方程的实际应用模型-2024年中考数学答题技巧与模板构建（学生版）

方我的实疏成用演型

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中考•题型他犊

元一次方程的应用

二元一次方程组的应用

方程的实际应用模型

分式方程的应用

一元二次方程的应用

本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分为

一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方程组和

分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单,应用题型中出现较少，一元二次方程的应用综合

性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类归纳总结。

模型01一元一次方程的应用

一元一次方程的应用题型

1.行程问题

路程=时间X速度，时间=路程+速度，速度=路程-时间；

（单位:路程--米、千米;时间--秒、分、时;速度--米/秒、米/分、千米/时间）

2.工程问题：

工作总量=工作时间x工作效率，工作总量=各部分工作量的和

3.利润问题：

利润=售价-进价，利润率=利润+进价，售价=标价x折扣

4.等积变形问题

长方体的体积=长X宽X高;圆柱的体积=底面积X高;锻造前的体积=锻造后的体积

5.利息问题

利息和=本金+利息;利息=本金X利率X时间

模型02二元一次方程组应用

二元一次方程组应用：

1.行程问题:速度x时间=路程

顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度-水流速度

2.配套问题:实际数量比=配套比

3.商品销售问题:利润=售价一进价;售价=标价x折扣;利润率=利润+进价x100%

4.工程问题:工作效率x工作时间=工作总量；甲乙合作效率=甲的效率+乙的效率

模型03分式方程应用

分式方程的应用解法步骤及题型：

列分式方程解应用题的一般步骤,与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行.

（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的

解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.

（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一

类型.

模型04一元二次;5rm用

一元二次方程的应用主要有以下几种题型：

1.数字问题:个位数为a，十位数是b,则这个两位数表示为Wb+a.

2.增长率问题:增长率=增长数量/原数量x100%.如:若原数是a,每次增长的百分率为工,则第一次增长后

为a（l+0；第二次增长后为a（l+xY，即原数X（1+增长百分率）2=后来数.

3.形积问题:①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆

的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通

过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.

4.运动点问题:物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹,运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运

用直角三角形的性质列方程求解.

5.利润（销售）问题

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价（成本）

总利润=每件的利润x总件数

更结•牌型"建:

模型01一元一次方程的应用

者I向I套I恻

一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，在各

类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方程是解题

的核心，一般需要我们很好的理解题意。

答I题I技I巧

第一步：审:弄清题意，分清已知量和未知量,明确各数量间的关系

第二步：设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关

2

系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；

第三步：解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符

合题意，是否符合实际意义。

I7：<5'l

题目①（2023•上海）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合

做，还需几天完成这项工程？设还需，天完成这项工程，由题意列方程是（）

A正+三一1x+3,x—3cx,x—3_.T+3.a7_

A-10+6T1o-+-^=1C-lo+-^=1

题亘叵（2023•吉林长春）列方程解应用题

劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓,其中男生人数比女生人数少7人,并且每名学生

每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面.

（1）男生有人,女生有人.

（2）①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好

配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？

②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问

题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案.

模型02二元一次方程组应用

考|向|颗|恻

二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大,在各类考试中得分率较高。掌握

二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，根据题意

列二元一次方程组相对简单,该题型设两个未知量，两个条件两个方程,相对直观，只要我们在解方程组

的过程中不出现失误，一般不会失分。

答I题I技I巧

第一步：“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等

量关系；

第二步：“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为工，但有时也可以间接设未知数；

第三步：“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程，同时注意方程两边是同一类

量,单位要统一；

第四步：“解”就是解方程，求出未知数的值；

第五步：“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.

题型三例

题目⑶（2023•黑龙江哈尔滨）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装

76瓶.大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装2瓶，小盒每盒装g瓶，则可列方程组得（）

J36+2g=76[36+4g=76j3a?+4?/=108j3/+2g=76

过力+C，（

•6+4g=1083g=1082i+3g=76、2力+4g=108

蜃目3（2023•安徽）某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满

载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m辆,

乙型客车n辆,一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？

（2）如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？

（3）已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元,如果租车总费用不超过2000元,请制定最省

钱的租车方案.

模型03分式方程的应用

考|向|殖|恻

分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化

为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分式方程

及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根的意义

解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点在于设、

列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。

答I题I技I巧

第一步：根据题意设未知量,分式方程只设一个未知量，用一个量表示另一个量；

第二步：解分式方程；

第三步：检验分式方程的解,看是否为增根,注意不检验会扣分；

第四步：答：即写出答案，注意答案完整.

即型不例

题目回（2023•山西）我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离

活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学

比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是每分钟2米,则下列方程正确的是（）

A—1^=4R些^=4CJ00_800=4D迎—幽=4

,800400,800400,1.2a:2,1.2x土,

趣乔1（2023•河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一,也是河南省著名特产之一.某茶叶专卖店经销两

种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：

品牌AB

进货（元/袋）X2+16

销售（元/袋）7090

（1）第一次进货时,该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖,且两种品牌所购得的

数量相同，求劣的值.

（2）第二次进货时,A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元.该茶叶专卖店计划购进A,B两

种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过人品牌毛尖数量的2倍.销售时，A品牌毛尖售价不

变，B品牌毛尖售价提高5%,则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最

大利润是多少？

模型04一元二次方程应用

考|商|颗|浏

一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次函

数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。一

元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及其

应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。

答I题I技I巧

第一步：审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；

第二步：设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）;

第三步：歹！1（根据题目中的等量关系，列出方程）；

第四步：解（解方程,注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；

第五步：验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

第六步：答（写出答案，切忌答非所问）.

簸型三例

题目⑦（2023•安徽）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入

5亿元，设教育经费的年平均增长率为,，下面所列方程正确的是（）

A.3（1+rc）2=5B.3X2=5C.3（1+T%）2=5D.3（1+%）+3（1+x）2=5

题目回（2023•山东济南）某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售,计划用两个月的时间价格下降到原

来的64%,则这两个月价格平均每个月降低的百分率为.

:题目⑥（2023•四川成都）如图1,用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩

形ABCD菜园,墙长为12米.设AB的长为7米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米，

（1）分别用含，的代数式表示BC与S；

（2）若S=54,求力的值；

（3）如图2,若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆）,当C为何值时，S取最大

值，最大值为多少？

京典•孤牝钿续

题目Q（2023•山东）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计，其中一件

盈利20%,另一件亏本20%,则两件上衣的进价之和为（）

A.230元B.240元C.250元D.260元

题目囱（2023•福建）甲、乙二人分别从相距40km的人，8两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发功,那么

乙出发后2%,他们相遇;如果他们同时出发，那么2.5/1后，两人相距5km,则甲由A地到B地需要（）

B.20/iC.10h或20/iD.当九或Wh

A学

题目区（2023•四川）已知从甲站到乙站的高铁线路长2200千米，自驾从甲站到乙站的路线长约1700千米，

开车的平均行驶速度是该高铁设计时速的寺,且从甲站乘坐高铁到乙站比自驾用时少6小时.设该高铁

的设计时速为力千米/时,则可列方程为（）

A17002200久口17002200久c22001700久「22001700久

A.=6B.八=6C.1=6D.c=6

1工午xx2xxx2x

22

题目④（2023•广东）某兴趣小组组织一次围棋比赛,参赛选手每两人之间都要比赛一场,按计划需要进行28

场比赛，设比赛组织者应邀请2人参与比赛,则可列方程为（）

A.+1）=28B.—1）=28C.x（x—1）=28D.2x（x-1）=28

、题目回（2023•山东）A,B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B,而从B出发逆水行驶5小

时才能到达A,则船在静水中的航行速度是千米/时.

题目回（2023•河北）某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：

胜一场平一场负一场

积分310

奖金（元/人）15007000

当比赛进行到每队各比赛12场时，力队共积20分,并且没有负一场.

（1）试判断力队胜、平各几场？

（2）若每比赛一场每名队员均得出场费500元，4队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场

费的和是多少？

画可口（2023•广西）某健身器材专卖店推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种.

活动一:所购商品按原价打八折；

活动二:所购商品按原价每满300元减80元.（如:所购商品原价为300元，可减80元,需付款220元;所购

商品原价为600元,可减160元,需付款440元）

（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；

（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健

身器材的原价；

（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一

件这种健身器材的原价为a元，求出a的取值范围.

题目回（2023•云南）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运

完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

运往地车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）

大货车620700

小货车400550

（1）求大、小两种货车各用乡少辆？

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地,设前往甲地的大货车为a辆,前往甲、乙两地的总运费

为"元，求出"与a的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费.

：题目可（2023•山东）在国道202公路改建工程中，某路段长4000小，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30

天）合作完成.已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队内每人

每天的工作量相同）.甲工程队1天、乙工程队2天共修路200小；甲工程队2天、乙工程队3天共修路

350m.

（1）试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施

工费用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？

题目配（2023•贵州）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的

车辆的运载量和运费如表所示.

车型甲乙丙

运载量（吨/辆）5810

运费（元/辆）450600700

解答下列问题：（假设每辆车均满载）

（1）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？

（2）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送,且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别

需要多少辆？此时的总运费是多少？

题目兀（2023•重庆）某商店要购进A、3两种型号的文具,通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种

文具的单价多100元,且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍.

（1）求4、B两种型号文具的单价分别为多少？

（2）学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套,为使购买的A种型号的文具尽可能多，

请设计出购买方案.

题目叵（2023•四川）某商场用5万元购进一批衬衫,很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫

销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多.

（1）每件衬衫原来的进价是多少元？

（2）根据第二次的进价,当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多

7

售出5件，但要求销售单价不得低于成本,为了尽可能让利给顾客,商场决定降价出售.要使每天的销售利

润为3000元，那么销售单价应定为多少元？

支支.题型

题目13〕（2023•河北）《九章算术》中记载:今有人共买物，人出八,盈三;人出七，不足四，问人数、物价各几

何？译文:今有人合伙买东西,每人出8钱，会多3钱,每人出7钱,又会差4钱，问人数、物价各是多少？设

合伙人有7人，物价为“钱，则可列方程组为（）

（y^8x-3（y=8x+3（x=8y-3（x=8y+3

,\y-4=7x-\y+4：—7x,[y-4：-8x'\y+4：-7x

题目J4J（2024.湖南常德.一模）如图，有一张长30cm,宽20cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长

为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来

题目运新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染土人，若经过两天传染

后就有128人患上了新冠肺炎，则,的值为.

题目也如图，48=4^11,40=8。=3cm./CAB=氏4,点P在线段4B上以lcm/s的速度由点A

向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点。运动.设运动时间为t（s）,则当点Q的运动速度为

cm/s时，△ACF与△BPQ有可能全等.

版目兀（2024・重庆・一模）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成.已知乙

施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多;，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工

队单独修建这项工程提前3天完成.

（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？

（2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施

工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3

天完成修建任务，求共需修建费用多少元？

、题目恒（2024•广东惠州・一模）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村

振兴取得新成效.某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为0.5万元/吨;因龙

眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为0.4万元/吨，两次龙眼共卖了9万元.

（1）求两次各摘龙眼多少吨？

（2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售,预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加

工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨,桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的

销售额不少于36万元,则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？

题目也小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆,爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟,

再以小米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程式米）与时间M分）的关系如

图所示，请结合图象，解答下列问题：

⑴Q=分,b=分，m=米/分：

（2）若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分,此时距图书馆的距离

是______米：

⑶五切的条件下,爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是分.

题目亘（2024•湖南长沙•模拟预测）某中学为绿化美丽校园,营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架

放置新购进的绿植,调查发现，若购买甲种花架10个、乙种花架8个，共需资金1584元；若购买甲种花架5

个，乙种花架12个，共需资金1656元.

（1）甲、乙两种花架每个的价格分别是多少元？

（2）若该校计划购进这两种规格的花架共28个，且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用

为仞元，甲种花架购买a个，求。与a之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的购买方案，写出最少费

用.

题目丸某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，

市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的六倍，用300元在市场上购买的人种菜苗比在菜苗基地购买的

少3捆.

（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；

（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A,B两种菜苗共100捆，且A种菜

苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对4,8两种菜苗均提供九折优惠.求本次

购买最少花费多少钱.

题目亘（2024•山东济南•模拟预测）某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西

红柿,物美价廉，走红市场，每斤罗曼西红柿比无核沃柑进价多1元，用4000元购进罗曼西红柿的数量是用

1500元购进无核沃柑数量的2倍.

（1）求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？

（2）罗曼