2024年中考数学突破倍半角模型与绝配角（解析版）

二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角

导语：见到2倍角的条件，首先想到"导"，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角

度的位置，结合其他条件，这里做题的经验，总结了六个字：翻、延、倍、分、导、造

题型•归纳

目录

知识点梳理.................................................................................

策略一：向外构造等腰（大角减半）......................................................

策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）...........................................

策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）..................................................

策略四：邻二倍角的处理.................................................................

【经典例题讲解】.......................................................................

【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”“延“倍”“分”.................................

【一题多解2】常规法与倍半角处理对比...................................................

策略五：绝配角模型.....................................................................

题型一向外构造等腰三角形（大角减半）....................................................

2023•深圳南山区联考二模................................................................

2023•山西•统考中考真题.................................................................

题型二向内构造等腰（小角加倍或大角减半）................................................

题型三沿直角边翻折半角（小角加倍）......................................................

2023•深圳宝安区二模.................................................................

2023•深圳中学联考二模...............................................................

题型四邻二倍角的处理.....................................................................

题型五绝配角.............................................................................

题型六坐标系中的二倍角问题...............................................................

宿迁•中考...............................................................................

盐城•中考...............................................................................

河南.中考...............................................................................

2023•内蒙古赤峰•统考中考真题...........................................................

资料整理

江苏苏州•统考中考真题..................................................................

内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题............................................................

2022•内蒙古呼和浩特•统考中考真题.......................................................

2023•湖北黄冈・统考中考真题.............................................................

题型七其它构造方式.......................................................................

|知识点•梳理］

知识点梳理

策略一：向外构造等腰（大角减半）

已知条件：如图，在△28。中，乙ABC=2乙ACB

DB

辅助线作法：延长C6到。，梭BD=BA,连接力。

结论：AD=AC,LBDA^LADC

策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）

已知条件：如图，在△ZEC中，2ABC=22B

辅助线作法：法一：作4/6。的平分线交力。于点。，结论：乙DBC=2C,DB=DC

法二：在6C上取一点£使/则4/£8=24。=（作ZC中垂线得到点日

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A

总结：策喀一和策略二都是当2倍角和1倍角共边时对应的构造方法，下面我们再来看看不在同一个三角

形中时该如何处理

策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）

已知条件：如图，在RtZiZEC中，AACB=90°,点。为边6。上一点，连接Z。，2B=22CAD

辅助线作法：沿力。翻折△ZC。得到△ZCE

结论；AD=AE,乙DAE=2B,BA=BE,△ADE^△BAE

策略四：邻二倍角的处理

已知条件：如图，在Rt^/IQC中，乙。=90°,点。为边6C上一点，乙BAD=22CAD

辅助线作法：

法一：向外构造等腰（导角得相似）

延长力。到E,使AE=AB,连接BE

结论：BD=BE,4DBE=4BAD,△BDE^△ABE

E

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法二：作平行线，把二倍角转到同一个三角形中

延长力。到F,使CEHAB,则乙尸=乙BAD

F

【经典例题讲解】

例题1如图，在正方形中，/6=1,点£尸分别在边6C和上，AE=AF,乙&尸=60°,则

。尸的长是（）

V3+1V3A12

A.---------B.——C.V3-1D.-

423

【简析】（1）方法一（常规解法）：如图，连接&；易证△ZEF为等边三角形,

员AAD0XABRHL2],魁DF=BE,从而。尸=CE即△<?可为等腰直角三角形；设。尸=%

则。尸=l—x,AF=EF=VTX在Rt4/I。尸中，由勾股定理可得1+（1—刈2=24,

解得x=J3—l（x=——1舍去），故选G

方法二（倍半角模型）：如图，在边47上取点尸，使AP=PF,

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同上可得t\ADBAABRHf则乙DAF=/_BAE=15°,从而ZDPF=30°；设DF=x,则PD=也x,

AP=PF=2x,故/。=(2+)x=1,解得x=2-CT=选。

例题2如图，正方形为EC。的边长为4,点E是CO的中点，Z厂平分4交EC于点尸，将△/!〃£绕

点Z顺时针旋转90。得△/6G,则。尸的长为.

【简析】（1）方法一（常规解法）：由题可得44cG=4D4尸=乙£4尸=484G+乙历I尸=乙笈6即

AAFG=AFAG,故FG=AG=AE=2逐,从而。尸=CG一尸G=6-2石；

方法二（倍半角模型）：如图17—2—3,延长力尸、。。交于点尸，易将■乙P=LBAF=LEAF,则窄=2£

.—.—.—CFCPCF2\15—2

=2、/5，故。尸=2、/5-2,DP=2JS+2：又易证△尸。尸S△尸。4故一=—,即一、二，

37°7,DADP42亚+2

从而CF—6-^5；

【反思】方法一的关键是通过导角得到等腰△/!25,方法二由"倍角4造"半角乙尸”，并且这里的

构造是通过"角平分线+平行线一等腰三角形”自然衍生出来的

例题3如图，面积为24的28。。中，对角线6。平分乙46G过点。作。£L交的延长线于点

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E,DE=6,则sin的值为（）

【简析】方法一（常规解法）：如图，作。G，%于点G,由题易得乙CBD=LABD=LCDB,则BC=CD

进一步由DEA.BD,可将乙CDE=ZE贝UCD=CE=BC,从而SaABCD=2SABCD=SABDE,即SABDE

2424

=24,故60=8,BE=10,所以。G=,CD=5,s\n/LDCE=,选/

55

方法二（倍半角模型）：如图，在8。上取点6梗EF=BF,易迹乙DFE=2jEBF,乙DCE=22EBF,故4

DFE=2DCE,要求sin4的值，只需求sin乙。任；议EF=BF=x,同上可得以?=8,贝尸=8-x,

在Rt△。守中，由勾股定理可得36+（8-毋=解得x=——,从面sin乙。生=——=——,即sin

5EF5

/_DCE=—^―,选A.

【反思】方法一通过作高是线构造内△COG,结合面积法求解，方法二由“半角4CEO'造"倍角Z。FE',

结合勾股定理列方程求.

例题4如图，在Rt^/18。中，乙/09=90°,28=10,BC=6,CD//AB,4/8。的平分线8。交力C

于点二则。£=

简析（1）方法一（常规解法）：由题得乙CBD=LABD=乙。,则C0=EC=6；又易得巫；则——

DECD3,339V5

=—=—=—,故CE=-AC—3,从而BE=3£,DE=-BE=----；

BEAB58"55

方法二（倍半角模型）：如图，延长C6至点6使8尸=26=10,连接力£由题可得/C=8,CF=16,则

[1CE]

tan乙尸二一；叉易得乙CBE=乙下,故tan乙C6£=一,即——二一,从而C£=3,BE=3片；再作CG

22BC245

工BD于点、G,易得BG=06。=05；同上可得。6=。。，故8。=28G=*'：，因此。£=包?一

±_55

BE二巫;

5

总结：具体问题具体对待，并非哪一种方法绝对简单，需根据问题特征选取较为合适的方法.

【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”“延“倍""分”

如图，在△/EC中，2ABC=22ACB,AB=3,BC=5,求线段ZC的长.

法1：延长或翻折向外构造等腰（双等腰）

A

易知AE=2gnAC=276

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法2：翻折或取点向内构造等腰（双等腰）

易生口△ABHs^ACB------='==

x+y35

法4：翻折一边+平行线向外作等腰（补成等腰梯形）

法5：向外延长作等腰

易知△ABC7ADC

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A

H

【一题多解2】常规法与倍半角处理对比

如图，为。。的直径，BC、。。是。。的切线，切点分别为点8、。，点£为线段06上的一个动点,

连接CE、DE,已知26=2行，BC=2,当CE+*的值最小时，则——的值为（）

简析⑴方法一（常规解法）：如图，作点C关于28的对称点。，连接C。，交力8于点£连接CE此时

CE+*取得最小值，且一=^；再作。G,26于点G,连接。CBD,易证4OBg4ODC,则乙

DEDE

2亚

BOC-乙DOC=/-A,故sin乙Z=sin/BOC二—,cos/-A=cos/-BOC=——,从而BD=ABs\r\/-A=

33

勺5；又易证乙包;G=44故DG=BDcos乙BDG=BDcos乙A=也二型；由4CBES^DGE,

3339

可得IfCB9CE

=——，因此——=10,选4

DG10DE

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D

OGE\

方法二（倍半角模型）：如图17-4—3,同上作相关辅助线，易得乙DOG=2乙BOG在06上取点£使

OF=CF,题乙BFC=2乙BOC=LDOG；设OF=CF=x,则8尸=指一X在Rt^EC厂中，由勾股定理

得4+（右一X）2=*,解得x=9下,故sinZZ9°G=sin48P。=4囱，从而0G=°£7sin乙。0G=20，

OGE\F

方法三（面积法）：如图17—4—4,同上作相关辅助线（为说理方便，省去部分线段），则4,OG=228OC=

ACOC,再作于点H,易得CH=CC'OB=4由，故sin乙。。G=sin△C。。=4生，下略・

反思：本题结构相当于已知"半角46。。，求“倍角4OOGI方法一通过作高法，构造直角三角形求解；方

法二构造“倍半角模型”，结合勾股定理列方程求解；方法三依然基于导角分析，借助对称性，结合面积法求

解.以上提供的三种方法都是“倍半角”处理的常见方法.

如图，为。。般直径，。溟弧6C的中点，BC与AD、8分别交于点£F.

⑴求证：DO//AC；

（2）求证：DEDA=DC^

（3）若tan/G4D=g,求sin/C"的值。

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c

D

E

简析(1)如图，连接OC易证。。，9。且故DOIIAC

⑵由题可得乙日》二乙C4。故NDCEs'DAC,进一步可证圮."二瓦2；

]CE1DEDC1]

⑶方法一（母子型相似）：由tanNC4Z）=—,可得=—；又NDCE—NDAC,故===—；设

2AC2DCDAAC2

FEDEFE1

DE=k,则DC=2k,DA=4k,AE=3k；又易证——=-----,故——二一；由此再设在二〃7,贝寸CE=3/77,

CEAECE3

33

CF=4m,仄而BC=8m,AC-6/n,因此10/77,sin乙6二一,即sin/CCM=—；

55

方法二（角平分线之双垂法）：如，作EG_L49于点G,易证△/EXzX/EG由tan乙C40=g,

BCBAAC

可设CE=1,AC=2,贝UEG=LAG=2；丸易得ABEG^ABAC,—=—=——=2,；再设9G=x

BGBEEG

-4

则BC=2x,BA-BG^AG=x+2,BE=BC-CE=2x-1,从而有x+2=2（2x-1）,解得x=§,所以

10.AC33

=—,sinZB==一，即SHINCCL4=一；

3AB55

方法三(角平分线之对称策略)：如图，连接比并延长，交49的延长线于点尸，由题可设6。二尸。=1,

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p

c

B

则/。AB=AP=5又乙由以。二77

=2,sinC=sin4g故PC=PB-s\nAPBC=土?从而AC=

5

a/sAC33

AP-CP=----因土tssinZS=------=—,即sinZ.CDA=-

5AB55

方法四（倍半角模型）：如图17—14—4,在ZC上取点M根AM=EM,则4aUE=24C40=乙84G

由题可设CE=1,AC=2,再设AM=ME=x,则CM=2—x,在RtAC/V隹中，由勾股定理可得1+（2-x）2=x2,

解得x=2,从而CM=—,故cosNCW=—=—,即cos/A4C=—,所以sinN5=3sin/S4=—.

44ME5555

反思：本题的结构为已知"半角4C4Z7求"倍角484。，，从而转化为其余角乙84。以上提供的前三种方

法都是借助相似或三角函数等进行计算，属常规思路，方法四基于导角分析，构造"倍半角模型”，显得尤

为简单、直接，直指问题本质。

策略五：绝配角模型

【释义】当m,〃两个角满足6+2/7=180°时，称其为一对绝配角，或者：半角的余角与它本身称为绝配

角

【举例】常见的剧配角组合如下：

绝配角组合1组合2组合3组合4组合5

m2a90+2a90-2a60+2。60-2a

n90-a45-cz45+a60-a60-a

【解决】

思路（一）：根据三角形内角和是180°,构造等腰三角形。

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思路（二）：根据平角是180。，777和2个〃构成一个平角（有两条边在同一直线上）

用一句话概括为：有等腰找等腰，没等腰造等腰

其中“等腰”指的是以/77为顶角、以〃为底角的等腰三角形，了解绝配角模型，可以给我们提供一些辅助

线思路

（一）共顶共边翻折

当两个角满足两个角满足m+2n=180。时，且共顶点共一边，这样的两个角是什么样的呢?

C

B/

'XEMa：!

、、900--/

/……-D

发现。。为4力。8邻补角的平分线，此时处理问题一般用翻折，把沿。。翻折.

4F

例题1：已知Rt443C中乙。=90°,DE=3DC,2ZE=ZCAD,求一的值.

AD

方法一：分析：NE4C与4DAC是共点A的绝配角,

绝配角重叠，要翻折两次.

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解：将AAEC关于AE作轴对称图形，将AADC关于AC作轴对称图形，如图，4EFG为直角三角形

设OC=x,=3x,则EE=4x,CG=xnEG=5xnFG=3x

一0454所

△-△AC=—,=—x,AE=-------x

333

即可求出任=£叵

AD5

方法二：分析：由于乙CAD=2t,构造一个以4A为顶点的等腰△ADK,然后出现4ECA〜△DCK

解：构造以4A为顶点的等腰△ADK(AD=AK).

导角易得乙CDK=4AEC,AECA-ADCK

ACEC«

——=——=A4,设CK=x,AC=4x,AD=5x,DC=3x,ED=9x

CKDC

/£=4所苍江=包^

AD5

(二)共三角形等腰

⑴若掰,〃=90°-万为同一个三角形的内角，则此时三角形为等腰三角形.

(2)若加,〃=90°+三分别为同一个三角形的内角和外角，则另一内角为90°-三，此时三角形为等腰三角

形

⑶若加,〃=90°-%分别为同一个三角形的内角和外角，此时可以以加为顶角作等腰三角形，此时会构成

2

另一个相似的等腰三角形.

(4)若m,n=90°+-为同一个三角形的内角,与(3)的情况相同.

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总结："半角的余角，等腰形来找”

例题2：如图在矩形中，点£尸分别为/。，C。的中点，连接BF,且乙ABE=22FBC,若

BE=5,则8厂的长度为

解法一：将46尸。沿CE翻折，交。。的延长线于点G,延长CD爻的延长线于点H,

ZG=ZSFC=90-a,ZH=2a,△EA/G为等腰，5x=10,x=2,AE=3,BC=6,BF=375.

解法二：

连接并延长交84的延长导角，得出△斤/。为等腰三角形，平行不改变形状，丽为等腰三角形。根据

腰等得出10-x=4x,可求BF=3#>

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解法三：取力6中点G,连接CG,延长交。。的延长线于点〃，得到AEC良△CEG,导角得出△8GK

为等腰平行不改变形状，△HKC也为等腰。根据腰等得出10—x=4x,可求6厂

以上三种解法都是利用造全等，转移角，构等腰，得出边的等量关系来求解。

此题还可以构直接造等腰。用相似得出边的数量关系求解。请看解法四

ApG/5

解法四：可以直接利用4ABE=2a,构等腰AGBE,ABCF-AEAG—=——.根据腰等得出彳x=5,

BCCF2

可求BF

G

Xj_

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重点题型•归类精练

题型一向外构造等腰三角形（大角减半）

1.如图，在A/IE。中，乙ABC=22C,BC=a,AC=b,AB=c,探究a,b,c满足的关系.

解：延长C6到。粳BD=AB=c,连接ZD.

则4历1。=4。，AABC=2AD.

■:2ABC=22C,乙。=4C

:.AD=AC=b,/\BAD^/\ACD,

ADCDba+c

BDADcb

:.b2=c(a+c).

2.如图，在△45。中，zLABC=2,AC,AB=3,AC=2\[6,求EC的长.

解：延长C6到。，段DB=AB=3,连接ZD.

则乙。=乙DAB,AABC=2AD.

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,:乙ABC=2/-C,:./_C=ZD=/LDAB,

AD=AC^2^>,4BDAsXADC,

丝=色2^6_CD

BDAD32"

CD—87:.BC=5.

2023•深圳南山区联考二模

3.一副三角板按如图1放置，图2为简图，。为N3中点，E,尸分别是一个三角板与另一个三角板直角边

AC.2c的交点，已知/E=2,CE=5,连接。E,M为BC上一点，且满足4c21e=2440及EM=

【分析】由CE=5,AE=2,得AC=7,利用勾股定理，得到AD的长度，过E作EN_LAD于N,求出EN

和DN的长度，由于乙CME=22ADE,延长MB至P,是MP=ME,可以证明ADNE~»CE,MP=x,在Rt^MCE

中，利用勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】解：如图，过E作EN_LAD于N,

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/./END=AENA=90°,

/.ZNEA=/A=45°,

.•.NE=NA,

t：AE=y/NE2+NA2=>/2NA,

4Fr-

:.NE=NA=-^=42,

V2

同理，AD=^=—

2

:.DN=AD-NA=^^,

2

延长MB至P,使MP=ME,连接PE,

可设AMPE=AMEP=x,

/EMC=ZMPE+AMEP=2x,

•「/EMC=2/ADE,

/ADE=/MPE=x,

叉/DNE=NPCE=90。,

:ADNE〜APCE,

CENE62

~PE~^N5V25?

r

・・•PC言

25

设A/P=MEx,则CM=——x,

2

在Rt^MCE中,ME?=CM?+CE?,

25

--x|+25=x2,-'-^=y

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2023•山西•统考中考真题

4.如图，在四边形48co中，ZSCZ)=90°,对角线1C,8。相交于点。.若

AB=AC=5,BC=6,AADB=1ACBD,则AD的长为.

【思路点拨】过点Z作/于点〃，延长8C交于点E,根据等腰三角形性质得出

BH=HC=；BC=3,根据勾股定理求出AH=d4C2-CH2=4,证明NCBD=NCED,得出DB=DE,根

据等腰三角形性质得出CE=8C=6,证明CD〃/H,得出生=空，求出=Z根据勾股定理求出

AHHE3

O/Q7DFC'F2y197

DE=』CE，CD2二-------,根据CD//AH,得出-----=------,即36,求出结果即可.

3ADCH---=-

AD3

【详解】解：过点/作Z7/16C于点4,延长4。，5C交于点£如图所示:

则/〃/C=N4/ffi=90。，

...AB=AC=5,BC=6,

BH=HC=-BC=3,

2

・•.AH=yjAC2-CH2=4，

/AADB=ACBD+ACED,ZADB=2ZCBD,

，4CBD=4CED,

DB=DE,

/BCD=90。,

DC1BEf

：.CE=BC=6f

EH=CE+CH=9,

/DCLBE,AHLBC,

CD//AH,

AECDfEHA,

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CD_CE

~AH~HE

即29

49

Q

解得：CD=—,

3

DE=y/CE2+CD2=卜+(|)=

CD//AH,

DECE

一而一而’

2797

即3_6,

AD-3

解得；AD=—

3

5.如图，在RtZ\46C中，4/8=90°,AC=6,BC=8,2。平分484C,AD交BC于点D,EDlAD

交48于点£△/比的外接圆。。交2C于点£连接不

⑴求证：是。。的切线；

⑵求。。的半径/•及43的正切值.

简析(1)如图，连接。。，由题易得42=41=乙。。4,则O£?〃/C,故乙乙。=90°,即。2L6C

所以EC是。。的切线;

⑵方法一■(常规解法)：由OD//AC,可得△BOD^△BAC,则----=—,即一=-------,解得r——；

ACAB6104

BDOD,,BD5<CD33CD1

又可一----,故----一,从而——,CD--BC=3,所以tan/3二tan乙2二——二一；

BCACBC8BC88AC2

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B

方法二(倍半角模型)：如图17—8—3,延长C4至点尸，使/尸=/夕=10,易证乙3=42=41=乙0，故

Be]]315

tan乙3二tan乙9=——=—；又由tan乙2二一,可得。。=3,故BD=5,仄而易得r=OD=—BD=—.

PC2244

6.如图，28为。。的直径，点尸在的延长线上，点。在。。上，豆PG=PB•PA

⑴求证：电是。。的切线；

⑵已知％=20,阳=10,点。是弧25的中点，DEIAC,垂足为EDE交AB于点、F,求EF的长.

简析(1)如图，连接。C由PCZ=PBPA,可得——=——,又乙9二4只故NPCB-NPAC,队融乙PCB

PAPC

=乙/二4/。9,进一步可证乙0c尸=4/8=90°,即OC_LCF,所以％是O。的切线；

(2)方法一(常规解法)：连接易证由PC1=PBPA,可得外=40,43=30；又由△气汨心

CBPB1111515

△PAC,可得——=——=—,故tan乙。=tan4/l=一,从而。尸二—。。=一,AF-OA-OF--,

ACPC22222

a/s

进一步可得&二/尸sin乙/二止；

2

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c

方法二（倍半角模型）：同上可得43=30,则。。=15,OP=25,即。CCP：。尸=3：4：5；如图17—9

-3,延长CO至点Q,极OQ=OP,易得tan4Z7=tan乙/二tan乙Q=',下略

2

反思：这是一个确定性问题，其结构相当于已知“倍角/POC'求“半角4方法一利用“母子型相思似”

求解，方法二构造“倍半角模型”求解，相对而言，前者更简单，后者更通用

题型二向内构造等腰（小角加倍或大角减半）

AD1

7.如图，在RtZ\ZEC中，乙90°,点。为边26上一点，乙ACD=22B,——=-,求cos6的值.

BD3

解：过点C作于点£

428=90°,LACE=90°-ABCE=AB.

•:aACD=22B,:.乙ACD=22ACE,

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:/ACE=Z_DCE,ZCDE,

:.AC=DC,:.AE=DE.

设AE=DE=a,贝（J/lZ7=2a,BD=6a,BE=73.

•.•乙ACE=AAEC=ACEB=90°,

AECE

△CEA^△BEC,-----=------,

CEBE

aCE厂I「

-----=——，CE=\j7a,：,BC=\]BP+CP=2\14a,

CE7a

，―丝=「=必

BC2\14a4

8.如图，在RtZiZEC中，Z.84C=90°,点。为边6。上一点，乙BAD=22C,BD=2,CD=3,求2。

的长.

BDC

解：过点Z作于点E

BEDC

•.•乙E4c=90。，ZBAE=90°-ZCAE=AC.

乙BAD=2乙C,乙BAD=2乙BAE,

:.乙BAE=^DAE,:.乙B=^ADE,

:.AB=AD,.・.BE=DE=工BD=1,.•.CE=4.

2

■:乙BAE=LC,AAEB=ACEA=90°,

AECE

:.'ABE—/\CAE,：.------=------,

BEAE

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/E4/i-

——=,.・./£=2,：.AD=\DE2+AE2=45.

1AE'

9.如图，8例是以Z8为直径的。。的切线，6为切点，BC平分乙ABM,弦CD交AB于点E,DE=OE.

⑴求证：△/!四是等腰直角三角形；

⑵求证：O42=OEDC-,

⑶求tanz/IC。的值.

简析(1)由题易得乙/6。=45°,从而易证△ZC6是等腰直角三角形;

(2)如图，连接OC、OD,易证乙。。£=乙。=乙。CD故xDOEsdDCO,从而易得力即

O42=OEDC；

(3)方法一(倍半角模型)：如图，连接Z。、BD,设aZCO=x,则jAOD=2x,从而乙C£O=

4x,乙CAE=3x=45°,所以x=15°；在8。上取点F,使力尸=BF,则2AFD=30°；由此可设AD=k,

4D

则DF=yfjk,AF=BF=2k,从而BD=Q+6)k,ittar\AABD=------=2一百，即tan4/CZ?=2一百

BD

方法二(解三角形)：同上可得乙28=15°,则N9CE=75°,ABEC=60°；如图17—10—4,EGA.

BErzB

EC于点G可设OE=1,则OB=OC=5BC=&,BE=C+L从而BG=EG=石=~7

J6-V2CGr-

CG=BC-BG=-----------,故tan4/C0=tan乙CEG=——=2-J3.

2EG〜

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图17-10-4

反思：（2）主要通过换边，结合相似证乘积式；（3）通过导角得到15。，方法一借助“倍半角模型“，由特殊角

30。求“特殊半角”15。，方法二的本质是解△8CE显然前者更为简便

10.如图，在四边形中，乙ABD=22BDC,AB=AC=BD=4,CD=1,求6C的长.

解：过点8作于点E过点。作。尸，6E于点尸

・：AB=BD,：.AE=DE,2ABE=22DBE,

乙ABD=22DBE.

-：/_ABD=24BDC,：,z_BDC=Z.DBE,

CD//BE,.-.CDLAD,

四边形COE厂是矩形，AD=yjAC2-CD2=A/15,

；.EF=CD=LAE=DE=a,

2

BE=〈BDJDE2=；,BF=BE-EF=-1,

:.BC"B尸+。产=而.

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11.如图，在△力6。中，乙。=246,点。是6。的中点，ZE是6。边上的高，若力£=4,CE=2,求

的长.

BDEC

解：取力6的中点M连接M。，ME.

A

BDEC

•.•点。是EC中点，,也是△力6。的中位线,

MD//AC,MD=—AC,：,^BDM=AC.

2

,:乙C=2乙B,:.乙BDM=2乙B.

•.•ZE是9c边上的高，-.AAEB=90°,

ME=-AB=MB,乙B=乙MED,

2

ZBDM=2/_MED,/_DME=乙MED,

DE=DM=—AC=—A//IE2+CE1=,旧

22V

12.如图，在△/6C中，2ABC=22C,力。，EC于点。，ZE为8。边上的中线，BD=3,DE=2,求

的长.

解：延长8到6使叱=26,连接/£

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则乙尸.,.乙ABC=2乙F.

•/力£是中线，BE=EC,；.BD+DE=EC.

■:乙ABC=2/_C,Z_F=/_C,AF=/IC.

•「ADLBC,：.DF=DC,BF+BD=DE+EC,

:.AB+BD=DE+BD+DE,:.AB=2DE=4,

.-,AD2=AB2-BD2=1,.-.AE=-XJDP+AD2