2024年广西高考数学试题及答案

2024年广西高考数学试题及答案

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知z=-l—i,则|z|=（）

A.0B.1C.72D.2

2.已知命题p：VxeR,|JC+1|>1；命题g：3x>0,x3=x>贝！I（）

A.p和q都是真命题B.-1P和q都是真命题

C.p和都是真命题D.T7和F1都是真命题

3.已知向量a,6满足M=l,卜+20=2,且（6-2a）1.6,则||=（）

A.|B.立C.BD.1

222

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量

（单位：kg）并部分整理下表

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

量

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

c.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

5.已知曲线C：x2+y2=l6(y>0),从C上任意一点?向x轴作垂线段PP,P为垂足,

则线段PP'的中点〃的轨迹方程为()

22

A.—+^=1(y>0)B.Ul(y>0)

164168

2222

C.匕+土=1(y>0)D.^+―=1(>>0)

164168

6.设函数/(x)=a(x+l)2-l,g(x)=cos;v+2av,当时，曲线y=/(x)与y=g(x)

恰有一个交点，则。=()

A.-1B.：C.1D.2

7.已知正三棱台ABC-的体积为52:，AB=6,44=2,则与平面4笈所成角

的正切值为()

A.1B.1C.2D.3

8.设函数“无)=(x+a)ln(尤+6),若〃x)NO,则/+〃的最小值为()

A.—B.—C.-D.1

842

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

IT

9.对于函数/(尤)=sin2x和g(x)=sin(2x-：),下列正确的有()

A.f(x)与g(x)有相同零点B.Ax)与g(x)有相同最大值

C./(元)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴

10.抛物线C：丁=4尤的准线为户为C上的动点，过户作OA:/+(y-4)2=l的一条切

线，。为切点，过户作/的垂线，垂足为氏则()

A.1与,A相切

B.当只A,方三点共线时，|尸。|=&？

C.当|9|=2时，PA±AB

D.满足I尸A|=|尸的点P有且仅有2个

11.设函数/(x-3办2+1,则(

A.当。＞1时，/(x)有三个零点

B.当。＜0时，x=0是/⑺的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线＞=/(尤)的对称轴

D.存在a,使得点(1,〃功为曲线y=/(x)的对称中心

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等差数列｛〃“｝的前〃项和，若。3+。4=7,3〃2+〃5=5,贝.

13.已知。为第一象限角，仅为第三象限角，tana+tan尸=4,tanatan分=夜+1,则

sin(6z+/3)=.

14.在如图的4X4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有.

种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记4ABe的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+J^cosA=2.

⑴求4

(2)若。=2,®sinC=csin25，求ABC的周长.

16.已知函数/(x)=e*-ax-/.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若/(X)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

17.如图，平面四边形4?切中，AB=8,CD=3,AD=54,ZADC=90°,ABAD=30°,

2i

点£,户满足AE=§AD,AF=-AB,将△4£尸沿历'对折至！尸所，使得PC=4jL

p

Bc

(1)证明：EF±PD；

(2)求面尸切与面惭所成的二面角的正弦值.

18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段

由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少

投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中

得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每

次投中的概率为D乙每次投中的概率为G各次投中与否相互独立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概

率.

⑵假设。＜。＜4，

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19.已知双曲线C：f—丁=〃?(祖＞0),点田5,4)在C上，上为常数，0＜左＜1.按照如下

方式依次构造点P,.("=2,3,...),过匕作斜率为k的直线与C的左支交于点21T，令月为

关于＞轴的对称点，记月的坐标为(七,％).

(1)若次=；,求%,为；

(2)证明：数歹!]｛七-％｝是公比为界的等比数列；

⑶设S,为•匕乙£+2的面积，证明：对任意的正整数",Sn=Sn+t.

1.c

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若Z=T—i,则|z|=J(-l)2+(-l)2=0.

故选：C.

2.B

【分析】对于两个命题而言，可分别取光=-1、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反即

可得解.

【详解】对于。而言，取尸-1,则有卜+1|=0<1,故P是假命题，力是真命题，

对于4而言，取x=l,则有X3=F=]=X,故q是真命题，F是假命题，

综上，M和q都是真命题.

故选：B.

3.B

【分析】由(。-2a)_l_Z?得/=2°./,,结合卜卜1,卜+26卜2,得1+4“2+4片=1+6片=4，

由此即可得解.

【详解】因为(6-2a)，b,所以仅-2a).b=0,即片=23%，

又因为忖=1,卜+2*2,

所以1+4。包+47=1+67=4>

从而恸=乎.

故选：B.

4.C

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；

根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

100-34

所以低于1100kg的稻田占比为第=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确;

对于D,由频数分布表可得，亩产量在[1050,11。。)的频数为100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值为高x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D

错误.

故选；C.

5.A

【分析】设点M(x,y),由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y),代入圆的方程即可求解.

【详解】设点"(羽y),则尸(羽％),尸'(龙,0),

因为M为尸P的中点，所以为=2%即P(x,2y),

又尸在圆f+y2=i6(y>0)上，

―丫22

所以炉+4y2=16(y>0),即——+——=l(y>0),

164

即点M的轨迹方程为《+1=l(y>0).

164

故选：A

6.D

【分析】解法一：令F(x)=ox2+a_i,G(x)=cosx,分析可知曲线y=尸3与y=G(x)恰有

一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2,并代入检验即可;

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x),xe(-l,l),可知〃(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可

知网力的零点只能为0,即可得。=2,并代入检验即可.

【详解】解法一：令/(x)=g(x),即a(x+l)2-l=cosx+2ar,可得加+._]=cosx,

令户(无)=/+A-1,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe(-1,1)时，曲线V=F(x)与y=G(X)恰有一个交点，

注意到尸(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得"0)=G(0),即“一1=1,解得。=2,

若a=2,令,(x)=G(x),可得2f+l—cosx=0

因为贝lU/NOJ—cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2f+l-cosx20,当且仅当尤=0时，等号成立,

则方程2/+1_cosX=0有且仅有一个实根0,即曲线y="%)与尸G(X)恰有一个交点，

所以〃=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：令/z(x)=/(X)-g(x)=<2X2+<2-1-COSX,XG(-1,1),

原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，

2

因为〃(一力=〃(—I?+々_1_cos(—x)=ax+a—1—cosx=/z(x),

则MH为偶函数，

根据偶函数的对称性可知Mx)的零点只能为o,

即/z(0)=a-2=。，解得〃=2,

若a=2,则力(x)=2x2+1-cosx,xe(-1,1),

又因为2/20,1-cosxNO当且仅当x=0时，等号成立，

可得/1(力20,当且仅当尤=0时，等号成立，

即M工)有且仅有一个零点0,所以〃=2符合题意；

故选：D.

7.B

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高/7=延，做辅助线，结合正三棱台

3

的结构特征求得AM=述，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台

3

ABC-ASG补成正三棱锥p-ABC，AA与平面力6c所成角即为丛与平面46c所成角，

根据比例关系可得K*c=18,进而可求正三棱锥P-ABC的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取BC，4G的中点DQ,则">=364。=百，

可知5.=^6'6'¥=9"5配口=三2'石=石,

设正三棱台ABC-A4G的为"

则％C.AB,C,=g(9退+6+后反耳卜=”，解得〃=苧，

如图，分别过A，2作底面垂线，垂足为M,N,设A〃=x,

结合等腰梯形BCGBI可得BB；=+DD；,

即/+1=（2-一q2+与+4,解得了=孚，

所以AA与平面力以所成角的正切值为tan?AtAD第=1；

AM

解法二：将正三棱台ABC-44G补成正三棱锥P-ABC，

则A/与平面/6C所成角即为P4与平面力及?所成角,

2L=.=!则上皿=J_

PAAB327

2652

可知匕BC-AB1G=Vp-ABC=丁，则Vp—ABC=18，

设正三棱锥尸—ABC的高为d,贝!JVp_A5c=；dx；x6x6x^^=18,解得d=2V§\

取底面力回的中心为。，则P01底面/比；且49=2石，

PO

所以B4与平面/故所成角的正切值tanNPAO=F=l.

AO

故选：B.

8.C

【分析】解法一：由题意可知：八%）的定义域为（-4也），分类讨论-。与-》,1-6的大小关

系，结合符号分析判断，即可得人=，+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分

析ln（x+〃）的符号，进而可得％的符号，即可得人=〃+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：人九）的定义域为（-瓦内），

令尤+a=0解得工=一。；令ln（x+〃）=O解得元=1—b；

若一々＜一/?,当％£（—瓦1一万）时，可知九+a＞O,ln（x+Z?）＜0,

此时/（幻＜。，不合题意；

若一当％£（—。,1一人）时，可知x+a＞0/n（x+6）＜0,

此时/（x）V。，不合题意；

若一〃二1一人，当兀£（-"1一/?）时，可知x+av0,ln（x+5）＜0,止匕时/（%）＞0；

当工£[1—瓦+0。）时，可知无+aN0,ln（x+5）N0,止匕时/（x）20；

可知若-。=1-），符合题意；

若一々＞1—5,当％£（1—/?,一.）时，可知x+avO,ln（无+Z?）＞0,

此时了（%）＜0,不合题意；

综上所述：-a=l-b,即b=〃+l,

则/+炉=/+（.+1）2=2（0+!1+工大工，当且仅当4=一1,6=1时，等号成立，

'，I2）2222

所以/+〃的最小值为g；

解法二：由题意可知：Ax）的定义域为（-6,内），

令x+a=0解得了=—。；令ln（x+人）=0解得x=l—/?；

贝!J当无£（—。,1一/?）时，In（无+，）＜0,故九+100,所以1一人+々＜0；

%£（1—"y）时，ln（x+&）＞0,故X+aNO,所以1一/?+〃之0；

故1一/?+〃=0,则/+/=々2+（〃+]）?=2[4+；1

当且仅当。=-;,6=g时，等号成立，

所以/+〃的最小值为

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=O、3尤+加=0的根，以根和函数定义域为临界，比较

大小分类讨论，结合符号性分析判断.

9.BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令/(x)=sin2元=0,解得x=eZ,即为/(元)零点，

令g(x)=sin(2无一:)=0,解得尤="+g«eZ,即为g(x)零点，

428

显然〃x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(%)max=g(%)max=1，B选项正确；

2冗

C选项，根据周期公式，”x),g(x)的周期均为m=兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质/(A')的对称轴满足2x=fai+|^x=y+pZ:eZ,

g(尤)的对称轴满足2x-^=E+二=+池水eZ,

4228

显然/(x)，g。)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

10.ABD

【分析】A选项，抛物线准线为4-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三

点共线时，先求出尸的坐标，进而得出切线长；C选项，根据归到=2先算出尸的坐标，然后

验证七T是否成立；D选项，根据抛物线的定义，|PB|=|PF|,于是问题转化成

|以|=|尸耳的尸点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直

接设P点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为尸_1,

A的圆心(。，4)到直线的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和：A相切，A选项正确；

B选项，尸,A5三点共线时，即尸A_L/,则P的纵坐标为=4,

由城=44，得到彳=4,故尸(4,4),

此时切线长|尸°|=，喇-产=V42-12=后，B选项正确；

C选项，当|尸到=2时，xp=lf此时犷=4巧,=4,故尸(1,2)或尸(1,-2),

4—94—2

当尸(1,2)时，4(0,4),3(-1,2),k=--=-2,k=---=2,

PA0—1AB0—(—1)

不满足勺次w=-1；

当P(l,-2)时，A(0,4),B(-l,2),%=4二(12)=_6,%=：丁？=6,

不满足3AB=T;

于是上4JLAB不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|冏=|尸耳,这里WL。),

于是|朋=|即时P点的存在性问题转化成|融=|PF|时p点的存在性问题,

4(0,4),/(1,0),.中点(g,211

,AF中垂线的斜率为一厂=了,

kAF4

于是针的中垂线方程为：>=21”，与抛物线y=以联立可得y2T6y+30=0,

8

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,

即存在两个尸点，使得|刑|=|尸产|,D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

产2、

设尸,由尸3，/可得3(-1,。，又A(0,4),X|PA|=|PB|,

\'7

根据两点间的距离公式,1—+(r-4)2=—+1,整理得〃-16/+30=0,

164

A=162-4X30=136>0,则关于f的方程有两个解,

即存在两个这样的P点，D选项正确.

故选：ABD

11.AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=O,x=",根据零点存在定理和极值的符号判断

出Ax)在(T0),(0,。),32a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分

析；C选项，假设存在这样的凡匕，使得x=b为了(尤)的对称轴，则〃x)=/(2匕-x)为恒等式,

据此计算判断；D选项,若存在这样的。,使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，贝I]

f{x}+f(2-x)=6-6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(-8,0)u(a，+00)时/(尤)>0，故f(x)在0),(fl,+a?)上单调递增，

xe(0,a)时，fr(x)<0,/(x)单调递减，

则/⑺在x=0处取到极大值，在％=a处取到极小值，

由/(0)=1>0,f(a)=l-a3<0,则_/W(a)<。,

根据零点存在定理在(0,«)上有一个零点，

X/(-l)=-l-3«<0,f(2a)=4a3+l>0,则/(-1)/(0)<0,7W(2a)<0,

则/(X)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，了⑴有三个零点，A选项正确；

B选项，fr(x)=6x(x-a),°<0时，xe(a,0),/,(x)<0,/(x)单调递减，

xe(0,+oo)时f'(x)>0,f(x)单调递增，

此时/(幻在尤=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的使得x=b为AM的对称轴，

即存在这样的。力使得/(x)=fQb-x),

即2%3-3以2+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(2。-刈3展开式含有V的项为2C；(26)°(-无丫=-2尤3,

于是等式左右两边V的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。,6,使得x=b为的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(1)=3-3«,若存在这样的“，使得(1,3-30为了(X)的对称中心，

则/(x)+/(2-x)=6-6a,事实上，

/(x)+/(2-x)=2%3-3ax2+1+2(2-%)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)%+18-12a,

于是6-6。=(12-6。)/+(12。-24)尤+18-12。

12—6。=0

即12〃-24=0,解得〃=2,即存在。=2使得(11⑴)是/(%)的对称中心，D选项正确.

18-12〃=6—6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

322

/(x)=2x-3ax+1,f\x)=6x-6ax,=12x-6a9

由r(x)=o^x=|,于是该三次函数的对称中心为,

由题意(1"⑴)也是对称中心，故•|=loa=2,

即存在a=2使得(L/⑴)是/(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/(%)的对称轴为％=人07(%)=/(2)-九)；(2)/(%)关于(心切对

称=/(无)+/(2。-兄)=2)；(3)任何三次函数/⑴=江+匕/+5+弓都有对称中心，对称

中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是二(尤)=。的解，即，是三次函

数的对称中心

12.95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出q5,再利用等差数列的求和公式节即

可得到答案.

2d+q+3d=7q=—4

【详解】因为数列为等差数列，则由题意得+t/)+3+4〃=5'解得

d=3

10x9

贝I]，o=10q+^—d=10x(7)+45x3=95.

故答案为：95.

13.

3

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a+月)=-20,再缩小a+力的范围，最

后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tan<7+tan4

【详解】法一：由题意得tan("+£)==-2A/2

l-tancztan^1—(行+1)

因为aw]2fai,2fai+：■卜夕w12mji+兀,2mji+$3兀J，k,meZ,

2

贝I]a+2£((2〃t+2左)兀+兀,(2机+2女)兀+2兀),k、meZ,

又因为tan(a+0=-20<0,

则a+4£I(2加+2k)兀+[二(2m+2k)兀+2兀

,k,mwZ,贝°sin(a+6)<0,

则=-20,联立sin2(«+^)+cos2(«+/?)=!,解得sin(a+4)=2V2

丁

法二：因为。为第一象限角，仅为第三象限角，贝!Jcoso>0,cos#v0,

cosa1cos/?=cos0-1

cosa=/；

vsin26Z+cos2aVl+tan2aJsin2尸+cos2(5Jl+tan，°

贝Usin(a+6)=sinacos/?+cosasin)3=cosacos刀(tana+tan£)

2V2

=4coscifcos/7=—；=

V1+tan2<7^/1+tan2/3(tancr+tan/?)2+(tan<7tan-1)2+23

2V2

故答案为:

14.24112

【分析】由题意可知第一、二三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出

所有的可能结果，即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中,

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为G”)，。力,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方

格可选，利用列举法写出所有的可能结果.

15.⑴人47T

6

(2)2+#+3近

【分析】(1)根据辅助角公式对条件sinA+百cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法

还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

(2)先根据正弦定理边角互化算出8,然后根据正弦定理算出瓦。即可得出周长.

【详解】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)

由sinA+后cosA=2可得』sinA+cosA=1,即sin(A+—)=1,

223

,十.,,71.714/C.,.71兀._,.兀

由于A£(0,兀)=>A+彳£(彳,二)，^A+—=—,解得A=：

33332o

方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sinA+A/^COSA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到：

2

4cosA-4百cosA+3=0o(2cosA-正产=0,解得COsA=—,

2

TT

又Aw(0,兀)，故A=:

方法三：利用极值点求解

设/(x)=sinx+6cosx(0<x<兀)，贝|/(x)=2sin|x+三卜0<x<兀)，

显然x时，/(x)max=2,注意到/(A)=sinA+gcosA=2=2sin(A+：),

/(初皿二八冷，在开区间Q兀)上取到最大值，于是X=A必定是极值点，

BPA)=0=cosA-73sinA,即tanA=等，

又Ae(0,7i),故A=?

6

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

设。二(1，代),b=(sinA,cosA),由题意，a-b=sinA+^3cosA=2,

根据向量的数量积公式，Q力=|矶。际<〃,可=2cos(a,b),

则2cosa,b=2u>cosa/=1,此时2,5=0,即。力同向共线，

根据向量共线条件，LeosA=石・sinAotanA=，

3

7T

又Ae(0,7t),故A=?

6

方法五：利用万能公式求解

设'=tang,根据万能公式，sinA+石cosA=2=2t[+也Q：),

整理可得，〃一2(2-道)f+(2-百y=0=«-(2-A))?,

解得tang=r=2-6，根据二倍角公式，tanA=*=走，

21一〃3

71

又Aw(0,兀)，故A=：

6

(2)由题设条件和正弦定理

yj2bsinC=csinIB0夜sin5sinC=2sinCsinBcosB，

又瓦Ce(0,7i),贝Usin3sinCw0,进而cosB=正，得到2=

24

7兀

于是C=7c—A—3=—,

12

sinC=sin(兀-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=立+"，

4

2_b_c

由正弦定理可得，号=号=，7；，即==一^=一

sinAsinBsinCsin—sin—sm—

6412

解得b=2^2,c=A/6+^2,

故—ABC的周长为2+后+30

16.(1)(e-l)x-y-l=O

⑵。,+8)

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析。<0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得

a2+lna-l>0,构建函数解不等式即可;解法二:求导,可知/'(x)=e*-a有零点，可得a>0,

进而利用导数求/'(X)的单调性和极值，分析可得合+1!14-1>0,构建函数解不等式即可.

【详解】(1)当a=l时，则/(x)=e*-x-l,/,(x)=ex-l,

可得八l)=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率左=e-l,

所以切线方程为y-(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x—y—1=0.

(2)解法一：因为/(无)的定义域为R,且尸(x)=e-a,

若a<0,则尸(x)»0对任意xeR恒成立，

可知人幻在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/''(x)<0,解得x<lna；

可知/(X)在(TO,In。)内单调递减，在(in4,十》)内单调递增，

则/(x)有极小值〃lna)=4-alna-a3,无极大值，

由题意可得:/(lna)=a-olna-a3<0,gpa2+lna-l>0,

构建g(a)=〃+lno-l,a>0,贝ijg，(a)=2a+』>0,

可知g⑷在(0,+e)内单调递增，且g(1)=0,

不等式a2+lna-l>0等价于g⑷>g(1),解得“>1,

所以a的取值范围为(1,+co)；

解法二：因为二功的定义域为R,且尸(尤)=e'-a,

若fM有极小值，则f'(x)=ex-a有零点，

令/'(x)=e"=。,可得e*=a,

可知y=e'与y有交点，则a>0,

若a>0,令/(幻>0,解得x>lna；令/(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-co,lna)内单调递减，在(ina,+oo)内单调递增，

则/(x)有极小值〃lna)=a—alna-a)无极大值，符合题意，

由题意可得：f[\na)=a-a\na-a3<0,即4+1114-1>0,

构建g(a)="+lna-l,a>0,

因为则y=",y=lna-l在(0,+ao)内单调递增,

可知g(a)在(0,+s)内单调递增，£.§(1)=0,

不等式a2+lna-l>0等价于g(a)>g⑴,解得

所以a的取值范围为(1,包).

17.(1)证明见解析

⑵8病

65

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可证得所2

则EF±PE,EFLDE,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE_L血，建立如图空间直角坐标

系E-孙Z,利用空间向量法求解面面角即可.

【详解】(1)^AB=8,AD=5y/3,AE=^AD,AF=^AB,

得AE=2&AF=4,又/BAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=-JAE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12-2-4-2^=2,

所以A£2+斯2=A尸，则AE_LEF,即石尸上AD,

所以EF，PE,EF，DE,又PEDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以所立平面PDE,又PDu平面PDE,

故EFJ.PD；

（2）连接CE,ZADC=90°,ED=3>/3,CD=3,则CE?=ED，+5=36,

在_PEC中，PC=45PE=2亚EC=6,WEC2+PE2=PC2,

所以PE_LEC,由（1）知P£_L£F,又EC1EF=E,EC、EFu平面ABC。,

所以PEJL平面ABCD,又EDu平面ABCD,

所以PEJ_ED,则尸E,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-孙z,

则£（0,0,0）,P（0,0,2我,0（0,3唬,0）,C（3,3后0）,。（2,0,0）,4（0,-2后0）,

由歹是AB的中点，得8（4,2百,0）,

所以PC=（3,3右,-2右）,PD=（0,3瓜-2上）,方=（4,2疯-2质，丽=（2,0,-2我,

设平面PC£>和平面PBF的一个法向量分别为72=（芭,弘,2]）,切=02，%,22）,

n-PC=3X]+3拒y「2V§Z]=0m-PB=4x2+26%-2A/3Z2=0

[“•Pr>=34H-20Z]=O'[m-PF=2x2-2yf3z2=0

令％=2,x?=用,得玉=0,Z]=3,y2=-1,z2=1,

所以“=（0,2,3）,（右,-1,1）,

1765

II加•叫

所以k°s八〃仁而二不屈二百

设平面PCD和平面JPBF所成角为8,贝1Jsin夕=Cl一cos?9=犯至,

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为‘画.

65

18.（1）0.686

（2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛;

【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案;

（2）（i）首先各自计算出编=1-（1-OF]/,乡=口-（1一q）1.p3,再作差因式分解即

可判断；(ii)首先得到x和y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，

再次作差比较大小即可.

【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二

阶段也至少投中1次，

二比赛成绩不少于5分的概率尸=(1-06)(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

编=[1一(1一0)3]/,

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为与

p<q,

•/一生=-(q-pqY—p3+(p—pq)3

=(q—p)W+网+/)+(p-4)](p-pqY+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]

=(p-q)gp讨-3p2q-3pq)

=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(l-p)(l-^)-1]>0,

,扁>七，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

333

P(X=O)=(l-jp)+[l-(l-jp)].(l-^),

P(X=5)=[l-(l-p)32]C；g•(1-疗，

产(X=10)=[1-(1一犷].C汇(1-幻，

P(X=15)=[l-(l-0)3)/,

.•.E(X)=15[l-(l-p)3]q=15(/-3p2+3p).q

记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩y的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(y)=15(/一3d+3q>p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3Pqip-q)\

=15(p-g)pq(p+4-3),

因为0<p<q,则p_q<0,p+g-3<l+l-3<0,

贝1Kp-g)pq(p+q-3)＞。，

应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解

从而比较出大小关系，最后得到结论.

19.(1)尤?=3,%=。

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出名的坐标即可;

(2)根据等比数列的定义即可验证结论；

(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S”的取值为与"无关的定值即可.

思路二：使用等差数列工具，证明S,的取值为与n无关的定值即可.

【详解】(1)

由已知有机=5?—4?=9,故C的方程为尤2-丁=%

当《=)寸，过出5,4)且斜率为g的直线为了=言，与尤2-产=9联立得到

解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于《的交点为。(-3,0),该点显然在C的左支

上.

故4(3,0),从而％=3,必=0.

(2)由于过且斜率为左的直线为＞=耳尤一毛)+%,与炉一丁=9联立，得到方程

2

x-(k(x-xn)+yny=9.

展开即得(1一公卜2—2耳%一七)无一(%—区,)2—9=0,由于Pn(%,%)已经是直线

丁=%(%-%)+%和工2-卡=9的公共点，故方程必有一根苫=%.

从而根据韦达定理，另一根X=2.__何，)_X2仇一与Ex",相应的

l-k21-甘

y=)+%="2kx"•

所以该直线与C的不同于P"的交点为Q,,12佻仔pF,2g],而注意到Q”的

I1—K.K]

-(笫-3)2-9

横坐标亦可通过韦达定理表示为,故e一定在c的左支上.