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文档简介

专题6-2数列求通项

题型一:s“法

【典例分析】

例题1.(2024•陕西宝鸡•模拟预料(理))已知等比数列{。"}的前”项和为S",且

%+i=2S,+l(〃wN*).

(1)求数列{%}的通项公式;

例题2.(2024•陕西•安康市高新中学三模(理))己知等比数列{%}的前几项和为

n+l

Sn=4-k.

(1)求实数人的值,并求出数列{““}的通项公式;

例题3.(2024•山东烟台•三模)己知数列{4}的前〃项和为S,,4=:,当“22时,

S;=anSn-an.

⑴求S“;

例题4.(2024•宁夏•银川一中一模(理))已知数列{%}满意?■+!!■++墨=*

(1)求数列{%}的通项公式;

【提分秘籍】

对于数列{4},前九项和记为5.;

aa2

①Sn=%+出+%+n-l+%;②Ei=%+4+%+.n-l52)

①-②:S〃—S“_1=4("22)

S“法归类

角度1:已知5“与4的关

系;或S"与〃的关系

用S“—S〃T,得到4例子:已知4E,=(a,+l)2,求4

角度2:已知功,与SRS”的s.—S“_1替换题目中例子:已知2%=S£T(心2);

关系;或%与的可

已知=an+l~JS〃+1

向+历的关系

角度3:已知等式中左侧含作差法(类似

例子:已知%+2%+3/+…+nan=2"求4

nS"-S"_1)

有:

i=l

【变式演练】

1.(2024•全国•模拟预料)已知数列{q}的前〃项和为s.,q=4,%=8,且

S"+2-2S"M+S“=4・

⑴求证:数列{《,}是等差数列;

2.(2024•湖南啷阳市其次中学模拟预料)已知数列同}的前〃项和为S“,且4%=3S“+2.

⑴求数列{4}的通项公式;

3.(2024•湖北•黄冈中学三模)已知等差数列{%}的前”项和为S“,且%=1,久=7;

n+i

数列也J满意4+优++bn=2-2.

⑴求数列包,}和也}的通项公式;

4.(2024•四川•石室中学三模(文))已知数列{%}的前〃项和为S“(〃eN*),且

-S,+4^+•••+—S=3n+5.

2222"

⑴求生,出及数列{4}的通项公式;

题型二:累加法

【典例分析】

例题1.(2024•福建泉州•高二期末)已知数列{。“}满意:q=1,%=3,%=7,{%+i-。〃}为

等差数列.

(1)求数列{4}的通项公式;

例题2.(2024•重庆市育才中学模拟预料)已知12+22+...+川=4"(〃+1)(2,7+1),数列{%}

6

满意=/+2〃+1,%=1.

⑴求{。“}的通项公式;

【提分秘籍】

累加法(叠加法)

若数列{%}满意册+「册=/(〃)”N*),则称数列{a”}为“变差数列",求变差数列{%,}

的通项时,利用恒等式

%=%+(%一)+(。3一%)■1---h(%,-4-1)=%+/⑴+/(2)+/⑶H----1"-1)伽N2)

求通项公式的方法称为累加法。

详细步骤:

出一%=/(I)

。3-。2=/(2)

=7(3)

=/("T)

将上述1个式子相加(左边加左边,右边加右边)得:

(出一%)+(%-a2)+(。4-%)+…+(4-a"-1)=/⑴+/(2)+/⑶++/("—1)

整理得:«„-«1=/(1)+/(2)+/(3)+

【变式演练】

1.(2024•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高二期中)已知数列{4}满意%=3,七-《1=2",

(1)求数列{见}的通项公式;

⑵令2=乌二L设数列他,}的前〃项和为叫证明:

anan+l153

2.(2024•全国•模拟预料)给出以下两个条件:①为=3q=3,an+2-2an+1=Sn+1-Sn-2an.,

②%=1,(l+%)(l+*)=2"+i(%-*(〃eN*).请从这两个条件中任选一个将下面的题

目补充完整,并求解.

已知数列{4}的前〃项和为S“,且______.

⑴求数列包,}的通项公式;

注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

3.(2024•河南洛阳•高二阶段练习(理))在数列{?}中,q=O,a„-a„_1=2«-l(w>2).

⑴求{4}的通项公式.

题型三:累乘法

【典例分析】

例题1.(2024•浙江省淳安中学高三开学考试)已知数列{%}的前〃项和为

S“,q=1,(〃+3)S“=nS„+1(«eN*).

(1)求数列{4}的通项公式;

例题2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{。“}满意ql)a“-加*=0.

(1)求数列{%}的通项公式;

【提分秘籍】

累乘法(叠乘法)

若数列{““}满意女"=/(〃)(L),则称数列{%}为“变比数列",求变比数列{册}的

通项时,利用%=%,丝・巴・旦----二6"⑴"⑵•/(3)••••/(〃-1)(n>2)求通项

a

a2%n-\

公式的方法称为累乘法。

详细步骤:

"="1)

a{

%=〃2)

a2

&=/(3)

a3

'=/(〃-1)

将上述“-1个式子相乘(左边乘左边,右边乘右边)得:

。1。2。3册一1

整理得:&=/(1)"(2)/(3>"5—1)

【变式演练】

(、么2H+1

1.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{〃“}满意q=1,=.

⑴求数列{%}的通项公式;

2.(2024•全国•高三专题练习)在数列匕〃}中,&=1,an=(〃22),求数列{an}

的通项公式.

3.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{。,}的首项为且满意

(«+1)«„=(,7T)a“_i(〃22,"eN*).求{%}的通项公式.

题型四:构造法

【典例分析】

例题1.(2024•江苏苏州•高三阶段练习)已知数列{4}的前〃项和为S“,且S”精,数

列他,}满意bn=3b+2(〃eN*,〃22),且4=6+1.

(1)求数列{%}和{"}的通项公式;

例题2.(2024•海南华侨中学高三阶段练习)数列{4}中,已知%=3%1+2.4"(„eN*,

n>2),其中彳是非零的常数.

(1)若q=5,a尸25,求证:数歹!J{%-5向}是等比数列;

例题3.(2024•广东•模拟预料)已知数列{4}中,q=5且4=2%7+2"-1("..2,〃©^4*),

b,==

⑴求证:数列也}是等比数列;

注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

【提分秘籍】

构造法

类型1:用“待定系数法”构造等比数列

形如%+1=妨〃+0(%,P为常数,松片0)的数列,可用“待定系数法”将原等式变

形为%+1+〃2=左(%+7〃)(其中:机=-),由此构造出新的等比数列{册+加},先求出

k-1

{%+m}的通项,从而求出数列{凡}的通项公式.

标准模型:«,7+1=kan+p(匕P为常数,切片。)或4=ka,T+p(匕P为常数,切彳。)

类型2:用“同除法”构造等差数列

⑴形如%+1=4许+夕q"+i(weN*),可通过两边同除4"+1,将它转化为寝-q+P,从

qq

而构造数列]孑I为等差数列,先求出|孑1的通项,便可求得{见}的通项公式.

(2)形如4+i=hZ"+q'M(“eN*),可通过两边同除4",将它转化为名■=8之+1,

qqq

换元令:bn=2,则原式化为:bn+i=-bn+l,先利用构造法类型1求出口,再求出{〃〃}

Qq

的通项公式.

(3)形如。“-。“+1=3“+1%(左工0)的数列,可通过两边同除以变形为二-----=-k

%+i%

的形式,从而构造出新的等差数列十,先求出:的通项,便可求得{区,}的通项公式.

【变式演练】

1.(2024•陕西•绥德中学高一阶段练习)已知数列{%}满意4=1,a“M=2q,+l("eN*).

(1)写出该数列的前5项;

⑵求数列{%}的通项公式;

2.(2024•全国•模拟预料)己知数列{4}的前〃项的和为S“且满意S”=2a,「2",数列也}

是两个等差数列1,4,7,10,…与4,9,14,19,…的公共项组成的新数列.

(1)求出数列{?},{2}的通项公式;

3.(2024•全国•高二单元测试)在①次J3=3(〃+1)。“,@an+l=3a„-2,③-34=3"】

这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.

已知数列{4}中,q=3,,求数列{%}的前〃项和S..

题型五:倒数法

【典例分析】

例题1.(2024•陕西西安•高二期中(文))若%>0,。产1,%=於工(〃=1,2,).

1+%

(1)求证:a„+i*an;

(2)令4=;,写出的,%,。4,。5的值,视察并归纳出这个数列的通项公式4;

例题2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{4}中,%=;,an=an+x+2anan+x.

(1)求数列{见}的通项公式;

【提分秘籍】

倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1:形如%+1=上」(PM为常数,pq#0)的数列,通过两边取“倒”,变形

pan+q

为一一=工+",即:从而构造出新的等差数列[先求出[-^]的通项,

4+ianq隅+i/q

即可求得册.

ka

类型2:形如%+1=———(P应为常数,pwO,q^Q,左。0)的数列,通过两

pan+q

141P71cjD

边取“倒”,变形为——+f,可通过换元:以=一,化简为:2+1==优+;(此

n

4+1kankankk

类型符构造法类型1:用“待定系数法”构造等比数列:形如%+i=kan+p(k,p为常数,

切片。)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为%+1+〃2=左(%+如(其中:

由此构造出新的等比数列{%+加},先求出{%+;〃}的通项,从而求出数列{。,}的通项公式.)

【变式演练】

1.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{%}中,a2=1,an=an+l+2anan+l.

(1)求数列{%}的通项公式;

2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{4},满意q=2,4+1=]韦.

(1)证明:数列为等差数列.

⑵求知.

3.(2024•广东梅县东山中学高三期中)已知数列{%}中,4=1,

(1)求证:数列是等比数列;

[%2J

蚪逐辕新模考敦殂秣

1.(2024•新疆和静高级中学高二阶段练习)(1)已知等差数列{4}满意%+%=12,

心+q=20,数列{2}满意伉=1,2+=3".求{4},但}的通项公式;

(2)在数列{%}中,q=6,%=4<*-6(心2,〃eN*),

①求证:{%-2}是等比数列;

2.(2024•云南•昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习)己知数列{4}的前〃项和S",4=4,

⑴证明数列{4-2}为等比数列,并求出%的通项公式;

3.(2024•福建省福州延安中学高三阶段练习)已知数列{%}中,

a

2=3%=3,an+2-2an+1=Sn+1-Sn-2an;

(1)求数列{%}的通项公式;

4.(2024•福建省永泰县其次中学高三期中)已知正项数列{%}的前"项和为S",且与和S,

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