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文档简介
专题6-2数列求通项
题型一:s“法
【典例分析】
例题1.(2024•陕西宝鸡•模拟预料(理))已知等比数列{。"}的前”项和为S",且
%+i=2S,+l(〃wN*).
(1)求数列{%}的通项公式;
例题2.(2024•陕西•安康市高新中学三模(理))己知等比数列{%}的前几项和为
n+l
Sn=4-k.
(1)求实数人的值,并求出数列{““}的通项公式;
例题3.(2024•山东烟台•三模)己知数列{4}的前〃项和为S,,4=:,当“22时,
S;=anSn-an.
⑴求S“;
例题4.(2024•宁夏•银川一中一模(理))已知数列{%}满意?■+!!■++墨=*
(1)求数列{%}的通项公式;
【提分秘籍】
对于数列{4},前九项和记为5.;
aa2
①Sn=%+出+%+n-l+%;②Ei=%+4+%+.n-l52)
①-②:S〃—S“_1=4("22)
S“法归类
角度1:已知5“与4的关
系;或S"与〃的关系
用S“—S〃T,得到4例子:已知4E,=(a,+l)2,求4
角度2:已知功,与SRS”的s.—S“_1替换题目中例子:已知2%=S£T(心2);
关系;或%与的可
已知=an+l~JS〃+1
向+历的关系
角度3:已知等式中左侧含作差法(类似
例子:已知%+2%+3/+…+nan=2"求4
nS"-S"_1)
有:
i=l
【变式演练】
1.(2024•全国•模拟预料)已知数列{q}的前〃项和为s.,q=4,%=8,且
S"+2-2S"M+S“=4・
⑴求证:数列{《,}是等差数列;
2.(2024•湖南啷阳市其次中学模拟预料)已知数列同}的前〃项和为S“,且4%=3S“+2.
⑴求数列{4}的通项公式;
3.(2024•湖北•黄冈中学三模)已知等差数列{%}的前”项和为S“,且%=1,久=7;
n+i
数列也J满意4+优++bn=2-2.
⑴求数列包,}和也}的通项公式;
4.(2024•四川•石室中学三模(文))已知数列{%}的前〃项和为S“(〃eN*),且
-S,+4^+•••+—S=3n+5.
2222"
⑴求生,出及数列{4}的通项公式;
题型二:累加法
【典例分析】
例题1.(2024•福建泉州•高二期末)已知数列{。“}满意:q=1,%=3,%=7,{%+i-。〃}为
等差数列.
(1)求数列{4}的通项公式;
例题2.(2024•重庆市育才中学模拟预料)已知12+22+...+川=4"(〃+1)(2,7+1),数列{%}
6
满意=/+2〃+1,%=1.
⑴求{。“}的通项公式;
【提分秘籍】
累加法(叠加法)
若数列{%}满意册+「册=/(〃)”N*),则称数列{a”}为“变差数列",求变差数列{%,}
的通项时,利用恒等式
%=%+(%一)+(。3一%)■1---h(%,-4-1)=%+/⑴+/(2)+/⑶H----1"-1)伽N2)
求通项公式的方法称为累加法。
详细步骤:
出一%=/(I)
。3-。2=/(2)
=7(3)
=/("T)
将上述1个式子相加(左边加左边,右边加右边)得:
(出一%)+(%-a2)+(。4-%)+…+(4-a"-1)=/⑴+/(2)+/⑶++/("—1)
整理得:«„-«1=/(1)+/(2)+/(3)+
【变式演练】
1.(2024•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高二期中)已知数列{4}满意%=3,七-《1=2",
(1)求数列{见}的通项公式;
⑵令2=乌二L设数列他,}的前〃项和为叫证明:
anan+l153
2.(2024•全国•模拟预料)给出以下两个条件:①为=3q=3,an+2-2an+1=Sn+1-Sn-2an.,
②%=1,(l+%)(l+*)=2"+i(%-*(〃eN*).请从这两个条件中任选一个将下面的题
目补充完整,并求解.
已知数列{4}的前〃项和为S“,且______.
⑴求数列包,}的通项公式;
注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
3.(2024•河南洛阳•高二阶段练习(理))在数列{?}中,q=O,a„-a„_1=2«-l(w>2).
⑴求{4}的通项公式.
题型三:累乘法
【典例分析】
例题1.(2024•浙江省淳安中学高三开学考试)已知数列{%}的前〃项和为
S“,q=1,(〃+3)S“=nS„+1(«eN*).
(1)求数列{4}的通项公式;
例题2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{。“}满意ql)a“-加*=0.
(1)求数列{%}的通项公式;
【提分秘籍】
累乘法(叠乘法)
若数列{““}满意女"=/(〃)(L),则称数列{%}为“变比数列",求变比数列{册}的
通项时,利用%=%,丝・巴・旦----二6"⑴"⑵•/(3)••••/(〃-1)(n>2)求通项
a
a2%n-\
公式的方法称为累乘法。
详细步骤:
"="1)
a{
%=〃2)
a2
&=/(3)
a3
'=/(〃-1)
将上述“-1个式子相乘(左边乘左边,右边乘右边)得:
。1。2。3册一1
整理得:&=/(1)"(2)/(3>"5—1)
【变式演练】
(、么2H+1
1.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{〃“}满意q=1,=.
⑴求数列{%}的通项公式;
2.(2024•全国•高三专题练习)在数列匕〃}中,&=1,an=(〃22),求数列{an}
的通项公式.
3.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{。,}的首项为且满意
(«+1)«„=(,7T)a“_i(〃22,"eN*).求{%}的通项公式.
题型四:构造法
【典例分析】
例题1.(2024•江苏苏州•高三阶段练习)已知数列{4}的前〃项和为S“,且S”精,数
列他,}满意bn=3b+2(〃eN*,〃22),且4=6+1.
(1)求数列{%}和{"}的通项公式;
例题2.(2024•海南华侨中学高三阶段练习)数列{4}中,已知%=3%1+2.4"(„eN*,
n>2),其中彳是非零的常数.
(1)若q=5,a尸25,求证:数歹!J{%-5向}是等比数列;
例题3.(2024•广东•模拟预料)已知数列{4}中,q=5且4=2%7+2"-1("..2,〃©^4*),
b,==
⑴求证:数列也}是等比数列;
注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【提分秘籍】
构造法
类型1:用“待定系数法”构造等比数列
形如%+1=妨〃+0(%,P为常数,松片0)的数列,可用“待定系数法”将原等式变
形为%+1+〃2=左(%+7〃)(其中:机=-),由此构造出新的等比数列{册+加},先求出
k-1
{%+m}的通项,从而求出数列{凡}的通项公式.
标准模型:«,7+1=kan+p(匕P为常数,切片。)或4=ka,T+p(匕P为常数,切彳。)
类型2:用“同除法”构造等差数列
⑴形如%+1=4许+夕q"+i(weN*),可通过两边同除4"+1,将它转化为寝-q+P,从
而构造数列]孑I为等差数列,先求出|孑1的通项,便可求得{见}的通项公式.
(2)形如4+i=hZ"+q'M(“eN*),可通过两边同除4",将它转化为名■=8之+1,
qqq
换元令:bn=2,则原式化为:bn+i=-bn+l,先利用构造法类型1求出口,再求出{〃〃}
的通项公式.
(3)形如。“-。“+1=3“+1%(左工0)的数列,可通过两边同除以变形为二-----=-k
%+i%
的形式,从而构造出新的等差数列十,先求出:的通项,便可求得{区,}的通项公式.
【变式演练】
1.(2024•陕西•绥德中学高一阶段练习)已知数列{%}满意4=1,a“M=2q,+l("eN*).
(1)写出该数列的前5项;
⑵求数列{%}的通项公式;
2.(2024•全国•模拟预料)己知数列{4}的前〃项的和为S“且满意S”=2a,「2",数列也}
是两个等差数列1,4,7,10,…与4,9,14,19,…的公共项组成的新数列.
(1)求出数列{?},{2}的通项公式;
3.(2024•全国•高二单元测试)在①次J3=3(〃+1)。“,@an+l=3a„-2,③-34=3"】
这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
已知数列{4}中,q=3,,求数列{%}的前〃项和S..
题型五:倒数法
【典例分析】
例题1.(2024•陕西西安•高二期中(文))若%>0,。产1,%=於工(〃=1,2,).
1+%
(1)求证:a„+i*an;
(2)令4=;,写出的,%,。4,。5的值,视察并归纳出这个数列的通项公式4;
例题2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{4}中,%=;,an=an+x+2anan+x.
(1)求数列{见}的通项公式;
【提分秘籍】
倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1:形如%+1=上」(PM为常数,pq#0)的数列,通过两边取“倒”,变形
pan+q
为一一=工+",即:从而构造出新的等差数列[先求出[-^]的通项,
4+ianq隅+i/q
即可求得册.
ka
类型2:形如%+1=———(P应为常数,pwO,q^Q,左。0)的数列,通过两
pan+q
141P71cjD
边取“倒”,变形为——+f,可通过换元:以=一,化简为:2+1==优+;(此
n
4+1kankankk
类型符构造法类型1:用“待定系数法”构造等比数列:形如%+i=kan+p(k,p为常数,
切片。)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为%+1+〃2=左(%+如(其中:
由此构造出新的等比数列{%+加},先求出{%+;〃}的通项,从而求出数列{。,}的通项公式.)
【变式演练】
1.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{%}中,a2=1,an=an+l+2anan+l.
(1)求数列{%}的通项公式;
2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{4},满意q=2,4+1=]韦.
(1)证明:数列为等差数列.
⑵求知.
3.(2024•广东梅县东山中学高三期中)已知数列{%}中,4=1,
(1)求证:数列是等比数列;
[%2J
蚪逐辕新模考敦殂秣
1.(2024•新疆和静高级中学高二阶段练习)(1)已知等差数列{4}满意%+%=12,
心+q=20,数列{2}满意伉=1,2+=3".求{4},但}的通项公式;
(2)在数列{%}中,q=6,%=4<*-6(心2,〃eN*),
①求证:{%-2}是等比数列;
2.(2024•云南•昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习)己知数列{4}的前〃项和S",4=4,
⑴证明数列{4-2}为等比数列,并求出%的通项公式;
3.(2024•福建省福州延安中学高三阶段练习)已知数列{%}中,
a
2=3%=3,an+2-2an+1=Sn+1-Sn-2an;
(1)求数列{%}的通项公式;
4.(2024•福建省永泰县其次中学高三期中)已知正项数列{%}的前"项和为S",且与和S,
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