtanarlB.若a=—，则tana^l

44

■IJ

C.若tana^l,贝1J叶一D.若tanarl,则

4

【答案】C

JT

【分析】因为“若P,则的逆否命题为“若r,贝|J力”，所以“若a=：,则tana=l”的

4

TT

逆否命题是“若tanarl,则期二”.

4

7.（江西・高考真题）在一至。中，设命题°：仁=工=三，命题q：,ABC是等边三

sinBsinCsinA

角形，那么命题p是命题。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要

条件

【答案】A

【分析】先当P成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A=B=C

判断出△ABC是等边三角形.推断出P是4的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得

nhc

——=27?,—^=2R,--=27?,三者相等，进而可推断出P是9的必要条件，

sinBsinCsmA

【详解】解：三=与=，7,即竺呼¥="吁sinAsinC=sin?5①;

sinBsinCsinAsinBsinC

笔泮2f,sinAsin"n2c②，

①一②，得(sinC-sinB)(sinA+sinB+sinC)=0,则sinC=sinA,

:.C=A.同理得C=B,.•.A=B=C,则5c是等边三角形.

a27?sinAb2i?sinB_c2RsinC

当A=B=C时,=—r\-,—乙oc/>vf

sinBsinBsinCsinCsinAsinA

成立，•：。命题是q命题的充分必要条件.

sinBsinCsmA

故选：A.

题型全归纳

【题型一】全称与特称

【讲题型】

例题1.命题“加妇。”的否定是（）

3

A.3x0^g,x0egB.eg

C.Vxeq。,尤3©。D.Vx0iQ

【答案】B

（分析］存在性命题的否定是将“3”改为“V”，并对结论进行否定即可得出结果.

【详解】根据题意，存在性命题的否定是将“3”改为“V”,并对结论进行否定，

已知命题的否定为:VxeaQ,%3eQ.

故选:B.

例题2.命题Fa,b>0,和Z?+，22都不成立”的否定为()

ba

A.Va,Z?>0,〃+—<2和b+—<2至少有一个成立

ba

々+42和6+42都不成立

B.\/a,Z?>0,

ba

°+1>2和6+4>2都不成立

C.Ba,b>0,

ba

〃+工〉2和匕+工22至少有一个成立

D.X/a,b>0,

ba

［答案］D

【分析】由特称命题的否定形式，分析即得解.

【详解】由特称命题的否定形式，“丸，b>0,a+和者B不成立”的否定为:

ba

Va,b>0,4和6至少有——个成立.

ba

故选：D

【讲技巧】

断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤

(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在

量词命题.

(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量

词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.

(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.

【练题型】

1.设加eR,命题“存在心>0,使方程/+x-m=O有实根”的否定是()

A.对任意〃z>0,方程/+了-m=0无实根；

B.对任意mWO,方程尤2+x-〃z=o无实根；

C.对任意m>0,方程/+尤-〃?=0有实根；

D.对任意〃叱0,方程尤2+x-〃z=0有实根.

【答案】A

【分析】根据存在量词命题否定的概念判断即可.

【详解】命题“存在相>0,使方程/+x-wi=O有实根”的否定是“对任意相>0,方程

%2+X-772=0无实根

故选：A.

2.已知命题p:he(l,+oo),使3x+l>5,则()

A.命题p的否定为"Hxe(l,+oo),使3x+lW5”

B.命题〃的否定为“王e(ro,l］,使3x+lW5”

C.命题p的否定为“Vxw(l,+oo),使3x+lV5”

D.命题p的否定为“V尤使3x+"5”

［答案］c

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.

【详解】由题意知命题P：*e(l,+s),使3x+l>5为存在量词命题，

其否定为全称量词命题，即"Vxw—),使3x+lW5”，

故选：C.

3.关于命题P：*eR,炉+3x+2<0的叙述正确的是().

A.P的否定：VxeR,%2+3%+2<0B.P的否定：玉eR,x2+3x+2>0

C.。是真命题，P的否定是假命题D.P是假命题，P的否定是真命题

【答案】C

【分析】写出命题P的否定可判断AB,当x=-=时，X2+3X+2=-4<0,然后可判断CD.

24

22

【详解】因为命题P：mxwR,X+3X+2<0,所以P的否定：VxeR,x+3x+2>0,故AB

错误，

3i

当x=-三时，X2+3X+2=--<0,故P是真命题，P的否定是假命题，故C正确D错误,

24

故选：C

【题型二】全称与特称命题真假判断

【讲题型】

例题1.已知命题P：在_48。中，若则sinA>〕；，命题q：Vx>-l,xNln(x+l).下

列复合命题正确的是()

A.0AgB.(->。)人(-iq)C.(」p)A〃D.p八―q)

【答案】C

【分析】命题p可举出反例，得到命题p为假命题，构造函数证明出x>ln(^+l)

成立，从而判断出四个选项中的真命题._

【详解】在中，若人=学，止匕时满足A>工，但sinA='<也，故命题P错误；

6422

令/⑴=x-ln(x+l),x>-l,

则小)=1」=号，

当x>0时，制尤)>。,当-l<x<0时，/,(%)<0,

所以/'(x)在x>0上单调递增，在-l<x<0上单调递减，

所以/(X)在x=0处取得极小值，也是最小值，

/(O)=O-ln(O+l)=O,

所以4：Vx>-l,x21n(x+l)成立，为真命题；

故〃八4为假命题，(-10)△(—!“)为假命题，(可)人4为真命题，P人为假命题.

故选：C

例题2.已知命题p：3.xeR,x2-x+1>0;命题4：若a2cb。,则下列命题为真命题

的是()

A.〃人4B.P八fC.「P八qD.7,八f

【答案】B

【分析】先判断出命题P国的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.

【详解】解：命题"：女=0,使/一天+1»0成立，故命题P为真命题；

当。=1,b=-2时，成立，但不成立，故命题q为假命题；

故命题0A4,r7A4,均为假命题，命题夕人-14为真命题.

【讲技巧】

全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素

x验证"X)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合“中

的一个x=xo,使得p(xo)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).

(2)判断存在量词命题“mxG胆，"。)”的真假性的关键是探究集合航中

X的存在性.若找到一个元素就6胆，使p(xo)成立，则该命题是真命题；若不

存在xoGAf,使p(xo)成立，则该命题是假命题.

【练题型】

1.命题P：“VxeR,尤2+i<o，，，则下列表述正确的是()

A.命题P是真命题

B.命题1P：HxeR,无2+120”是真命题

C.命题“-fP：SxeR,V+lcO”是假命题

D.命题1P：VxeR,x2+120”是真命题

【答案】B

【分析】判断命题P的真假可判断A；命题的真假判断和含有一个量词的命题否定可判断B,

C,D.

【详解】因为必+121,所以命题。是假命题，故A不正确；

命题“M：3xeR,犬+120”是真命题，故B正确，C、D不正确.

故选：B.

2.命题“Vxe[2,5],V一。20”为真命题的一个必要不充分条件是().

A.a<4B.a<3C.a<5D.a>4

【答案】c

【分析】求出命题"Vxe[2,5],Y一。20，，为真命题的充要条件即可选出答案.

【详解】由小一“20可得aVf,

2

因为y=Y在[2,5]上单调递增，所以ymin=2=4,

2

所以命题“Vxe[2,5],x-a>0”为真命题的充要条件为a<4.

所以命题“以e[2,5],x2-«>0”为真命题的一个必要不充分条件是选项C,

故选：C.

3.下列命题中是真命题的个数是()

(1)VxeR,尤2-2无一3>0.

(2)3xeR,x2-2x+4>0.

(3)若Vxe[-1,3],/-2苫+。20为真命题，则。21

4

(4)e(-oo,0),尤+——。20为真命题，贝l|aW.

x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】对(1)(2),由二次函数图象即可判断；

对(3),y=〃x)=x2-2x+a对称轴为x=l,图象开口向上，命题为真等价于/⑴对，求

解即可；

对(4),xe(-oo,0),x+--a>0<^>«<-||,由均值不等式得[t-百]W-4,故命

xvXJ\

题为真等价于-4.

【详解】对(1),由A=4+12=16>0得尸炉-2x-3与x轴有两个交点，故命题(1)为假

命题；

对(2),图象开口向上，故命题(2)为真命题；

对(3),丁=/(%)=兄2-2%+。对称轴为％=1,图象开口向上，^Vxe[-1,3],x2-2x+a>0

为真命题等价于/(1)=1—2+，之。=，21,故命题(3)为真命题；

对(4),e(—oo,0),x-\---=1―x—],*.*—f—x——<—2/(—x)-f——=—4,故

命题(4)为真命题；

故选：C

【题型三】全称特称命题求参数

【讲题型】

例题1.若命题“王e(0,3),尤-幺-240”为真命题，则实数〃可取的最小整数值是()

尤

A.-1B.0C.1D.3

【答案】A

2

【分析】由题意可得只需。2(x-2x)min,xe(0,3)即可，再由二次函数的性质求出

2

/(x)=x-2x,A：e(0,3)的最小值即可得。的取值范围，从而得答案.

【详解】解：因为*e(0,3),尤一3-2Vo为真命题，

X

所以Hx£(0,3),a>x2-2x为真命题，

只需a之(——2x)min，兀£(。,3)即可，

由二次函数的性质的可知f(x)=x2-2x,x^(0,3)的最小值为/(1)=-1,

所以〃2—1,

所以〃可取的最小整数值是-1.

故选：A.

TT

例题2..若“Vxe0,—,tanxV〃z”是真命题，则实数小的最小值为.

【答案】1

77TF

【详解】若“Vxe0,—,tanx<m”是真命题，则加大于或等于函数y=tanx在0,—的最

大值

因为函数V=tanx在0,-上为增函数，所以，函数y=tanx在0,-上的最大值为1,

所以，m>\,即实数m的最小值为L

所以答案应填:1.

【讲技巧】

应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型

(1)全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有

某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据

函数等数学知识来解决.

(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存

在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存

在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合

理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.

【练题型】

1.命题。：“*目2,3],3x-。>0"，若命题。是假命题，贝匹的最小值为()

A.2B.3C.6D.9

【答案】D

【分析】依题意可得命题Y：“Vxe[2,3],为真命题，参变分离可得。23x对

Vxe[2,31恒成立，贝ija2(3x)1rax,求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为命题P：“玉《2,3],3x-a>0”为假命题，

则命题r7：“V%E[2,3],为真命题,

所以〃23%对Vx£[2,31恒成立,

所以〃>(3可回=9,即a«9,+Go),所以。的最小值为9.

故选：D

2.已知命题p：VxeR,内27无一640为真命题，则实数a的取值范围是()

a\0<a<^

A.Q<--B.C.D.

18"IQ<_W"IQ2-w

【答案】B

【分析】由题可知办:.2-3x-6W0恒成立,根据二次函数的性质即得.

【详解】由题可知亦:.2-3x-6<0恒成立,

当，=0时，一3%—640不合题意,

a<03

当awO时，贝吗，解得故选：B.

A=(-3)2+4x6a<08

3.已知命题“heR,使(片+。-2产+(a—1)尤+140”是假命题，则实数a的取值范围是()

A.[l,+oo)B.(-3,1)

C.(-3,+oo)D.(-<»,-3)u(l,+co)

【答案】A

【分析】依题意可得命题“VxeR,使(4+。-2卜2+(”1口+1>0，，是真命题，再分

/+。_2=0和/+q_2w0两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】解：因为命题FxeR,使(a?+a-2卜2+(q—i)x+l〈0”是假命题，

所以命题“VxeR,使+a—2)f+(。—1)》+1>。”是真命题，

当储+4-2=0,解得a=l或a=-2,若4=1时原不等式即1>0,满足条件；

若。=-2时原不等式即-3x+l>0,即x<；,不符合题意;

a2+。—2>0

当/+々一2w0,贝!J<af-2)<。’解得。,或…3,

(62-1)2-4(

综上可得3)[1,y)；故选：A

【题型四】充分与必要条件判断

【讲题型】

例题1.若0：aeR且q：二次函数y=f+(a+l)x+a-2有两个零点，且一个零

点大于零，另一个零点小于零；则r7是^^的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[答案]B

【彳析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必

要性的定义进行求解即可.

【详解】设/+(〃+1)%+。-2=0的一个根毛大于零，另一根演小于零，贝!J玉兀2=〃-2<。，

解得a<2,

因为命题：若「P,则F的逆否命题为：若q,则p,

由M-1<“<1｝是｛《a<2｝的真子集，

因此q是p的必要不充分条件.

故选：B.

jrTT

例题2.已知ABC中，ZB=-,AC=2,则=：的充要条件是()

66

A.-ABC是等腰三角形B.AB=26

C.BC=4D.SABC=S/3,BC<BA

【答案】D

【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.

【详解】由于=故当aABC是等腰三角形时，44==或44=袈或4==；

66123

当人泊’一旗C是等腰三角形’所以.C是等腰三角形是〃兰的必要不充分条件,

所以选项A不正确；

当皿"券=磊即黑二a'2茎所以"二或“号，则

6

或44=2；当NA=］时，NC=§,根据正弦定理可得AB=2b，所以AB=20是ZA《的

oo3o

必要不充分条件，所以选项B不正确；

42

A「___________jrjr

当3C=4时，3=嗯，即sinA=-.7i,解得sinA=LNA=7,所以3c=4不是NA=：

sinAsinBsin—26

6

的充分条件，所以选项c不正确；

当NA=F时，5ABe=日,当S^c=6时，即1•8C-a4-sin8=百,.•.BC-BA=4A,根据

62

余弦定理BC2+BA2-IBC-BA-cosB=4,解得BC2+BA2=16,.BC<BA,:.BC=2,BA=2小,

则NA=]，所以SMC=^，3C<84是NA=g的充要条件,

6-6

故选：D.

【讲技巧】

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p=q和q今?是否成立，最

后得出结论.

(2)命题判断法

①如果命题：“若p,则q"为真命题，那么p是q的充分条件，同时q

是p的必要条件；

②如果命题：“若小则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时

q也不是p的必要条件.

(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个

集合具有包含关系，则小范围今大范围，大范围推不出小范围.

(4)传递法：由推式的传递性：2I=p2=p3=…=>Q，则口!是pi的必要条

件.

【练题型】

1.使卜+1]>2成立的一个必要不充分条件是()

A.x<—3B.x>0

C.%<—3或%>1D.X<—3或%>0

3【答案】D

【分析】解绝对值不等式可得X>1或x<-3,根据充分、必要性定义判断各项与条件间的关

系即可.

【详解】由卜+1|>2,可得x>l或x<-3,

所以x<-3是卜+1]>2的充分不必要条件，

x>0是|x+l|>2的既不充分也不必要条件，

x<—3或x>l是,+1]>2的充要条件，

x<-3或x>0是卜+1|〉2的必要不充分条件.

故选：D

2若A、B是全集/的真子集，则下列五个命题：①AB=A-②Au8=A;③Ac(万)=0；

④Ac3=/；⑤是xeA的必要不充分条件•其中与命题等价的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：由Ag3得韦恩图：

或

对于①，AB=A等价于故①正确；

对于②，AuB=A等价于BgA,故②不正确;

对于③，Ac(国=0等价于4=3,故③正确；

对于④，AcB=I与A、8是全集/的真子集相矛盾，故④不正确；

对于⑤，xe3是xeA的必要不充分条件等价于8A,故⑤不正确，

所以与命题A=8等价的有①③，共2个，

故选：B.

3.若集合A={x|x2-(m+l)x+〃z=0},B={-1,0,1},则““=-1"是"Aq的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

[答案]A

【彳析】根据充分不必要条件的定义再结合子集关系即可得到答案.

【详解】当相=-1时，A={X|X2-1=0}={1,-1}CB,满足充分性.

x2-(m+l)x+m=0,A=(m+1)2-4m=(m-l)2>0,所以Aw0.

当A〉0时，A=^x\x2-(m+l)x+m=0^=,

因为A=所以m=0或m=-i.

当A=0时，m=l,此时A={1},满足A=

所以A=m=0或相=-1或根=1,不满足必要性.

所以”=-T是"A^B”的充分不必要条件.

故选：A

【题型五】充分不必要条件求参数

【讲题型】

例题1..若“d+3x-4<0”是“(X-矶x-(左+3)]>0”的充分不必要条件,则实数k的取值

范围是()

A.(-oo,-7)u[l,+oo)B.(-00,-7]U(l,+o?)

C.—7)(1,+co)D.(—a,-7]<J[1,+OO)

[答案]D

【分析】求出一元二次不等式的解集，再利用充分不必要条件的意义列式，求解作答.

【详解】解不等式丁+3工一4<0得：-4<x<l,即不等式V+3x—4<0的解集为(一4」)，

由"一左)｝一(左+3)]>0得无〈上或》>左+3,即此不等式的解集为(3㈤(4+3,小)，

依题意，(-4」)[(-8㈤u(左+3,+(»)],则有左+3W-4或左31,解得左<一7或左21,

所以实数%的取值范围是(-8,-7]。[1,+8).

故选：D

例题2.设“：x>“，上土口>0,若。是，的充分条件，则实数。的取值范围是()

X

A.(0,+8)B.(-co,l]C.[1,+co)D.(一8,0]

【答案】C

【分析】解分式不等式3>0得由a是夕的充分条件等价于「包含a,根据包含关系

X

列不等式求解即可

【详解】?>0=(x-l)x>0,解得x>l或x<0,由a是，的充分条件，则有心1.

故选：C

【讲技巧】

充分不必要条件：

(1)小推大：一般情况下，“小”是“大”的充分不必要条件

(2)真子集：一般情况下，“真子集”是“集合”的充分不必要条件

【练题型】

2—JC

1.已知左应:一-<0,如果〃是9的充分不必要条件，则左的取值范围是()

x+1

A.[2,oo)B.(2,+oo)C.[1,+oo)D.(-oo,-l]

【答案】B

【分析】求出不等式y<o的解集，由2是q的充分不必要条件确定左的取值范围.

X+1

【详解】由二<0得(2-x)(x+l)<o,解得x<T或x>2,因为。是4的充分不必要条件，

x+1

所以由X3A能推出X<-1或X>2,得上>2；当左>2时由4得不到P.

综上：k>2。故选：B.

22

2..己知。：|x-6|+|x—2|>12,?：%-2x+l-a>0(a>0),若p是q的充分不必要条件，则实

数a的取值范围为()

A.(-3,3)B.(0,3]C.[-3,0)D.(0,4]

【答案】B

【舞析】解绝对值不等式及一元二次不等式，根据子集关系即可得到结果.

【详解】由于Ix-6|+|x-2|表示数轴上的x对应点到6、2对应点的距离之和，

而-2和10对应点到6、2对应点的距离之和正好等于12,

故等式1彳-6|+|彳-2|>12的解集是4=(-8,-2)31。，+00),由r一2x+l-q2>0(。>0),得

[x-(1_a)][x-(l+a)]>0,

即x>l+a或x<l—a,(o>0),即8=(Yo,l-a)51+o,+co),若p是q的充分不必要条件，

则A是2的真子集，

解得公3,又a>°，.•.实数a的取值范围为(。,刃.故选：B

[1021+4

3.若“X2+3X-4<0”是“x2-(2k+3)x+廿+3%>0”的充分不必要条件，则实数k的取值范围

是()

A.左<—7,或左21B.左4—7,或女>1

C.左<一7,或左>1D.左<一7,或左21

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集，根据充分不必要关系知(TD是(-8出口(左+3,+。)的

真子集，列不等式组求左的范围.

【详解】SX2+3X-4=(X+4)(X-1)<0,则Tv%vl,

由丁一(2左+3)x+左之+34二(x-k\x-k-3)>0,贝!Jx〈左或x>k+3,

因为“f+3%—4<0”是“f—(24+3)x+尸+3人〉0”的充分不必要条件，

所以(-4,1)是(―8,45k+3,+8)的真子集，贝麟21或左+3WY,即左之1或左4—7.

故选：D

【题型六】必要不充分条件求参数

【讲题型】

例题1.设命题P：0<ln(x-2)Wln3,命题q:(x-7")(x-m-3)<0,若4是。的必要不充分条

件，则实数加的取值范围是()

A.[2,3)B.(2,3]C.[2,3]D.(2,3)

【答案】C

【分析】解对数不等式和一元二次不等式可确定命题PM对应的区间，根据必要不充分条件

的定义可得包含关系，由此可构造不等式组求得结果.

【详解】由。<ln(x—2)Wln3得：l<x-243,解得：3<x<5,即p:无e(3,5]：

由W0得：m<x<m+3,即%+3]；

4是P的必要不充分条件，，(3,5][m,m+3],

[m<3「i

，加+3>5,解得：2-m-3,即实数加的取值范围为[2,3].故选：C.

例题2.设P：|4x-3|<l；q：x2-(2«+l)x+a(a+l)<0,若4是P的必要不充分条件，贝匹

的取值范围是()

a

-H]B.[。，[

C.(-℃,0]uQ'+s]D・,+oo^

【答案】A

【彳析】分别解出两个不等式，根据必要不充分条件可得不等式之间的包含关系.

【详解】因为|4x—3|41,所以-l?4x3?1,即;WxWl,不等式f—(2a+l)x+a(a+l)W0

化为(1-tz)[x-(^+l)]<0,

£

解得：a<x<a+\,若4是P的必要不充分条件，则有且等号不同时成立，解得

a+l>\

OWaW；.故选：A

【讲技巧】

利用必要条件求参数的思路

根据必要条件求参数的取值范围时，先将p,q等价转化，再根据必要条

件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系（或者大

小关系），然后建立关于参数的不等式（组）进行求解.

【练题型】

1.命题“任意无目1,2],£-2了-。20”为真命题的一个必要不充分条件是（）

A.a<-lB.a<2C.a<-\D.a>4

【答案】B

【分析】参变分离可得xe[l,2],令=2x,xe[l,2],利用二次函

数的单调性即可得出函数/（x）取得最小值，再根据集合的包含关系判断出结论.

2

【详解】解：命题"Vxe[l,2],x2—2x—azo”为真命题，o<（x-2x）mn,xe[l,2],

令〃X）=X2-2X=（X-1）2-1,xe[l,2],则函数/（尤）在xe[l,2]上单调递增，

；.尤=1时，函数”x）取得最小值，〃％濡=〃1）=一1.；.。4一1.因为（一8,-1]（7,2],

因此命题“任意"目1'2],Y-2尸〃20”为真命题的一个必要不充分条件是aW2,故选：B

X?-%-6V0

2..设。：实数X满足一4改+3〃2<0,其中awO,9：实数无满足，若p是q

x2+2x-8>0

的必要不充分条件，则实数a的取值可以是（）

35

A.1B.—C.—D.3

22

【答案】B

【分析】分别求出命题p、q成立的。的取值范围，根据p是4的必要不充分条件求出〃的

取值范围.

【详解】当。>0时，由Y-4依+3/<0,得xe（a,3a）,当a<0时，由Y-4依+3/<0,

f尤2—九—6<0

得xe（3a,a）,由？。；八，得了42,3],因为P是q的必要不充分条件，所以当"0

时，贝Ij3a>3且a<2,解得l<a«2,

当a<0时，则3〃<2且a>3,无解，综上可得：1<〃<2.故选：B.

3.已知集合A={x|（；尸十6<1},B={尤|log’（尤+。）<1},若“xeA”是“xeB”的必要不充分条

件，则实数a的取值范围是（）

A.（-3,6）B.[-3,6]

C.（-oo,-3）u（6,+co）D.（-oo,-3][6,+co）

【答案】D

【分析】由指数函数与对数的性质，求得集合AB,根据xeA是xeB的必要不充分条件，

得到B是A的真子集，结合集合的运算，即可求解.

【详解】由g］",〈I，1P^2-X-6>0,解得X<—2或X>3,故4={尤I》<一2或X>3},

又由log4（%+a）vl，即0<X+Q<4,解得一〃<了<—1+4,故5={%|—々<%<—。+4},

因为xeA是的必要不充分条件，即3是A的真子集，

可得一Q+44—2或一〃之3,解得a26或々<—3,即（^©,—3］［6,+oo）

故选：D.

【题型七】充要条件应用：文字辨析

【讲题型】

例题1.荀子日：“故不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的

名言.此名言中的“积蹉步”是“至千里”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］B

【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案.

【详解】由名言，可得大意为如果不“积度步”，便不能“至千里”，其逆否命题为若要“至千

里”，则必要“积度步”，另一方面，只要“积陛步”就一定能“至千里'’吗