2025版高考数学一轮总复习：数列求和 提能训练

第4讲数列求和

6A组基础巩固

一、单选题

1.已知数列｛aj是公差不为零的等差数列，伍｝为等比数列，且a=4=1,a2=&,为

=&,设④=劣+4,则数歹1」匕｝的前10项和为（A）

A.1078B.1068

C.566D.556

［解析］设等差数列｛a｝的公差为存0,等比数列｛4｝的公比为°,依据国=及=1,/

=刨a=%利用通项公式即可解得d,q,再利用求和公式即可得出结论.设等差数列｛a｝

的公差为^^0,等比数列｛4｝的公比为Q,•.•"=61=1,&=民,.•.l+d=41+3d

=q,dKO,解得：d=l,<7=2.an=l+n—l=nf，心=a+6〃=77+2”-1.则数

।山」HI10X1+10.210-1,小工

列匕｝的前10项和=————十^^=1078.故选A.

2.已知数列｛&｝满足8=16,(〃+1)&+1=2(刀+2)为,则回｝的前100项和为(D)

A.25X2102B.25X2103

C.25X2104D.25X2105

［解析］因为(〃+1)&+1=2(〃+2)&，&=16,所以金公=2白，£=8.所以数列

刀十2刀十12

1VLd是以8为首项，2为公比的等比数列，则e=8X2"T=2"+,即&=(〃+1)2〃+2,设

｛4｝的前A项和为S,则』=2X23+3X24+4X21----卜(A+1)义27rt:则2£=2X2*+3X2S

+4X26+-+z?X2aW+(〃+1)X2*%两式相减得一£=2*23+24+25+26+…+2"2一(n

91—2"+2

+1)2J+3=2+——~(n+1)2"+3=~nX2"+3,所以S=nX2n+3,所以SOO=1OOX2W3=

1—/n

25X2™,选X

3.已知数列｛&｝的通项公式是%==二，其前n项和S=等，则项数〃等于(D)

264

A.13B.10

C.9D.6

2”一11

［解析］,•*3，n~~~=1——亍，

Sn=n—----二刀一1+".

,321,1.1,1

而Vy=5+77，n~15+77..•・〃=6.

77JI

4.设数列｛a｝的通项公式为a=(—1)•cos-y—1,其前刀项和为S,则S022

=(D)

A.4041B.-5

C.-2021D.-4045

»n兀

［解析］依据题意，分类探讨刀=4A—3或〃=4A—1,A£N时，cos装-=0,n=4：k-

377兀3〃兀

2,AGN时，cos—=-1,n=4k,AeW时，cos—=1,即可得出答案.：a〃=(一

nJI*.〃兀

1)”(2〃-1),cos--1,・••当/?=4A-3或〃=4A—1,A£N时，cos~^-=09&左一3=a-i

=-1；当n=4k—294£N时，cos-^-=—1,&—=［2X(4A—2)—1］X(—1)—1=-8A

茨,〃Jl

+4；当n=4k,A£N时，cos-^-=1,&次=2X4A—1—1=8A—2,/.^-3+^-2+^-1+

=

34k0，•・S022=£020+&021+8022=3.2021+改022=-l+(2X2022-1)•(-1)-l=-4

045,故选D.

5.已知数列｛a｝满足.31=1,且对随意的7?£N*都有4+1=&+4+〃，贝，力的前100项

和为(D)

A-1-0-0R-9-9-

101100

101200

C---D---

100101

［解析］•&?+1=2+4+/7,劭=1,••3n+l-a=1+77.

・・Hncln—\~~R(Z7^^2).

an=(&—<3/7-I)+(劣一1-为一2)+…+(&—a)+a1=刀+(z?-1)+,,,+2+1=-.

.」=，=2仕—q.

annn-\-\\nn+1J

•••尚的前100项和为2G-1+2-3+,"+TOO_TOT)=26-IOT)=IOI-故选D-

6.(2024•重庆调研)已知数列回｝满足a尸士则a+专+1+…+高除=(A)

20222020

A-----R-----

20232021

20212019

C-----D-----

20222020

［解析］由题知，数列面｝满足％=若，所以数列牌的通项公式为亲=£\=:

11

j二匚［、［IgI丝IIa20221--+

〃+1，所以团+方+32T70222-1-22-3

7.在数列｛2｝中,已知对随意力《N*,己1+/+@3+・・，+&=3"—1,则—+I+啬+•••+

£等于（B）

A.（3"-1）2B.jo'-l）

C.9"-1D.；（3"-1）

［解析］因为国+a2H---1~a=3"-1,所以国+a2H----Pa—i=3"i—1（〃22）.则当刀22

时，an=2•3'T.

当77=1时，51=3—1=2,适合上式，所以4=2•3"T（〃£N*）.

41—9"1

则数列｛阖是首项为4,公比为9的等比数列，岔+…+4=不丁=5（9〃一1）.故选B.

8.（2024•辽宁凌源二中联考）已知数列｛2｝与｛4｝的前〃项和分别为S,几,且

2%

a>0,6$=成+3%，/?£N*,4=2i2%+T'若对随意的〃£N*,力北恒成立，则A的最小

值是（C）

1

A-7B.49

18

C.—D.777

49441

［解析］当〃=1时，6劭=4+3为，解得功=3或功=0（舍去），又6s=湿+3为，「・6S

+1=湿+1+3a+1,两式作差可得6A+I=W+L4+3a+L3为，整理可得（为+1+为）（a+L为一

3）=0,结合为>0可得a+i—2一3=0,/.a+i—a=3,故数列｛a｝是首项为3,公差为3的

8〃1

等差数歹U,，3+(77-1)X3=3/7,贝Ub

••3nn2%—12%+1—1-8"-180+1-17

七-一

7=-22-3Hh

,"7_G-l8-l)+G-l8-l).--g+j)］=Y(J-8»+i_J〈历，

AN/.故选C.

二、多选题

112123123

9.(2024•济南调研)已知数列{%}：…，----\~

乙JJddd_LUkUu

91

而…,若队="？设数列伉｝的前〃项和.则（AC）

n

A.an=~B.&77

5/7

C.Sn=~|1D.Sn=-It

n+1n+1

i9n1+2+3H---卜Xn

［解析］由题意得a„=—r+--4+==f

力十177+1'n+ln+12

.i4n］)

"""nT?+1nn+1\n〃+1)

—•----

22

・•・数列｛4｝的前〃项和

Sn=bl+b2+bi-\---\-bn=

(111,11,11、

41—不+丁三十3—---------ZTT

22334nn+1?

=4(111_、〃477+故,选AC

on

10.(2024•重庆月考)已知数列｛a｝满足a=—2,—=--(/7^2,〃£N*),｛&｝的前

an-i77-1

力项和为S,贝！J(ABD)

A.々=-8B.劣=一2"•力

C.w=—30D.S,=(l-/2)•2o+1-2

AFtLrI口=+―r3,22&3QA4须n.

［r解析］由题思可Z得c3，—=2X-,—=2X-,—=2X~,…，---=2X^—-(77^2,

ct\1a22a33a—in1

N*),以上式子左、右分别相乘得刍=21•77£N*),把4=—2代入，得a0=一

ai

2J〃(〃22,〃GN*),又&=-2符合上式，故数列｛aj的通项公式为4=-

2

a2=-8,故A,B正确；S,=-(1X2+2X24----\-n-2"),则2s=—［IXZ'+ZXZ'H---F

(Z7-1)•2n+n-2"+1］,两式相减，得&=2+22+234\-2n~n•20+1=2"+1-2-/7•2"+1=

fl+1

(1-/7)-2-2(/JEN*),故S=-34,故C错误，D正确.

11.已知数列｛aj的首项为4,且满足2(〃+l)a〃一〃a〃+i=0(〃GN*),贝U(BD)

A.数列］,为等差数列

B.数列｛aj为递增数列

C.数列®｝的前〃项和S=(A—1)•2e+4

D.数列［肃r］的前〃项和Tn=n

［解析］由2(〃+l)a­=。得篙/X务所以数歹啥是以尹&=4为首项，

2为公比的等比数列，故A错误；因为刍=4X2"T=2〃+I,所以&=〃・2"+I,明显递增，故B

n

正确；因为S=1X22+2X23H------2"+'2s=1X2，+2X24H------------\-n>2n+2,所以一S=

221—2n

1X22+23H------\-2n+1-n-2^2=~~---n-2n+\故S=(〃-1)•2什2+4,故C错误；因为

1—Z

玛=等二=〃，所以数歹“己的前〃项和。="^=空，故D正确.

三、填空题

。,13ir1,1y

12.22-I+32-1+42-1H卜〃+12-1=-4二4总1土〃工21一・

［解析］,,二+L］'

.1।1।1।।1

'>22-1+32-1+42-1++7?+12-1

=一一§+5一/§飞+…+二浦

=163__11A

—诋〃+1n+2)

42^/?+1/J+2/

13.(2024•海南三亚模拟)已知数列｛aj的前n项和S=10〃一片数列也｝满足4=

\a„\,设数列｛4｝的前〃项和为北，则北=24,北。=650.

［解析］当n=l时，ai=Si=9,当时，an=Sn—Sn-i=10n~n—［10(7?—1)—(n

—I)2］=-2/?+ll,当A=1时也满足，所以&=一2〃+11(〃GN*),所以当时，a)0,

2

bn=a„,当n>5时，aXO,bn=-an,所以K=,S=10X4—4=24,九=&一氏一氏--------a3o

=2W—5»=2X(10X5-52)-(10X30-302)=650.

14.(2024•广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列｛aj满足：顼为正整数，a〃+i

V-&为偶数,

假如功=1，则&+己2+&+…+〃2018=4709.

、3a+1,为为奇数,

［解析］由已知得<3I=L52=4,&=2,a=1,a=4,a=2,｛劣｝是周期为3的数

列，4+&+…+&oi8=(1+4+2)*672+1+4=4709.

四、解答题

15.(2017•课标全国HI)设数列｛4｝满足&+3a21---1(2刀-1)a=2乙

⑴求数列｛a｝的通项公式；

(2)求数歹U盛T的前〃项和•

\LillI1I

［解析］(1)因为d+3a2H----\~(2/?—1)an—2n,

故当刀22时，a+3a2+…+(2/7—3)a—1=2(n—1).

9

两式相减得(2〃-1)a=2,所以为=;^--^(〃22).

277—1

又由题设可得勒=2,满足上式.

9

从而｛2｝的通项公式为--

2/7—1

(2)记］侪J的前n项和为S.由(1)知—?=七二—白?•

［277十1J277+12/7+1277—12/7—12〃+1

E11.11.I112n

川$=,一§+§一二^12A-1-2〃+1=2>+1

16.(2024•郑州市第一次质量预料)已知数列｛2｝为等比数列，首项4=4,数列伉｝满

足6〃=log2品，且Z?i+1&+&=12.

(1)求数列｛2｝的通项公式；

人4,1,，

(2)令Cn--+为，求数歹U｛4｝的刖n项和Sn.

bn•bn+\

［解析］(1)由6“=log2a和b\~\~益+12,得log2(515253)=12,

••己1〃2〃3=2.

设等比数列｛&｝的公比为q,

•.•4=4,・•.&〃2a3=4,4q•4q=2‘•q=2匕

计算得T・・・&=4•尸=4：

(2)由⑴得6〃=log24"=2〃，

4111

5=3~~7^7+4”=^7+4"=一^rr+4”・

2/7•2/7+1nn-v1n〃+1

设数列L刀［J的前n项和为An,则An=1—------\-----9=WT'

［nn~\-1J223nn-\~1〃+1

41一4”4

设数列｛，｝的前n项和为Bn,则B=——=^4n~l)

n1-4of

774

S=—r-+-(4"-1).

n〃十13

6B组实力提升9

L若数列｛aj,｛4｝满足为4=1,an=j/+3n+2,贝U伉｝的前10项之和为(B)

1

B

3-

17

C.-D.

12

［解析］■.*bn=—=,3,9=^T7-----

an77+177+2n-v1刀十2

「・So=》+益+…+瓦

—1——1—I1————1—1———1—I—•••—I1——1——11―■1--

233445111221212,

1-I-O1

2.已知数列｛2｝的前刀项积为北，且满足2+1=F（〃£N*）,若囱=彳，则窃［9为（C）

1一44

3

--

B.5

D.

51

--

C.34

［解析］干脆利用数列的递推关系求出数列的周期，进一步求出结果.由am=L，

1-4

1531

.31=7，解得a=~,53=—4,34=--,85=小…，所以北=国•色•石3•a=1,2019=

43254

［5

4X504+3,所以?2019=(乃1石28a),(85注&金)•(/017a2018&019)=1X1义1X…X—X~

5

x(-4)=—'故选C.

o

3.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两

步为：

111

-①

(1)构造数列1,3-^-

4/7

⑵将数列①的各项乘以5,得到一个新数列az,a3,即…，a.

nn—1nn—1

—X---■.故选C.

4n4

4.1+2X+3/H---..（其中©0）

+nx+nx+i

12

X

［解析］当x=l时，l+2x+3x?H---F〃/T=1+2+3H---\-n=—^―,

当时.

1x

解法——：记S=l+2x+3/-|---\-nx~,则xSn=x+2x-\---F^n—V）x~-\-nx,

两式相减得：（1—x）S=l+x+V+…+x'x-nx

1—x"〃

---nx,

1—x

.\-\-\-nx+nx+i

••S=Z2•

nl—X

解法二：l+2x+3xH---\-nx~x

=（x+『+/H---\-x）'

"jrl-yq,\~\+nx+nx+i

_l~x_~l~x'

综上可知1+2x+3x?+…+〃x"i=

1-1+nx-\-nx+x

.xWl.

l~x

5.(2024•山东省济南市历城其次中学高三模拟考试)等差数列｛2｝的前刀项和为S,数

歹!J｛4｝是等比数列，满足劭=3,61=1,为+£=10,a一2坊=&.

(1)求数列｛a｝和M的通项公式；

一,〃为奇数

⑵令S,设数列｛或｝的前n项和为T„,求T2m

b„,A为偶数

［解析］(1)设数列仿〃｝的公差为&数列｛4｝的公比为