点圆模型-2024年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

定义型到定点的距离等于定长的点的集合

直角型以动点为直角顶点，所对边长为

圆的直径的动点模型

动点轨迹为圆的几种模型

等弦对等角线段长度不变，线段所对角

的顶点为动点，点在移动过程中，角度始

终保持不变

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题型

一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.掌握该

压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨迹为圆弧型

进行梳理及对应试题分析,方便掌握.

模型01定义型

点4为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.

模型02直径所对的角为直角（直角模型）

一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；

如图，若P为动点，4B为定值，/4PB=90°,则动点P是以为直径的圆或圆弧.

模型03等弦对等角模型

一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，/APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧.

更第•牌型腌建

模型01定义型

考|向田|浏

点国模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问,难度系

数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和

其它几何的相关知识点进行解题.

答I题I技I巧

第一步：根据题意判定动点的变化特性

第二步：找准定点和定长（圆心和半径）

第三步：结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题,一般情况下会涉及最值问题

［题型三＜5,1

，题目口（2022广西）如图，在△ABC中，/ACB=90°,人。=3,3。=4,点。在47边上,且人。=2,动点「

在边上，将人尸。。沿直线PD翻折，点。的对应点为E,则△AEB面积的最小值是（）

AR5

A-2C.2D4

【答案】A

【详解】解:如下图所示，连接BD,作点。关于BD的对称点N,以点。为圆心，以为半径作函，过点D

作DM±AB于M,交函于Q.

•；ZACB=90°,AC=3,BC=4,DM_LAB于“，,ZAMD=/ACB,AB=VAC2+BC2=5.

4MAD=ACAB,AD^2,：.4AMD〜/\ACB,DC=AC-AD^l.

：.^^=4^=^，DQ=DC=1.：.DM=^BC=^T.：.QM=DM-DQ=^T.

BCAB5555

・・・动点、P在BC边上,/XPDC沿直线RD翻折，点。的对应点为E,

:.DE=DC=DN..•.点E在的上移动.

当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM.

：.AAEB面积的最小值为^-AB-QM=-|-.

故选：A.

:题目叵1（2022.北京）如图，在中，乙4cB=90°,ZABC=30°,AC=6,点E是边AC的中点，将

△ABC绕点、。逆时针方向旋转得到AAB'C,点、P是边上的一动点,则PE长度的最大值与最小值的差

为.

[^<1373+6/6+373

【详解】解：90°,ZABC=30°,AC=6,：.BC=6V3,

•.•将△ABC绕点。按顺时针方向旋转，得到△45。,点E是边AC的中点，

AAC=AC=6,FC'=BC=6，WCE=AE=3,.•.点E在以。为圆心，CE为半径的圆上,

如图，当点。，点E',点户共线，且尸。工AS时，PE'长度最小，

•：PC±AB,/,。=30°-畀。=3依最小值为3g—3.

MS

当点P与点笈重合，且点E在PC的延长线上时，PE长度最大，则最大值为6V3+3

PE长度的最大值与最小值的差为6V3+3-3V3+3=3V3+6

故答案为：3四+6.

模型02直角模型

考|向|殖|恻

点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现,一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对

圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.许多实际问题

的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题.

答I题I技I巧

第一步：观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；

第二步：利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；

第三步：涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相

关知识点；

第四步：数形结合进行分析、解答

题筌手停I

,颖目口（2021•山东）如图,在正方形ABCD中，AB=2,E为边AB上一点，F为边BC上一点.连接DE和

AF交于点G,连接BG.若AE=BF,则BG的最小值为.

【答案】西-1.

【详解】解：：四边形ABCD是正方形，,AABC-NDAE,AD^AB,

•：AE=BF：.^DEA2^AFB，二4ADE=ABAF,

：.ADAF+/BAF=/D4B=90°,Z.ZADE+/D4F=90°

ZDGA=90°

.•.点G在以4D为直径的圆上移动，连接OB,OG,

如图：

OA=OD=OG=^-AD=^-AB=1在RtAAOB中，ZOAB=90°

OB==y/O^+AB2=Vl2+22=V5

•/BG>OB-OG=OB-OA=V^-1

：.当且公当O,G,B三点共线时BG取得最小值.

BG的最小值为：、后一1.

MS

趣目②如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,0）,点B是第一象限内的一个动点并且使AOBA=

90°,点。（0,3）,则BC的最小值为.

【答案】，叵—2

【详解】解:如图，以04为直径作。。,连接CD,交©。于B,此时BC长最小,

•.•4(4,0),。(0,3),

:.OC=3,OA=4,

：.OD=DB=2,

CD=Voc2+on2=V32+22=V13,

:.BC=CD—BD=A—2,

故答案为：，*一2.

模型03等弦对等角

考I向I不I恻

点01问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴

题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后,有一定难度.该题型主要

考查动点的轨迹为定圆时，可利用:“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值

为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线

段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造对应图形解决问题,属于中考中的压轴题.

答I题I技I巧

第一步：观察图形特点，确定定弦和定角；

第二步：根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；

第三步：利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；

题型不例

］题目［〔（2022•江苏）如图，已知正方形ABCD的边长为2,若动点E满足NBEC=45°,则线段CE长的最大

值为.

MS

【答案】22

【详解】解：；NBEC=45°,

.♦.点E在以AC为直径的圆上，如图所示，

r.CE的最大值为AC,

•.•正方形ABCD的边长为2,

AC=y/AB2+BC2=V22+22=22,

；.CE的最大值为22，

当点E在BC的下方时，EC的最大值也是22,

故答案为：2方.

［题目区（2023•重庆）如图，在边长为6的等边AABC中，点E,F分别是边上的动点，且AE=CF,连

接BE,AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为

【答案】2代

【详解】解：A4BC是等边三角形，

AB=AC=BC,NCAB=ZACB=60°,

(AB=AC

在AABE和ACAF中，(AACB,

[AE=CF

：.^ABE=ACAF(SAS),

NABE=ACAF,

：.ABPF=APAB+AABP=ACAP+NBAP=60°,

/APB=120°,

如图，过点A,点P,点B作OO,连接CO,PO,

.•.点P在窈上运动，

AO=OP=OB,

：.AOAP=AOPA,NOPB=NOBP,NOAB=AOBA,

AAOB=360°-AOAP-AOPA-AOPB-ZOBP=120°,

.•./OAB=30°,

.'.ZCAO^90°,

VAC^BC,OA^OB,

MS

.•.co垂直平分AB,

"8=30°,

cos/ACO=需=§CO=2AO,

OCz/

.'.(70=473,

AO=2y/3,

在LCPO中，CP>CO—OP,

：.当点P在。O上时，CP有最小值，

.•.。尸的最小值=4同-23=24，

故答案为WL

臬楚・强化圳线

：＞1Q（2023•广东）如图，四边形ABC。为矩形，AB=3,BC=4.点P是线段5。上一动点，点用■为线段

4P上一点./4DM=/BAP,则BA/的最小值为（）

A.B.C.V13-4D.V13-2

Zi01

【答案】。

【详解出殳AD的中点为O,以。点为圆心，AO为半径画圆

•.•四边形ABCD为矩形

ABAP+^MAD^90

•：ZADM=ZBAP

：.AMAD+ZADM=90°

/AMD=90°

.♦.点M■在。点为圆心，以40为半径的圆上

连接OB交圆。与点N

•.•点B为圆。外一点

当直线过圆心。时，最短

•/BO2=AB2+AO2,AO=^-AD=2

BO2=9+4=13

BO=V13

•：BN^BO-AO^V13-2

故选：D.

【题目②（2023•湖南）如图，菱形ABCD边长为4,/4=60°,河是AD边的中点，N是AB边上一动点，将

△AMN沿MN所在的直线翻折得到△4MN,连接4。,则4。的最小值是（）

C.2V7-2D.3

【答案】C

【详解】解:如图所示，是定值，4。长度取最小值时，即4在上.

过点“作MH_L于点H,

在边长为4的菱形ABCD中，NMAN=60°,M为AD的中点，D

2MD=AD=CD=4：,AHDM=NMAN=60°,

：.MD=2,AHMD=30°,

：.HD=^-MD=1,

：.HM=y/DM2-DH2=V3,CH=CD+DH=5,

：.MC=^CH2+MH2=2V7,

A'C=MC-MA'=2V7-2;

故选:C.

［题目叵〕（2023•山西）如图，A4BC中，/C=90°,ZBAC=30°,4B=2,点P从。点出发，沿CB运动到点B

停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q,点Q运动的路径长为（）

A"c瓜n

B.V3.丁D

30-f

【答案】。

【详解】解：・.・AQA.BQ,

・••点。在以AB为直径的。O上运动，运动路径为百。，连接OC,

VAACB=9Q°,OA=OB,

：.CO=OA=1,

：./.COB=2Z.CAB=60°,

二.后心的长为7T

loUJ

8

故选：D.

：>目@（2023•广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N,点M■分别为BC,DE的中点，AB=

6,人。=4,ZVIDE绕点A旋转过程中，上W的最大值为5g.

【答案】

【详解】解:连接AN,AM,以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M7,如图，

ZYADE绕点人旋转，

点”是在以4W为半径，点A为圆心的圆上运动，

•/AM+AN>MN,

：.当点“旋转到"，即M、4、N三点共线时，儿GV的值最大，最大为M'N,

•：△ABC和/\ADE都是等边三角形，M，

点N,点加分另U为BC,_DE的中点，AB=6,AD=4,

AN±BC,AMI.DE,BN=3,DM=2,

在RtAABN中，由勾股定理得AN=^AB2-BN2=373,

在RtAADM中，由勾股定理得AM=y/AD2-DM2=273,

根据旋转的性质得，AM'=AM=2V3,

：.M'N=AN+AM'=5V3,即MN的最大值为573.

故答案为：5遍.

题目回（2023•云南）如图，在RtZXABO中，乙4cB=90°,/BAC=30°,5。=2,

线段绕点B旋转到BD,连AD,E为AD的中点，连接CE,则。七的最大值

是.

【答案】3

【详解】解：•.•BC=2,线段绕点B旋转到BD,

:.BD=2,*BD=1.

由题意可知，。在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动,

E为人。的中点，

.♦.E在以氏4中点为圆心，长为半径的圆上运动，

CE的最大值即C到BA中点的距离加上长.

MS

•:NACB=90°,ABAC=30°,BC=2,/.C到BA中点的距离即^-AB=2,

又.•.CE的最大值即（48+。8。=2+1=3.故答案为3.

颖目0（2023•贵州）如图，正方形ABCD的边长为4,点、E为边AD上一个动点,点F在边CD上,且线段EF

=4,点G为线段EF的中点，连接BG、CG,则BG+三CG的最小值为.

【答案】5

【详解】解:如图，

在RtADEF中，G是EF的中点,

：.DG=^EF=2,

.•.点G在以。为圆心，2为半径的圆上运动，

在CD上截取。/=1,连接GI,

.DI_DG=\

,,京一而一5,

ZGDI=ZCDG,

△GD/〜△CDG,

.IG=DI=\

：.IG=[CG,

：.BG+^-CG^BG+IG>BI,

：.当B、G、/共线时，BG+^CG最小=BT,

在办ABCT中，CZ=3,BC=4,

:.BI=5,

故答案是：5.

[题目⑦（2022•天津）如图,在矩形ABCD中，4B=6,BC=5,点七在BC上，且CE=4BE,点河为矩形内

一动点,使得ACME=45°,连接AM,则线段AM的最小值为.

【详解】解:如图，作△EMC的外接圆。O,连接AO,CO,EO,作。尸J_AB,ON±BC,

MS

•:BC=5,点、E在BC上，且CE=4BE,

:.BE=1,EC=4,

：/CME=45°,

A/EO。=90°,

OE=OC=2V2,ON=EN=CN=2,

:.BN=OF=3,AF=6—2=4,

在RtAAFO中，AO=V32+42=5,

当点”是。4与。。的交点时，4W最小,

AM的最小值=OA—OE=5—2V2.

故答案为：5—22.

:题目回（2023•贵阳）如图，矩形ABCD中，AB=20,人。=30,点E,F分别是AB,BC边上的两个动点，且

EF=10,点G为EF的中点，点H为AD边上一动点,连接CH、GH,则GH+CH的最小值为.

【详解】解：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动.

作。关于AD的对称点。，连接CB,交4□于交以B为圆心，以5为半径的圆于G

由两点之间线段最短，此时CB的值最小

最小值为y/BC2+CC'2=V302+402=50,

则GH+S的最小值=50—5=45,

画日回（2023•安徽）等腰直角△ABC中，BAC=90°,AB=5,点。是平面内一点，4D=2,连接BD,将BD

绕D点逆时针旋转90°得到DE,连接AE,当DAB=（填度数）度时，AE可以取最大值,最大值等

于.

MS

【答案】1355+2V2

【详解】解:如图一，连接CE、BE.

45°,

•.•将BD绕D点逆时针旋转90°得至IDE,AED=BD,AGED=45°，,NABD=4cBE,

,:怨二三=W，：AADB〜4CEB，：.CE=®AD=&X2=20

BCV2BE

ADAB=NECB=180°-AACB=135°,

如图二，.•.点E在以点。为圆心，CE长为半径的圆周上运动，

当A、。、石在同一直线上46最长，人后=4。+。£=5+22,

故答案为：135;5+2皿

;题目回（2023•广西）如图①，在△ABC中，/ACB=90°,点。，E分别是边上的点，且AC=CD=

3,连接AE,DE,ACAE+NAEB=180°.

⑴当乙8=22.5°时,求证：CD平分乙4cB；

⑵当=时，求需的值；

⑶如图②，若点尸是线段力。上一点，且AF=1,连接DF1,石尸，石尸交CD于点G,求△OEF面积的最大

值.

【答案】（1）证明过程见详解；（2）通+1;（3）呼2—3.

【详解】（1）证明：:/CAE+180°,ACEA+ZABB=180°,

・・.ACAE=ACEA,

：.AC=CE,

・・・AC=CD,

・・.AC=CD=CE,

・・・ZB=22.5°,ZACB=90°,

・・.ACAD=ACDA=90°-22.5°=67.5°,

・・.AACD=180°-2x67.5°=45°,

・・・/BCD=90°—45°=45°,

・・・4ACD=4BCD,•••

・・・CD平分乙4c8;

（2）解：由⑴得：4O=CD=CE,

如图①，以点C为圆心，CA长为半径作圆，过点E作EP_LAB于P,

•：CD=BD,

：.4DCB=4B,

・・・AACD+/.BCD=90°,ACAD+NB=90°,

・・.ZACD=ACAD,

：.CD=AD,

・・・AC=CDf

:.AC—CD—AD,

：.A4CD是等边三角形，图①

・・・ZCAD=60°,CD=AD=BD=3,

：.ZB=30°,

・・・乙4cB=90°,

NADE=180°—j-ZACB=180°-yx90°=135°,

ZEDP=180°-135°=45°,

4DPE是等腰直角三角形，

：.DP=EP,

设。P=EP=a;,则BP=3-a;,

在AtABEF中，tanB=4=暮=可―

3BJr6—x

解得：/=3,

・・・ZACE=90°,AC=CE,

・・・NCAE；=45°,

・・・/CAE=/PDE,

・・・/ACE=/DPE=90°,

：.4ACE〜LDPE,

.AEAC3

…DE~DP~33

〃2一

（3）解：由⑴得：ZC=CD=CE,

如图②，以点。为圆心，CA长为半径作圆，

\,CE=CD=3,CF=AC-AF=3-l=2fZACB=90°,

EF=y/CF2+CE'2=V22+32=俯，为定值，

•••CD为定值，

当CDLEF时，CG取得最小值，

此时，点D到EF的距离取得最大值,

即△DEF的面积取得最大值，

VSMEF=卷CF・CE=曰EF・CGi

即日x2x3=}xV13xCG最小，

解得：CG最小=笔工,••

...DG最大=CD-CG最小=3-喑，

SADEF最大=最大=yXV13X（3-6^^）=-3.

交支•题型通夫

［题目叵］如图，在矩形ABCD中，已知=3,BC=4,点P是BC边上一动点（点P不与B,C重合）,连接

AP,作点B关于直线4P的对称点则线段用。的最小值为（）

A.2B.C.3D.V10

【答案】A

【详解】解：连接AM,

••.点B和河关于4P对称，

AB=AM=3,

・•・〃■在以4圆心，3为半径的圆上，

・・・当4M,。三点共线时，W最短,

・•・AC=V32+42=5,AM=AB=3,

・.・CM=5—3=2,

故选：A.

［题目］12］如图,正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点,连接跳;，过点A作AF，BE于点F,点

P是AO边上另一动点，则PC+PF的最小值为（）

B.2V13-2C.6D.2V5+2

【答案】B

【详解】解:如图:

MS

取点C关于直线ZZ4的对称点（7.以AB中点O为圆心，04为半径画半圆.

连接OC交D4于点P,交半圆O于点F,连AF.连BF并延长交D4于点E.

由以上作图可知，AF_LEB于F.

PC+PF=PC"+EF=C'F

由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小.

；。3=4,OB'=6

：.C'O=V42+62=2V13,

：.C'F^2V13-2,

.•.PC+PF的最小值为2J叵一2,

故选：B.

题目如图，在和RtZXADE中，ABAC=ADAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.连接

BD,CE,将△ADE绕点人旋转一周，在旋转的过程中当/DBA最大时，A4CE的面积为（）.

A.6B.6V2C.9D.9V2

【答案】A

【详解】解：由题意知，。点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，

当BD与D点的轨迹圆相切时，NDBA取最大值，此时ABDA=90°,如图所示,

过。作CF_LAE于F,

,；ZDAE=90°,ABAC=90°,

ACAF=/BAD,

在Rt4ABD中，由勾股定理得：BD=V52-32=4,

由sin/CAF=sin/SAZ^^:

-C---F-------B--D--即口--0-C---F-=--4-

ACAB935'

解得：CF=孕，

5

此时三角形ACE的面积=^x率X5=6,故选：A.

，题目叵）如图，在RSABC中，/ACB=90°,BC=3,4B=5,点。是边BC上一动点，连接4D,在人。上取

一点E,使/D4C=/OCE,连接BE,则BE的最小值为（）

DB

A.2^/5--3B.C.V13-2D.卷

【答案】。

【解答】解：•.•RtZXABC中，乙4cB=90°,BC=3,AB=5,

.•.47=4,/

如图，取47的中点O,连接OE,OB,

vADAC=ADCE,ADCE+ZACE=90°,/\\

o

AZL>AC+ZACE=90,Q1；

AZAEC=90°,\

：.CELAD,

可得E点在以O为圆心，半径为。4的圆上运动，当O,E,B三点在同一直线上时，'c^DS

BE最短,

可得此时OE=OC=OA=2,

在Rt^OCB中，08=V32+22=V13,

故BE的最小值为：OB-OE=63-2,

故选：C.

.题目如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB=4,当4APB=90°时,连接PD，则线段PD的最小

B.2V13-2C.6D.4V3

【答案】B

【详解】解：。45=4,乙4PB=90°,

.♦.点P在以AB为直径的圆弧上，

如图，取AB的中点O,连接OD,当O、P、D三点共线时，PD有最小值,

连接,过点C作CHLBD于点H,

♦.•点O为AB的中点，

.•.OA=OB=OP=4+2=2,

•.•正六边形的每个内角为180°x(6—2)+6=120°,

■：CD=CB,

：.2CBD=(180°-120°)4-2=30°,BL>=2BH,

：.AOBD=120°-30°=90°,

在RtACBH中，CH=^-CB=2,BH=273,••

BD=4V13,

在Rt/\OBD中，OD=4+(4通>=2V13,

.•.P。的最小值为OD-OP=2，*—2.

故选：B.

16

【题目P1如图，矩形ABCD的边AB=8,AD=6,M为BC的中点，P是矩形内部一动点,且满足NADP=

/-PAB,N为边CD上的一个动点,连接PN,MN,则PN+的最小值为.

【详解】解：；四边形ABCD是矩形，

/BAD=90°,

•/AADP=Z.PAB,

NADP+ZPAD=APAB+/PAD=ABAD=90°,

.•.点P的运动路线为以AD为直径的圆，

作以为直径的OO,作点河关于直线OC的对称点M,连接OM'交。。于点P,连接M'N,OP,

则OP=OP=3,M'N=MN,

：.PN+MN=PN+M'N=PN+M'N+OP-OP'>OM'-OP'=OM'-3,

.•.PN+昭V的最小值为OAT-3;

连接OM,

•.•四边形ABCD是矩形，点。是AD的中点，点河为BC的中点,

OD=~AD=~BC=CM=3,OD//CM,Z079(7=90°,

四边形(WCD是矩形，

OM=DC=AB=8,

・・,点“关于直线。。的对称点Mf,

・・.M，M=2MC=6,

在电河中，

由勾股定理，得OAT=y/OM2+M'M2=A/82+62=10,

.•.PN+AW的最小值为OAT—3=10—3=7,

故答案为：7.

蜃自］兀如图，在等边△ABC中，AB=6,点分别在边BC,AC上，且BD=CE,连接交于点

F,连接CF,则NAFB=,CF的最小值是

MS

A

【答案】120°,2A/3.

【详解】解:如图，△48。是等边三角形，

AB^BC^AC,AABC=ABAC=4BCE=60°,

•：BD=CE,

：.△ABD名△BCE(SAS),

AZBAD=ZCBE,

又AAFE=ABAD+NABE,

：.ZAFE=ACBE+AABE=AABC,

：.ZAFE=60°,

：.ZAFB=120°,

.♦.点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(/AOB=120°,OA=273),

连接。。交OO于N,当点F与N重合时，CF的值最小，最小值=OC-ON=473-273=273.

故答案为：120°,2V3.

题目E如图，在出△ABC中，乙4cB=90°,/A=30°,BC=2,点E是47的中点，点F是斜边AB上任意

一点，连接EF,将△4EF沿EF对折得到ADEF,连接DB,则周长的最小值是.

【答案】4+

【详解】解:在Rt^ABC中，Z.ACB=90°,/A=30°,BC=2,

AB=4,

AC=y/AB2-BC2=V42-22=273,

如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE,交。E于点、D,

此时AD的长度最小，

•/将AAEF沿EF对折得到ADEF，且点E是AC的中点，

：.AF^D'F,AE^A'E^V3,

•：C谢F=D'F+FB+BD'=AF+FB+BD'=AB+BD',

此时△BDF的周长最小，

过E作硒__L4B于点V,

：.EM=^-AE=^~,

22

由勾股定理可得AM^^JAE2-EM2=不3—三=得,••

由勾股定理可得BE=y/EM2+BM2=春+学=

BU=BE-ED=/-羽,

二△BDF周长的最小值是4+—血.

故答案为：4+，7—四.

题目®如图，在边长为3的菱形ABCD中，/A=60°,Af是AD边上的一点，且­AD,N是AB边上

o

的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到44皿N,连接4G.则4。长度的最小值是

【答案】V19-1

【详解】解:过点M■作MH_LCD交CD延长线于点H,连接CM,

AM=^-AD,AD=CD=3

o

AA1=1,MD=2

•：CD//AB,

：.4HDM=ZA=60°

:.HD=^-MD=1,HM=V3HD=瓜

:.CH=4

MC=y/MH2+CH2=V19

•.•将/\AMN'沿MN所在直线翻折得到4AMN,

.•.点4在以Af为圆心，AM为半径的圆上，

当点4在线段上时，4。长度有最小值

4C长度的最小值=必7一旦4=，每一1

故答案为：力勺一1

'W1①如图，线段4B为。。的直径，点。在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点P是。。上一动点，连

接C尸，以CP为斜边在PC的上方作Rt/\PCD,且使ADCP=60°,连接OD,则OD长的最大值为

[^<1273+1/1+273

【详解】解:如图，作△COE,使得ZCEO=90°,AECO=60°,

则CO=2CE,OE=2聪,40cp=4ECD,

•：ACDP=90°,匕DCP=60°,CP=2CD,

MS

,COCPCP

=2,：./\COP-

，9~CE~~CD△CED，：.哥~CD

即ED=/OP=1（定长）,

•.。点E是定点，DE是定长,

.•.点。在半径为1的OE上，

：ODWOE+。七=2四+1,

.•.OD的最大值为2四+1,故答案为：2遍+1.

【巅目叵如图，4ABC为等边三角形，=2,若P为△ABC内一动点,且满足APAB=ZACP，则点P运

动的路径长为.

【详解】解：•••△ABC是等边三角形，

ZABC=ABAC=60°,AC=AB=2,

■：APAB=/LACP,

ZPAC+ZACP=60°,

：.ZAPC=12Q°,

・,•点p的运动轨迹是万口，如图所示：

连接OA、OC,作OD_LAC于。，

则AD=CD=f4C=l,

•.♦反比所对的圆心角=2/4PC=240°,

劣弧AC所对的圆心角乙4。。=360°—240°=120°,

■：OA^OC,

：.AOAD^30°,

•：OD±AC,

.••OD=亨AD=W，OA=2OD=

故答案为：R招兀.

面目卬如图，RtAABC中，AB，BC,AB=12,BC=8,P是^ABC内部的一个动点,且满足Z.PAB=

/PBC,连接PC,则线段CP长的最小值为.

MS

【答案】4

【详解】解：；ZABC=90°,

/ABP+/PBC=90°,

•/NPAB=2PBC,

/BAP+/ABP=90°,

/APB=90°,

.♦.点P在以AB为直径的OO上，连接OC交。。于点P,此时PC最小,

在R1