2024年新高考高三数学复习阶段性复习：利用导数研究函数的零点A卷(解析版)

利用导数研究函数的零点A卷(解析版)

(本试卷满分60分，建议用时：40分钟)

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.若函数〃“=丁-3》+2的零点的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】=3x+2的定义域为R,且用%)=3/-3.

当x>l或尤<一1时，/'(力=3/一3>0,当T<x<l时，/,(^)=3X2-3<0,故/(力=/一3%+2在

ST，(l,+w)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，又〃-1)=-1+3+2=4>0,/(1)=1-3+2=0,

〃一2)=-8+6+2=0,故函数“x)=d—3x+2的零点的个数为2.

故选C.

2.函数〃力=2三—6x+m有三个零点，则实数优的取值范围是()

A.[-4,4]B.(T,4)C.(-co,-4][4,+<»)D.(—8,-4)(4,+8)

【答案】B

【解析】由题意得r(x)=6f-6,当X<-1时，制x)>0,/⑺单调递增，当时，r(x)<0,/(%)

单调递减，当1>1时，>0,/(x)单调递增，据此可得函数在x=—l处取得极大值，在x=l处

=-2+6+m>0

取得极小值，结合题意，得:一，解得T<m<4,所以实数机的取值范围是(T,4).

/⑴=2-6+根<0

故选B.

3.设广(X)是函数“X)的导函数，y=/'(x)的图象如图所示，则下列说法不正确的是()

A.函数/(x)有三个零点B.函数/(x)有两个极小值点

C.函数/（X）有一个极大值点D.函数/（X）有两个单调递减区间

【答案】A

【解析】记函数y=/'（x）与X轴的三个交点横坐标从左往右依次为芯,9,马,则由图可知：当xe（OR时，

r（x）<0,/（元）在（0,占）上单调递减；当了€（再,无2）时，>0,/（元）在（再,％）上单调递增；当工€。2，兀3）

时，f,（x）<0,Ax）在（％,三）上单调递减；当.（孙+刃）时，>0,f（x）在（电，+°°）上单调递增；故

函

数/（九）有两个极小值点：王,马；有一个极大值点%，故BCD选项正确.

不能确定函数〃尤）的零点个数，A错误.

故选A.

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4.若函数/（%）=ln%+a%2—5%—，在［1,4］上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）

A.ln2-2,-1B.（ln2-2,1）C.,2—2,—：D.（ln2-2,|

【解析】f\x）=-+-x-一二----------=-------------（1W%W4）.

x222x2x

当1WXV2时，/（x）W0,/（%）单调递减；当2<xW4时，/（x）20,7（元）单调递增.所以/（%）在

7（2）<0,

l=2处有极小值/（2）=1112+1-3—。=1112—2—。，因为/（x）在［1,4］上有2个零点，所以■⑴与0,

/（4）三0,

a>ln2-2,

解得JaW—之，因为（21n2—2）—（―9）=21n2—2111^--=1-->0，所以

4\4/444

aW2In2-2.

21n2-2>--,所以ln2—2<aW—&.故选C.

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二、多项选择题（本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

1nx

5.对于函数〃x）=—，下列说法正确的有（）

x

A.“X）的单调递减区间为（l,y）B.f（x）在X=e处取得极大值

C./(X)有两个零点D./(2)</(^)</(3)

【答案】BD

【解析】由函数〃x)=—的定义域为x«O,y),且尸3=一三.

当xw(O,e)时，/^)>0,单调递增；当xe(e,+«))时，f'(x)<0,/(x)单调递减，所以“力的递

增区间为(0,e),递减区间为(e,+s),所以A错误；

又由当x=e时，函数/(力取得极大值，所以B正确；

因为当0<x<l时，/(x)<0；当%>1时;〃x)>0恒成立，所以函数只有一个零点，所以C错误；

因为八2)=写=¥=/(4),因为函数〃尤)在(e,+8)上单调递减，且3<兀<4,所以

/(3)>/(JI)>/(4)=/(2),所以D正确.

故选BD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)

6.若方程2d—3尤2—12%+左=0有三个不同实根，则实数人的取值范围是.

【答案】(-7,20)

【解析】由2%3一3/一12%+左=0,可得2d—3/—12%=—左，贝！J关于元的方程2/—3f—12%=—女有三个不

同实根，即函数/(%)=2兀3一3%2一12%与函数y=-k的图象有三个不同的交点，

/'(%)=6/一6x—12=6(%—2)(%+1),令广(%)>0解得兄<一1或X>2,令/'(%)<0解得一1v九<2,所以函

数/(幻在单调递增，(-1,2)单调递减，(2,+8)单调递增，

/(X)极大值="T)=7,“X)极小值=〃2)=—20,作出函数/(X)的图象如下，

由图可知一20<—左<7,解得一7<左<20.

故答案为(-7,20).

7.若函数〃力=2尤3一方2+1(。€2在(0,+8)内有且只有一个零点，则〃无)在［—2,2］上的最大值与最小

值的和为.

【答案】-22

【解析】因为函数，(x)=2x3_/+i在e,+8)内有且只有一个零点，即方程2d-+i=o在(0,+力)内只

有一个根，即a=2x+x-2在(。,+°°)内只有一个根.

令g(x)=2x+x-2,可得g〈x)=2-2二，再令g，(x)=。，解得*=1.

当0cxe1时,g〈x)<0,g(x)单调减,当x>l时，g［x)>0,g(x)单调增,所以当尤=1时，g(x)有最

小值g⑴=3,即0=3,所以函数/(彳)=2三一3一+1,贝I］/'(x)=6/-6x=6x(%-1).

令/''(x)=0时，解得再=0,3=1.

当一2Vx<0时，/^)>0,单调递增；当0<x<l时，f'(x)<Q,〃尤)单调递减；当1<%<2时，

f\x)>0,单调递增，又由〃-2)=-27"(0)=1,〃1)=0,/(2)=5,故函数在［-2,2］上的最大值

为5,最小值为-27,最大值与最小值的和为-22.

故答案为-22.

8.已知函数〃司=(尤2+》-5)/，若函数g(尤)=［〃同了-(4-2)〃彳)-2.恰有5个零点，贝段的取值范

围是,

【答案】

【详解】函数g(x)恰有5个零点等价于关于x的方程［了⑺丁-(〃-2)/("-24=0有5个不同的实根.

由［〃明2-(4-2)〃耳-2a=。得=a或〃x)=-2.a^/(x)=(x2+x-5)e\所以

f\x)=(x2+3%-4)ex=(x+4)(x-l)ex,由得了<—4或x〉l,由/'(兄)<0,得Tv%vl,

则“X)在(-8,-4)和(1,+8)上单调递增，在(T,l)上单调递减.因为〃_4)=3,”1)=-3e,当X-+8时，

〃尤)一内，当X--8时，/⑺-0,所以可画出“X)的大致图象：

由图可知〃力=-2有2个不同的实根，则〃”=。有3个不同的实根，所以

故答案为［o，/］.

四、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

9.已知函数/(x)=ar-lnx-2.

(1)当a=l时，求函数“X)的极值；

(2)讨论函数的零点个数.

1x—1

【解析】(1)当”=1时，/(x)=x-lnx-2(x>0),/V)=l«-=—(x>0).令解(x)>0,贝!］尤>1；令

XX

f，«<0,则0<x<l,故函数/(x)的单调递增区间是(1,+»),单调递减区间为(0,1)；当x=l时，函数取

极小值/(1)=1-山1-2=-1,无极大值.

(2)f(x)=ax-kix-2=O,因为x>0,所以a=足尤+2,记g(X)=也无十？,有g'(x)二］乎,

XXX

令g，(x)>0,则0<x<L令g，(x)<0,则x>L故g(x)在(0,3上单调递增，在(L+刈上单调递减，从

eeee

而gOOmax=gd)=e.如图所示：

因此当a>e时，直线>=。与，=8。)的图像没有交点；当。=6或。40时，直线y=。与y=g(x)的图像有

1

个交点；当y=a时，直线y=a与y=g(x)的图像有2个交点.

综上，当a〉e时，函数/(x)没有零点；当a=e或aWO时，函数/(x)有1个零点；当0<a<e时，函

数了(元)有2个零点.

10.已知函数/(x)=e*3-1.

X

(1)求曲线>=/(%)在点(L〃i))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=〃尤)-，有两个零点4Z(其中玉<%)，求实数”的取值范围.

【解析】(1)由〃x)=e一当一1,贝I］k(x)=e、-T竺，所以〃l)=e-l,即切点坐标为(l,e—1),切线

斜率f(l)=e-l,故切线方程为y-(e-l)=(e-D(x-l),即(efx,O.

(2)由题意g(%)=0有两个不等的正根，等价于lax-x=a有两个不等的实根，设

//(%)=xex-lnx-x(x>0),贝!Jhf^x)=(x+l)ex