上海市普陀区2024年中考数学二模试卷（含解析）

上海市普陀区2024年中考数学二模试卷

一、选择题

1.下列计算中，正确的是（）

A.-22=4B.16《=8C.3-1=-3D.(—)*=4

22

2.下列二次根式中，与J石（a>0）属同类二次根式的是（)

ABc

-42a之-V4a-D-

3.关于函数y=-2,下列说法中错误的是（）

x

A.函数的图象在其次、四象限

B.y的值随x的值增大而增大

C.函数的图象与坐标轴没有交点

D.函数的图象关于原点对称

4.如图，矩形4%/中，对角线即交于点0,假如OB=4,NAOB=6Q°,那么矩形/反刀

的面积等于（）

A.8B.16C.8yD.I6-73

5.一个事务的概率不行能是（）

A.1.5B.1C.0.5D.0

6.如图，已知/、B、a〃四点都在。。上，OBLAC,BC=CD,在下列四个说法中，①余=

2而；②AC=2CD；③OCLBD；@ZAOD^3ZBOC,正确的个数是（）

C.3个D.4个

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

1

7.计算：a,（3a）2=.

8.函数yJ-的定义域是

x+1

9.方程/瓦=-x的解是.

10.已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3,那么x=.

11.假如把二次方程*-以-2/=0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别

是•

12.已知一件商品的进价为a元，超市标价力元出售，后因季节缘由超市将此商品打八折促

销，假如促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利元.（用含有a、b

的代数式表示）

13.假如关于x的方程（x-2）2=〃-1没有实数根，那么加的取值范围是.

14.已知正方形的半径是4,那么这个正方形的边心距是.

15.今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育熬炼，已知某班学

生一周内在家熬炼时间的频数分布直方图如图所示.假如熬炼时间在0-2小时的学生的

频率是20%,那么熬炼时间在4-6小时的学生的频率是.

数（人）

10

6

0681。小时数（小时）

16.如图，已知回中，点久£分别在边力氏47上，DE//BC,DC、庞交于点0,AB=3AD,

设面=：DE=b）那么向量而用向量：、芯表示是.

17.将正比例函数y=Ax（孑是常数，"W0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|A|个单位后

与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y=4x的坐标轴三角形,

假如一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5,那么这

个正比例函数的解析式是.

2

18.如图，在中，ZACB=90°,AC=6,cot6=^，点尸为边上一点，将△郎C

3

沿着户，翻折得到PC,B'C与边46的交于点2,假如△»如恰好为直角三角形,

那么BP=

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

].1-1

19.先化简’再求值：我,其中x=j§+i.

x2-lX2-2X+1

’3(x-2)48-(x+6)

20.解不等式组：|x+12x-l，并把解集在数轴上表示出来.

-7—<.o+1

-3-2-1~0~I~2~3^

21.在平面直角坐标系xOy中(如图)，己知一次函数y=2广〃与y=-ax+a的图象都经

过点4(-2,0),且分别与y轴交于点6和点C.

(1)求氏C两点的坐标；

(2)设点〃在直线尸-/声〃上，且在y轴右侧，当△/劭的面积为15时，求点〃的

坐标.

22.一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面他的正侧面示意图，其中

一一9一

28表示显示屏的宽，Z8与墙面物的夹角a的正切值为在地面。处测得显示屏顶部

5

A的仰角为45°,屏幕底部6与地面。的距离为2米，假如。处与墙面之间的水平距离

切为3.4米，求显示屏的宽48的长.(结果保留根号)

3

23.已知：如图，在平行四边形相切中，对角线/C与劭交于点。，点£是如延长线上的

一点，且氏1=£C分别延长/久EC交于点、F.

(1)求证：四边形/颇为菱形；

(2)假如求证：EC'CF=AF'AD.

24.在平面直角坐标系中(如图),已知点/在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3,

抛物线y=aY-4ax+3(a=0)经过点4其顶点为G直线尸1与y轴交于点6,与抛

物线交于点〃(在其对称轴右侧)，联结及7、CD.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)点尸是y轴的负半轴上的一点，假如△阳C与△阳相像，且相像比不为1,求点产

的坐标；

(3)将/侬围着点6逆时针方向旋转，使射线正经过点4另一边与抛物线交于点£

(点6在对称轴的右侧)，求点£的坐标.

25.如图，已知在四边形/比》中，AD//BC,//8C=90°,以48为直径的。。交边小于£、

尸两点，/〃=1,BC=3,设。。的半径长为r.

4

(1)联结明当如〃比7时，求。。的半径长；

(2)过点。作OHVEF,垂足为点H,设OH=y,试用r的代数式表示y；

(3)设点G为%的中点，联结。G、0D,△勿G是否能成为等腰三角形？假如能，试求

5

参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有

一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上

1.下列计算中，正确的是（）

A.-22=4B.16《=8C.3-1=-3D.（―）~?=4

22

【分析】依据分数指数哥、负整数指数累计算，推断即可.

解：4-22=-4,本选项计算错误；

B、16[=1]6=4,本选项计算错误；

43一1=羡，本选项计算错误；

1__J_,、

D、（歹）2=fl）2=4,本选项计算正确；

故选：D.

2.下列二次根式中，与技《＞0）属同类二次根式的是（）

A-B.V4aC.D-VTa2

【分析】先化简，再依据同类二次根式的定义解答.

解：4J2a2=V^a,与J区的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合

题意；

B•g二2心与疝的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；

cV8a3=2aV2a-与J区的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；

〃我1=2a与疝的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意•

故选：C.

3.关于函数y=-2,下列说法中错误的是（）

x

A.函数的图象在其次、四象限

B.y的值随x的值增大而增大

C.函数的图象与坐标轴没有交点

6

D.函数的图象关于原点对称

【分析】依据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以推断各个选项中的说法是

否正确，从而可以解答本题.

解：：函数产=-2,

X

...该函数的图象在其次、四象限，故选项/正确；

在每个象限内，y随X的增大而增大，故选项6错误；

函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；

函数的图象关于原点对称，故选项。正确；

故选：B.

4.如图，矩形笫中，对角线NC、BD交于点、0,假如0B=4,NAOB=60°,那么矩形26切

的面积等于（）

A.8B.16C.8-73D.165/3

【分析】由矩形的性质得出OA=BO,证是等边三角形，得出力6=如=4,由勾股定

理求出力〃即可求出矩形的面积.

解：：四边形切是矩形

：.ZBAD=90°,AO=CO=—AQBO=DO=—BD,AC=BD=2OB=8,

22

・•・OA=BO,

VZA0B=6Q°,

・・・△/如是等边三角形，

：.AB=0B=4,

：.AD=VBD2-AB2=V82-42=4«，

...矩形/戊/的面积=/8X4）=4X4近=16退；

故选：D.

5.一个事务的概率不行能是（）

A.1.5B.1C.0.5D.0

7

【分析】依据概率的学问，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题.

解:一个事务的概率最大是I,最小是0,故选项/错误，

故选：A.

6.如图，已知从B、a，四点都在。。上，OBVAC,BC=CD,在下列四个说法中，①余=

2而；②AC=2CD；③OC1BD；④/A0D=34B0C,正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】依据题意和垂径定理，可以得到AC=BD,AB=BC，BC=CD>然后即可推断各

个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题.

解：*/OBVAC,BC^CD,

AB=BC>BC=CD>

1',AC=2CD,故①正确；

AC<A&rBC^BC+CD^2CD,故②错误；

OCLBD,故③正确；

NAOD=3/BOC,故④正确；

故选：C.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.计算：a*（3a）2=9a3.

【分析】先依据积的乘方法则计算，再依据单项式乘以单项式法则计算.

解：原式=a・9a2=9a3,

故答案为：9aJ

8.函数的定义域是x#-1.

x+1

【分析】依据分式的意义，分母不等于0,可以求出x的范围.

解：依据题意得：x+IWO,

解得：矛W-1.

8

故答案为xW-l.

9.方程J■同=-x的解是x=0.

【分析】先两边平方得到*一5入=0,再把方程左边进行因式分解得到x(x-5)=0,

方程转化为两个一元一次方程：x=0或*-5=0,即可得到原方程的解为荀=0,至=5,

检验原方程的解为x=0.

解：把方程倔=-才两边平方，得

5x=x,

/-5x=0,

'.x(x-5)=0,

x=0或x-5=0,

・・荀=0,^2~5.

检验：把药=0,次=5代入方程-X,

可知莅=0是原方程的根，用=5是原方程的增根，

所以原方程的解为x=0.

故答案为：x=0.

10.已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3,那么x=4.

【分析】依据一个样本1、3、2、5、x的平均数是3,可以求得x的值，本题得以解决.

解：：一个样本1、3、2、5、x的平均数是3,

(l+3+2+5+x)4-5=3,

解得，x=4,

故答案为：4.

11.假如把二次方程*-灯-2/=0化成两个一次方程,那么所得的两个一次方程分别是」

-2y=0或产y=0.

【分析】由于二元二次方程f-xy-2/=0进行因式分解可以变为(x-2y)(x+y)=0,

即可解决问题.

解：x-xy-2y=0,

(jr-2y)(x+p)=0,

.\x-2y=0或x+y=0.

故答案为：x-2y=0或x+尸0

12.已知一件商品的进价为a元，超市标价6元出售，后因季节缘由超市将此商品打八折促

9

销，假如促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利（0.86-a）元.（用含

有a、力的代数式表示）

【分析】依据“标价x至遨=售价”用代数式表示出售价，再依据“售价-进价=利润”

10

用代数式表示盈利.

解：依据题意得，每件商品盈利（0.8Z;-a）兀，

故答案为：（0.86-a）.

13.假如关于x的方程（x-2）2=0-1没有实数根，那么口的取值范围是.

【分析】依据干脆开平方法定义即可求得0的取值范围.

解：•••关于x的方程（厂2）2=必-1没有实数根，

.,.a-1<0,

解得m<1,

所以加的取值范围是m<l.

故答案为：®<1.

14.已知正方形的半径是4,那么这个正方形的边心距是，

【分析】正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边

心距、半径围成直角三角形求解即可.

解：如图，依据正方形的性质知：46%是等腰直角三角形，

过。作OE1BC于E,

•••正方形的半径是4,

:.BO=4,

OE=BE=^BO=2近,

故答案为：2，^.

15.今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育熬炼，已知某班学

生一周内在家熬炼时间的频数分布直方图如图所示.假如熬炼时间在0-2小时的学生的

10

频率是20%,那么熬炼时间在4-6小时的学生的频率是0.25

【分析】先由熬炼时间在0-2小时的学生的频率是20%,人数为8求出被调查的总人数,

再依据频率=频数+总人数可得答案.

解：：熬炼时间在0-2小时的学生的频率是20%,人数为8,

被调查的总人数为8・20%=40（人），

则熬炼时间在4-6小时的学生的频率是104-40=0.25,

故答案为：0.25.

16.如图，已知中，点入£分别在边48、/C上，DE//BC,DC、庞交于点ftAB=3AD,

设前=；，DE=b>那么向量而用向量rE表示是—泰享」•

【分析】利用平行线分线段成比例定理求出前，依据三角形法则求出前，证明。a1%

即可.

解：'：DE//BC,

•AD=DE=1

,,瓦一而一常

：.BC=3DE,

vDE=b-

•■•BC=3b>

"：/\DOE^/\COB,

•0D=DE=l

,•而一而一常

11

：.OD=—OC=—CD,

34

,•"DC=DB+BC-

-'-DC=-a+3b-

・TT?-1_*।3一

「DO-2小

故答案为：-11+日总

17.将正比例函数y=Ax（孑是常数，"W0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|用个单位后

与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y=4x的坐标轴三角形,

假如一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5,那么这

个正比例函数的解析式是y=10x.

【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再依据它的坐标轴三角形

的面积为5,求出“的值即可.

解：•.•正比例函数的图象经过第一、三象限，

：.k>Q,

当正比例函数尸府“是常数，片0）的图象，沿着y轴向上平移㈤个单位时，所

得函数的解析式为y=kx+k,

...与x轴的交点坐标为（-1,0）,与了轴的交点坐标为（0,k）,

..•它的坐标轴三角形的面积为5,

.•."=10,

...这个正比例函数的解析式是y=10x,

:当正比例函数尸府“是常数，AW0）的图象，沿着y轴向下平移㈤个单位时，所

得函数的解析式为y=kx-k,

...与x轴的交点坐标为（1,0）,与y轴的交点坐标为（0,-4）,

..•它的坐标轴三角形的面积为5,

A=10,

，这个正比例函数的解析式是y=10x,

故答案为：y=10x.

12

18.如图，在中，ZACB=90°，AC=6,cot6=3■，点户为边上一点，将△郎C

沿着户，翻折得到PC,B'C与边46的交于点2,假如如恰好为直角三角形,

那么BP=4或2.

5-

BC

【分析】分两种情形：如图1中，当NDPB'=90°时，过点。作CHLAB于H.如图2

中，当/PDB'=90°时，设%三必'=x.分别求解即可解决问题.

解：如图1中，当NDPB'=90°时，过点。作血于〃.

RC4

.*cot^==—,AC=&,

AC3

,・BC=8,

=22=22=

,•^VAC+BCVS+61。,

：-"BC^AC=^-AB-CH,

；N6+//=90°,ZB'+ZPDB'=90°,/B=NB',APDB'=/ADC,

\AADC=ZA

,.AC=CD=6,

：CHLAD,

2/24s2-18

,•^=2^=VAC2-CH2

13

在.Rt丛PDB'中，则有(―-2=22,

5

解得X=色或昌(舍弃)，

55

如图2中，当NW=90°时，设BHPB'=x.

图2

在RSPDB'中，则有/=（坦-x）2+（工1）2,

55

解得x=4,

综上所述，满意条件的心的值为■!■或4.

5

故答案为4或名.

5

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

1QX，其中X=W+1.

19.先化简，再求值:2

x+lX-1X-2x+l

【分析】先依据分式的混合运算依次和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.

1.（X-1）2

解：原式=

x+l（x+l）（x-1）x-1

1

x+lx+l

_X-1

-74，

当x=«+l时,

原式

V3+1+1

_V3

-73^2

=2«-3.

’3(x-2)48-(x+6)

20.解不等式组:x+l/2x-l,并把解集在数轴上表示出来.

14

-3-2-10123

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

3(x-2)<8-(x+6)①

解:察〈吟+1②，

解不等式①，得：xW2,

解不等式②，得：x>-l,

将不等式解集表示在数轴上如下：

——।---------6-----------1-----------1----------------------1-----------1------------->

-2-1012345

所以不等式组的解集为-1<后2.

21.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数y=2廿/与y=-AX+A的图象都经

过点/(-2,0),且分别与y轴交于点8和点C.

(1)求6、。两点的坐标；

(2)设点，在直线了=广〃上，且在y轴右侧，当△/初的面积为15时，求点。的

坐标.

【分析】(1)依据一次函数y=2x+s与尸-刀的图象都经过点4(-2,0),即可

得到力和力的值，进而得出氏C两点的坐标；

(2)依据5k死〃=15,即可得到点〃的横坐标，进而得出点〃的坐标.

解：(1)将/(-2,0)代入y=2x+m,解得勿=4,

y=2x+4,

令x=0,则尸4,即8(0,4),

将/(-2,0)代入y=-±*才+刀，解得n=-1,

15

令x=0,贝！|y=-l,BPC(0,-1),

(2)如图，速D悴DELBC千E,

当△/劭的面积为15时，区成+丛颇=15,

即OXBC+^DEXBC=15,

A—X2X5+—XQ£,X5=15,

22J

.•.庞=4,

y=-"x-l中，令x=4,贝!J尸-3,

：.D(4,-3).

22.一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面切的正侧面示意图，其中

46表示显示屏的宽，46与墙面加的夹角a的正切值为在地面C处测得显示屏顶部

A的仰角为45°,屏幕底部6与地面切的距离为2米，假如C处与墙面之间的水平距离

切为3.4米，求显示屏的宽47的长.（结果保留根号）

【分析】过/作于尸，AHLCD于H,过6作曲U/〃于“设AP=BN=2x,AN=PB

=5x,解直角三角形即可得到结论.

解：过/作/_1_如于RAH1CD千H,过8作融L/〃于“

16

2

\9tSLnZABM=—,

5

:•没AP=BN=2x,AN=PB=3x,

■:BD=2,09=3.4,

:・HN=2,纺=3.4-2x,

・•・/〃=5x+2,

'：ZACD=45°,

：.AH=CH,

.*.3.4-2x=5x+2,

解得：x=0.2,

：.PB=\,AP=0.4,

^=VPB2-AP2=VO-42+l2=（米），

答：显示屏的宽的长为叵米.

23.已知：如图，在平行四边形5中，对角线4C与劭交于点。，点后是如延长线上的

一点，且氏1=£4分别延长/4EC交于悬F.

(1)求证：四边形4附为菱形；

(2)假如N/£C=2/屈C,求证：EC，CF=AF，AD.

【分析】(1)由四边形46口是平行四边形知》=弦结合应1=以知口UC,从而得

证；

17

(2)先由/AEB=NCEB==/AEC,平行四边形/灰/为菱形得/如'=/的热N

2-

AEF,据此可证△户3△用£得生=型，结合CD=AD,/£="可得答案.

FAAE

解：(1);四边形46切是平行四边形,

：.OA=OC,

又,：EA=EC,

C.EOA.AC,

，四边形4BCD是菱形;

(2)"：/AEB=/CEB='/AEG平行四边形四67?为菱形,

2

/.ZAEB=ZCEB=ABAC=Z.BCA=ADAC=ZDCA,

ACDF^ZDAC+ADCA=ZAEF,

:.△FCMXFAE,

.FC=CD

,•蔗―IF

'：CAAD,AE=CE,

即£O少

FACE

24.在平面直角坐标系x勿中(如图),已知点/在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3,

抛物线y=ax2-4ax+3(aWO)经过点4其顶点为G直线y=1与y轴交于点8,与抛

物线交于点，(在其对称轴右侧)，联结式1、CD.

(1)求抛物线的表达式及点。的坐标；

(2)点户是y轴的负半轴上的一点，假如△如，与△颇相像，且相像比不为1,求点户

的坐标；

(3)将/侬围着点6逆时针方向旋转，使射线勿经过点4另一边与抛物线交于点£

(点£在对称轴的右侧)，求点£的坐标.

18

【分析】(1)把点4的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析

式，配方得顶点C的坐标；

(2)依据/DBC=NPBC=45°,且相像比不为1,所以只能△呼s△如乙列比例式可

得彼的长，从而得点尸的坐标；

(3)连接NG过£作皿物于〃，先依据勾股定理的逆定理证明△/回是等腰直角三角

形，且//必=90°,由等角三角函数得tan/A5C=tanN^?=」"=gg,设EH—m,则

2BH

BH=2m,表示£(2处研1),代入抛物线的解析式，可得结论.

解：(1)..•点/在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3,

：.A(3,0),

把/(3,0)代入抛物线y=a*-4ax+3中得：0=9a-l2a+3,

•・Q,~~1,

・・・抛物线的表达式为：尸*一4户3,

y=x-4x+3=(x-2)2-1,

・"⑵-1)；

(2)当y=l时，x-4A+3=1,

解得：为=2-E=2+J^,

由题意得：D(2+^2，1),

,:B(0,1),C(2,-1),

•"「=、22+(1+1)2=2&,劭=2+y,

•:/DBC=4PBC=45°,且相像比不为1,

只能丛CBPs丛DBC,

.CBBPHn2V2BP

.•瓦■云’即2穴2后

：.BP=8-472-

:.P(0,4y-7)；

(3)连接AG过E作EH1BD千H,

由旋转得：NCBD=/ABE,

C.AEBD^AABC,

19

VJ^=32+l2=10,初=2"2*=4,Zd=F+F=2,

,.AE=BG+A"

,.△/6C是等腰直角三角形，且N2/=90°,

AC二&_1

*.tonAABC—BC=2V2

，.tan/EBg\EH

2BH