南京市玄武区2024年八年级下期中数学试卷及答案

2024学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小时，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸相应位置上）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.④B.囚C

2.在代数式①工；②卓；③齐；④高中，属于分式的有（）个.

x54-a兀-1

A.1B.2C.3D.4

3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,点E是BC的中点.若0E=3cm,则

AB的长为（）

BEc

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

4.下列各式变形正确的是（）

5.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满意条件的是（）

①平行四边形；②菱形；③对角线相互垂直的四边形.

A.①③B.②③C.①②D.均可以

6.如图，已知点A,C在反比例函数丫=三（a>0）的图象上，点B、D在反比例函数y=k（b

<0）的图象上，AB〃CD〃x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5,

则a-b的值是（）

y,

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案干脆填

写在答题纸相应位置上）

7.当乂=时，分式拈L的值为0.

x+1

8.关于x的反比例函数行"（m为常数），当x>0时，y随x的增大而减小，则m的取值

X

范围为.

9.若关于x的方程驾=-1有增根，则m的值是—.

x-3

10.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距skm,若一艘游轮在静水中航行的速度为

akm/h,水流速度为bkm/h（bVa）,则该游轮来回两港口所需时间相差—h.

11.如图，点A在双曲线y=k上，AB，x轴于点B,且AAOB的面积是2,则k的值是.

X

12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,AELBD于点E,ZA0B=50°,则NBAE

的度数是—.

13.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点0,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则

0E的长等于

14.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'L>的位置，旋转角为a(0°<a

<90°),若Nl=110。，则Na=.

15.点A(a,b)是一次函数y=-x+3与反比例函数的交点，则的值__.

xab

16.我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰

点，例如：如图，矩形ABCD的对角线交点0是矩形的一个腰点，则任一正方形的腰点共有

个.

三、解答题(本大题共9小时，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

b2

17.计算：白-々+，

a+ba-ba2-b2'

18.解下列方程:

1二3

(1)

2xx-5

5x-4_|_4x+10

(2)

x-26-3x

.x?+x2-2x

19.先化简：(驾+1)然后从-2WxW2的范围内选取一个合适的整数

X-l'X2-2X+1X2-1

作为x的值代入求值.

20.如图，菱形ABCD中，分别延长DC,BC至点E,F,使CE=CD,CF=CB,连接DB,BE,EF,

FD.

求证：四边形DBEF是矩形.

21.如图，在方格网中已知格点aABC和点0.

(1)画AA，B'C和aABC关于点0成中心对称；

(2)若以点A、0、)、D为顶点的四边形是同等四边形，请在方格网中标出全部符合条件

22.扬州建城2500年之际，为了接着美化城市，安排在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参

与，实际每天栽树的棵数比原安排多20%,结果提前2天完成，求原安排每天栽树多少棵？

23.如图，已知反比例函数y=4■与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8)、B(-4,m).

x

(1)求L、k2,b的值；

(2)求△AOB的面积；

(3)请干脆写出不等式上L<k2x+b的解集；

X

(4)若M(Xi，yj、N(x2,y2)是反比例函数尸匕图象上的两点，且XiVx2,%<丫2，指出

X

24.如图，在口ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG〃DB交

CB的延长线于点G.

（1）求证：DE/7BF；

（2）若NG=90°,求证：四边形DEBF是菱形.

25.在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MNLAB分别交AB、CD于M,N,连接BE交MN

于点0,过0作0PLBE分别交AB、CD于P、Q.

探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE、MP、NQ的长度，揣测

AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所揣测的结论；

探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE、MP、NQ之间的数量关系又是怎样？并

证明你所揣测的结论.

再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H,若点E分别在线段DH和HG

上时，推断AE,MP,NQ之间的数量关系又分别怎样？请干脆写出结论.

图o

图0图©

202学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小时，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸相应位置上）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.④B.g）C.二二D.,

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】依据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形.

故选A.

2.在代数式①工；②卓；③上；④高中，属于分式的有（）个.

x54-a兀T

A.1B.2C.3D.4

【考点】分式的定义.

【分析】推断分式的依据是看分母中是否含有字母，假如含有字母则是分式，假如不含有字

母则不是分式.

【解答】解：代数式①上；③六的分母中含有字母，属于分式，其他的代数式的分母中不

含有字母，不属于分式.

故选：B.

3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,点E是BC的中点.若0E=3cm,则

AB的长为（）

AD

O

BEC

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质.

【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以0E

是aABC的中位线，由0E=3cm,即可求得AB=6cm.

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

.\OA=OC；

又•••点E是BC的中点，

.*.BE=CE,

/.AB=20E=2X3=6（cm）

故选B

4.下列各式变形正确的是（）

1_X-]

A.B.x+1-2

2+a1+ax-l

a2-l।

C.-x+y=x+VD.

x-yy-x

【考点】分式的基本性质.

【分析】依据分式的性质分式的分子分母都乘或都除以同一个不为0的整式，分式的值不变,

可得答案.

【解答】解：A、依据分式的基本性质可知：分子、分母的每一项都要除以2,故此选项错误;

B、依据分式的基本性质可得：分式的分子分母应是同时乘或除以同一个不为0的数，分式

的值不变，故此选项错误；

C、-Ay-=-1,故此选项错误；

x-y

D、a^4=(a+l)(a-l)a_b故此选项正确;

a+1a+1

故选D.

5.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满意条件的是（）

①平行四边形；②菱形；③对角线相互垂直的四边形.

A.①③B.②③C.①②D.均可以

【考点】中点四边形.

【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则依据矩形的性质及三角形的中位线的性

质进行分析，从而不难求解.

【解答】解：如图点E,F,G,H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形.

...点E,F,G,H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形.

AZFEH=90°,EF〃BD〃HG,FG〃AC〃EH,EFWGH.

AACXBD.

①平行四边形的对角线不肯定相互垂直，故①错误；

②菱形的对角线相互垂直，故②止确；

③对角线相互垂直的四边形，故③正确.

综上所述，正确的结论是：②③.

故选：B.

6.如图，已知点A,C在反比例函数y=上(a>0)的图象上，点B、D在反比例函数y=k(b

XX

<0)的图象上，AB〃CD〃x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5,

则a-b的值是()

A.25B.8C.6D.30

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】利用反比例函数k的几何意义，结合相关线段的长度来求a-b的值.

【解答】解：如图，由题意知：

a-b=2*0E,

a-b=3*0F,

又•.•0E+0F=5,

，0E=3,0F=2,

a-b=6.

故选C.

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案干脆填

写在答题纸相应位置上）

7.当x=1时，分式上屏的值为0.

x+1

【考点】分式的值为零的条件.

【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零.

【解答】解：依题意得|x|-l=0,且x+IWO,

解得x=l.

故答案是：L

8.关于x的反比例函数产上卫（m为常数），当x>0时，y随x的增大而减小，则m的取值

x

范围为m>l.

【考点】反比例函数的性质.

【分析】反比例函数图象在x大于0时，可能在第一象限或第四象限，再依据x>0时y随x

的增大而增大，推断出此反比例函数图象不行能在第一象限，故得到此函数图象在其次、四

象限，进而确定出反比例函数解析式的系数小于0,列出关于m的不等式，求出不等式的解

集即可得到m的取值范围.

【解答】解：反比例函数尸上三（m为常数），当x>0时y随x的增大而增大，

X

1-m<0,

解得：m>l,

则m的取值范围为m>l.

故答案为：m>l.

9.若关于x的方程&粤=-1有增根，则m的值是-6.

x-3

【考点】分式方程的增根.

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化

为整式方程的方程即可求出m的值.

【解答】解：方程两边都乘（x-3）,得

2x+m=-（x-3）

•••原方程增根为x=3,

.•.把x=3代入整式方程，得m=-6.

故答案为：-6.

10.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距skm,若一艘游轮在静水中航行的速度为

2bs

akm/h,水流速度为bkm/h（b<a）,则该游轮来回两港口所需时间相差丁一亍h.

-a-b-

【考点】列代数式（分式）.

【分析】游轮逆水行驶的速度为（a-b）km/h,顺水行驶的速度为（a+b）km/h,再利用速

度公式表示出它们行驶skm所用的时间，然后求它们的差即可.

Oke

【解答】解：该游轮来回两港口所需的时间差为：（h）.

a-ba+ba-b

故答案为伊万.

a-b

U.如图，点A在双曲线y=-±,AB±x轴于点B,且△AOB的面积是2,则k的值是-4

X

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】依据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上随意一点向坐标轴作

垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是今k|,且保持不变，可得去k|=s

AAOB=2,据此求出k的值是多少即可.

【解答】解：,••△AOB的面积是2,

•'•yIk|=2»

|k|=4,

解得k=±4,

又•.•双曲线y=K的图象经过其次、四象限，

x

k=-4,

即k的值是-4.

故答案为：-4.

12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,AELBD于点E,ZA0B=50°,则NBAE

的度数是25°.

【考点】矩形的性质.

【分析】易证NBAE=NADE,依据矩形对角线相等且相互平分的性质，可得N0AB=N0BA,在

□△ABD中，已知N0BA即可求得NBAE的大小.

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形，AE±BD,

AZBAE+ZABD=90°,ZADE+ZABD=90°,

/.ZBAE=ZADE,

•••矩形对角线相等且相互平分，

.*.0A=0D,

/.Z0AB=Z0BA=180~5U—=65°,

/.ZBAE=ZADE=90°-65°=25°,

故答案为：25°.

13.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点0,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则

0E的长等于3.5

【考点】菱形的性质.

【分析】依据菱形的四条边都相等求出AB,再依据菱形的对角线相互平分可得OB=OD,然后

推断出0E是AABD的中位线,再依据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求

解即可.

【解答】解：•.•菱形ABCD的周长为28,

.*.AB=284-4=7,OB=OD,

IE为AD边中点,

AOE^AABD的中位线，

/.OE=-^AB=-^X7=3.5.

22

故答案为：3.5.

14.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'LDz的位置，旋转角为a(0°<a

<90°),若Nl=110。，则Na=20°.

【考点】旋转的性质；矩形的性质.

【分析】依据矩形的性质得NB=ND=NBAD=90°,依据旋转的性质得ND'=ND=90°,Z4=

a,利用对顶角相等得到Nl=N2=U0°,再依据四边形的内角和为360°可计算出N3=70°,

然后利用互余即可得到/a的度数.

【解答】解：如图，

•.•四边形ABCD为矩形，

/.ZB=ZD=ZBAD=90°,

•.♦矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB'C'D',

.•.ND'=ZD=90°,N4=a,

VZ1=Z2=11O°,

AZ3=360°-90°-90°-110°=70°,

/.Z4=90°-70°=20°,

.•.Na=20。.

故答案为：20°.

15•点A(a,b)是一次函数y=-x+3与反比例函数尸2的交点，则上打的值多.

xab2

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

f2

【分析】由尸、解得(X;或［卡：可得A(1,2)或(2,1),由此即可解决问题.

一心I尸2I尸1

(y=-x+3

f2

【解答】解：由产］解得卜;或

1尸21尸1

［y=-x+3

AA(1,2)或(2,1),

・1+1=2

b-2，

故答案为当

16.我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰

点，例如：如图，矩形ABCD的对角线交点0是矩形的一个腰点，则任一正方形的腰点共有

9个.

【考点】正方形的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质.

【分析】依据把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形

的腰点，可得正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有

四点，据此解答即可.

【解答】解：如图，

正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四个腰点.

故答案为：9.

三、解答题（本大题共9小时，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

【考点】分式的加减法.

【分析】首先通分，把分母化为（a+b）（a-b）,然后再依据同分母的分式相加减，分母不

变，把分子相加减进行计算即可.

a(a-b)b(a+b)

【解答】解：原式•+----------------------

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

二屋-ab-ab-b2+b2

(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)

18.解下列方程：

/\5x-4-4x+10

⑵9=

【考点】解分式方程.

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得

到分式方程的解.

【解答】解：（1）去分母得：X-5=6x,

解得：x=-1,

经检验X=-l是分式方程的解；

（2）去分母得：-15x+12-4x-10=6-3x,

解得：x=-1,

经检验x=-g是分式方程的解.

4

19.先化简：（驾+1）+A+专江,然后从-2WxW2的范围内选取一个合适的整数

xTx-2x+lx-1

作为x的值代入求值.

【考点】分式的化简求值.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时依据除法法则变形,

约分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值.

【解答】解：斗/+x+2-2x

X2-2X+1J-l

-x+Hx-lT(x-l)22(l-~x)

x-1x(x+l)(x+1)(xT)

2

=2x/x-1)2

x-1x(x+l)x+1

_2x-4

-x+1

满意-2WxW2的整数有：-2、-1、0、1、2

但x=-l、0、1时，原式无意义,

/.x=-2或2

.•.当x=2时，原式=0.

20.如图，菱形ABCD中，分别延长DC,BC至点E,F,使CE=CD,CF=CB,连接DB,BE,EF,

FD.

求证：四边形DBEF是矩形.

D

RF

【考点】矩形的判定；菱形的性质.

【分析】由对角线相互平分得出四边形DBEF是平行四边形，由菱形的性质得出CD=CB,得出

BF=DE,即可得出结论.

【解答】证明：；CE=CD,CF=CB,

...四边形DBEF是平行四边形，

•.•四边形ABCD是菱形，

.*.CD=CB.

.*.CE=CF,

.*.BF=DE,

・•.四边形DBEF是矩形.

21.如图，在方格网中已知格点4ABC和点0.

（1）画AA，B'C和aABC关于点0成中心对称；

（2）若以点A、0、）、D为顶点的四边形是同等四边形，请在方格网中标出全部符合条件

的D点.

【考点】作图-旋转变换；作图一应用与设计作图.

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于点0的中心对称的对应点，再首尾顺次连接即可得；

（2）分别以L0为边、A0为边或A0为对角线的点D,以U0为对角线的点D,据此可得

答案.

【解答】解：（1）如图，AA，B，L即为所求作三角形;

乌

(2)如图，点上、D?、D3即为所求点.

22.扬州建城2500年之际，为了接着美化城市，安排在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参

与，实际每天栽树的棵数比原安排多20%,结果提前2天完成，求原安排每天栽树多少棵？

【考点】分式方程的应用.

【分析】设原安排每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为(1+20%),依据题意可得，实际

比安排少用2天，据此列方程求解.

【解答】解：设原安排每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为(1+20%),

由题意得，丝强1200_2

X(1+20%)x

解得：x=100,

经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意.

答：原安排每天种树100棵.

23.如图，已知反比例函数y=4~与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8)、B(-4,m).

x

(1)求L、k2,b的值；

(2)求△AOB的面积；

(3)请干脆写出不等式上L<kzx+b的解集；

X

(4)若M(Xi，力)、N(x2,y2)是反比例函数y=匕图象上的两点，且Xi〈X2，%<丫2，指出

X

点M、N各位于哪个象限，并说明理由.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式,

再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，依据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一

次函数解析式；

（2）依据一次函数图象上点的坐标特征即可求出一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用

分割图形法即可求出AAOB的面积；

（3）依据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集；

（4）依据反比例函数的性质即可得到结果.

【解答】解：（1）反比例函数y=4"与一次函数y=kzx+b的图象交于点A（1,8）、B（-4,

X

m）,

/.ki=lX8=8,m=84-（-4）=-2,

・••点B的坐标为（-4,-2）.

将A（1,8）、B（-4,-2）代入y2=kzx+b中，

"k2+b=8

-4k2+b=-2

工2二2

解得：,.

.b=6

ki=8,k2=2,b=6；

(2)当x=0时,y2=2x+6=6,

工直线AB与y轴的交点坐标为(0,6).

SAA0B=yX6X4+1x6X1=15；

（3）视察函数图象可知：当-4<xV0或x>l时，一次函数的图象在反比例函数图象的上

方，

...不等式5<k2x+b的解为：-4WxV0或xNl；

X

（4）•.•比例函数y=5■的图象位于一、三象限，

X

在每个象限内，y随x的增大而减小，

Vxi<x2,yi<y2>

AM,N在不同的象限，

AM（xi，弘）在第三象限，N（A，y2）在第一象限.

24.如图，在MBCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG〃DB交

CB的延长线于点G.

（1）求证：DE/7BF；

（2）若NG=90°,求证：四边形DEBF是菱形.

【分析】（1）依据已知条件证明BE=DF,BE〃DF,从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可

证明DE〃BF,

（2）先证明DE=BE,再依据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论.

【解答】证明：（1）•.•四边形ABCD是平行四边形，

...AB〃CD,AB=CD.

•••点E、F分别是AB、CD的中点,

.\BE=-AB,DF=^CD.

22

.*.BE=DF,BE〃DF,

...四边形DFBE是平行四边形,

.,.DE/7BF；

(2)VZG=90°,AG//BD,AD〃BG,

...四边形AGED是矩形，

AZADB=90°,

在RtAADB中

•；E为AB的中点，

，AE=BE=DE,

•.•四边形DFBE是平行四边形，

...四边形DEBF是菱形.

25.在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MNLAB分别交AB、CD于M,N,连接BE交MN

于点0,过0作0PLBE分别交AB、CD于P、Q.

探究：(1)如图①，当点