2024年山东省济南市部分学校九年级中考数学三模试题【答案】

山东省济南市部分学校2024届中考数学5月三模试题

第I卷

一、选择题：本题共io小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确

的.每小题3分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分.共30分

1.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单个雪花的重量其实

很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（）

A.3X10HB.3XKF4C.0.3xlO^4D.0.3x10^

2.下列运算正确的是（）

A.a4-a2=a8B.（/）=a6C.a2+a2=a4D.a6-=-tz3=a2

3.春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如

图）由四个图案构成.这四个图案中是中心对称图形的是（）

c.[/JAJD.

〜7I彩

4.《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题.如:

“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是:

“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长

x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（）

（y=x+4.5[y=x-4.5（y=x-4.5（y=x+4.5

A.=2x-lB.jo.5）=x+l0yy=2x-l[0.5^=x-l

5.如图所示，在菱形/BC。中，ZBAD=SO°,48的垂直平分线Eb交对角线/。于点尸,

垂足为E,连接DF,则NC。下的度数是（）

A.80°B.70°C.65°D.60°

试卷第1页，共6页

6.如图所示，小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与“8C相似的是

7.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角

形、1个正方形和1个平行四边形组成的.如图是由“七巧板”组成的边长为5cm的正方形,

若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（）

8.如图，48为。。的直径，C为。。上一点，过点C作交。。于点。，交于

点、E,连接/C,BD,过点C作Cb于点尸，交4B于点G,若。=8,OG=1,则

。。的半径为（）

D.6

9.如果一个等腰三角形的顶角为36。，那么可求其底边与腰之比等于1二1,我们把这样

2

的等腰三角形称为黄金三角形.如图，在。中，AB^AC=\,N/=36。，08c看作

第一个黄金三角形；作//8C的平分线3。，交NC于点。，△BCD看作第二个黄金三角形;

作/BCD的平分线CE,交BD于点、E,ACDE看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024

个黄金三角形的腰长是（）

试卷第2页，共6页

E

B

2024

‘3+石

A.D.

2

10.已知二次函数y=ax2+6x+c(aw0)的图象如图所示，有下列5个结论：(1)abc>0；

(2)b-a>c■(3)4a+26+c>0；(4)2c<36；(5)a+b>m(am+b)(加Hl的实数)；

其中正确的结论有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

第H卷

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写最后结

果.

11.分解因式：m2-4=.

12.计算：一下+1-一匚的结果是________.

x-y(x+y)

13.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是.

14.如图，平面直角坐标系中，点8在第一象限，点N在x轴的正半轴上，

/AOB=NB=30。，OA=2,将。绕点。逆时针旋转90。，点2的对应点夕的坐标是

试卷第3页，共6页

15.新定义：函数图象上任意一点尸(xj),>-x称为该点的“坐标差，，，函数图像上所有点

的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数y=2x+3(-2<x<l)的“特征值”

是.

16.如图，在A48C中，乙4c8=90。，AC<BC.分别以点/,8为圆心，大于的长为

半径画弧，两弧交于。，E两点，直线交8c于点凡连接/足以点/为圆心，AF为

半径画弧，交2c延长线于点X,连接若2C=3,则的周长为.

17.计算：|-3|+(/r-3)°-a+tan45。

18.先化简，再求值：3X一廿+；(3x-6y2).其中x=-l,〉=2.

2-4x<7+x

19.解不等式组：<4+x-

x-l<---

I2

(3)小明先从上图所示的五张扑克牌中抽取一张，放回后小刚再抽取一张，求两张扑克牌上

的数字之和小于10的概率.

21.广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在

一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣

试卷第4页，共6页

土运输车运输土方.已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨,

6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨.

(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？

(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，

若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的

运输方案.

22.为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架(如图1),将其放置在水平

桌面上的侧面示意图(如图2),测得底座48高为2cm,ZABC=150°,支架2c为18cm,

面板长为24cm,CD为6cm.(厚度忽略不计)

⑴求支点C离桌面/的高度；(计算结果保留根号)

⑵小吉通过查阅资料，当面板。E绕点C转动时，面板与桌面的夹角a满足30。＜。〈70。时，

问面板上端E离桌面/的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？(精确到0.1cm,

参考数据：sin70°x0.94,cos70020.34,tan70°®2.75)

23.如图，在四边形48CD中，NC4D=90。，ZAEC=ND,点、E在BC上,AE//DC,EF±AB,

垂足为F.

AD

BEC

(1)求证：四边形/ECD是平行四边形；

3

(2)右/E平分/A4C,BE=5,sinB=—,求4D的长.

24.如图，平面内的两条直线小以点A、B在直线为上，过点A、B两点分别作直线//的

垂线，垂足分别为A1、B1,我们把线段A|B|叫做线段AB在直线b上的正投影，其长度可

记作或)，特别地，线段在直线上的正投影就是线段请依据上

T(AB,CD)T(AB.12AC12AC

述定义解决如下问题.

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(1)如图1,在锐角AABC中，AB=5,T<AC,AB)=3,则T,BC,AB,=_;

ABCAB

(2)如图2,在RtaABC中，ZACB=9O°,T(AC,)=4,T(B,)=9,求aABC的面积；

AC

(3)如图3,在钝角AABC中，NA=60。，点D在AB边上，zACD=90°,T(AD.>=2,T

(BC,AB)=6,求T(BC,CD)•

25.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线了="2+瓜+4(°片0)与x轴交于/(-4,0)、3(2,0)

两点(点N在点3的左侧)，与〉轴交于点C,点。(0,3),连接4D.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P是线段上一点，过点尸作轴交抛物线于点Q,交线段于点E,点尸

是直线工。上一点，连接厂。，FQ=EQ,求△尸的周长最大值.

(3)如图2,已知〃(1,0),将抛物线上下平移,设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD

交于点N,连接EW,当A/HV是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离d的值.

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1.A

【分析】本题考查科学记数法,解题的关键是熟记科学记数法的定义:将一个数表示成。X10"

的形式，其中1<H<10,"为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了

多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时，〃是正整数;

当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解:0.00003用科学记数法可表示为3x10-5.

故选：A.

2.B

【分析】根据同底数基的乘除法，幕的乘方，整式的加法的运算法则即可求解.

【详解】A：不符合题意

B：")3=/,符合题意

C：a2+a2=2a2,不符合题意

D：/+/=/,不符合题意

故选B.

【点睛】本题考查同底数募的乘除法，嘉的乘方，整式的加法的运算，熟记各种运算法则为

关键.

3.B

【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋

转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可.

【详解】解：根据中心对称图形的定义可得：B选项图为中心对称图形，A,C,D都不

是.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，充分理解中心对称图形的定义是解题的关

键.

4.D

【分析】根据“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，即可得

出关于x,y的二元一次方程.

【详解】解：•.•用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺，

y=x+4.5;

答案第1页，共19页

•••将绳对折再量木，木剩余1尺,

0.5y=x-1,

y=x+4.5

・・・根据题意可列方程组

0.5〉=%-1'

故选；D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，明确题意，找等量关

系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

5.D

【分析】连接尸8,根据菱形的性质和中垂线的性质，mUF=BF=DF,得到

乙FAD=再利用NCDF=ZCDA-ZADF,进行求解即可.

【详解】解：连接BD,BF,

•.•菱形N8CD,

・••/C垂直平分50,ZDAF=^ZDAB=40°,AB//CD,

ZADC=180°-ZBAD=100°,FD=FB,

又48的垂直平分线E尸交对角线/C于点尸，垂足为E,

•••FB=AF,

：.FD=AF,

.-.ZADF=ZDAF=40°,

ZCDF=ZCDA-ZADF=60°；

故选D

【点睛】本题考查菱形的性质，中垂线的性质，等边对等角.解题的关键是掌握菱形的对边

平行，对角线互相垂直平分.

6.A

【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出/民AC,8C的长，求出

答案第2页，共19页

三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.

【详解】解：根据题意得：AB=」3。+F=9,AC=2.,BC=Vl2+12=V2>

；.BC:AC:AB=l：e：曲,

A、三边之比为1：血：石，图中的三角形（阴影部分）与。8c相似；

B、三边之比亚:石：3,图中的三角形（阴影部分）与A/BC不相似；

C、三边之比为1:石：2亚，图中的三角形（阴影部分）与“3C不相似；

D、三边之比为2:石：JTL图中的三角形（阴影部分）与O5C不相似.

故选：A.

7.C

【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求解阴影面积，再利

用几何概率公式计算即可.

【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形，

•••大正方形的边长为5cm,

•••大正方形的对角线长为5j5cm，面积为25cm"

・•・阴影部分的边长为逑cm,

4

Q_252

•••S阴影一~—cm2,

o

25

：.P（该点取到阴影部分）_瓦_1

~25-8

故选C

8.B

【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，根据直角三

角形的两锐角互余及对顶角相等可得N4GC=/D,由圆周角定理可得4=/。，继而得到

NA=NAGC,AC=GC,由等腰三角形的性质及垂径定理得到/£=GE,CE=gcD=4,

设OE=x,贝l|/E=G£=x+l,CO=AO^2x+\,在RSOCE中，OE2+CE2=CO2,可得

X2+42=（2X+1）2,求解即可.掌握圆的基本性质是解题的关键.

【详解】解：如图，连接CO,

答案第3页，共19页

•・•ABVCD,

・•・/BED=90°,

.・・/5+/。=90。,

vCF1BD,

・•・/BFG=90°,

・•.ZB+ZBGF=90°,

:"BGF=ZD,

•・•ZBGF=ZAGC,

："AGC=/D,

•・・在oo中，/z和/。都是前所对的圆周角,

・・.NA=/D,

.・・=ZAGC,

・•.AC=GC,

又•:ABtCD,CD=8,OG=1,

AE=GE,CE=—CD=—x8=4,

22

设。£=%,则/£=G£=x+l,

AO=AE+OE=2x+1,

CO=AO=2x+1,

在Rt^OCE中，OE2+CE2=CO-,

.-.x2+42=（2x+l）2,

解得：x或x=-3（不合题意，舍去），

513

・・.CO=2x+l=2x—+1=—

33

13

・♦・OO的半径为£.

故选：B.

答案第4页，共19页

o

(i

B

9.A

【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识;

由黄金三角形的定义得放=，"8=浮1fV5-iYrj5-iY

同理求出。=-——，DE=-——

22

可得第1个黄金三角形的腰长为N3=/C=l，第2个黄金三角形的腰长是叵口，第3个

2

黄金三角形的腰长是一‘第4个黄金三角形的腰长是一‘得出规律第〃个黄

金三角形的腰「二长-1是丫”:‘即可得出答案.

【详解】解：••・08C是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为NB=/C=1,

.BCV5-1

••----=--------

AB2

二.BC=立aAB=延。

22

・・・△38是第2个黄金三角形，

・・.02=立」，第2个黄金三角形的腰长是避二1,

BC22

/.CD=好二BC二

2

・・・△CD£是第3个黄金三角形,

.DEV5-1

>・----=--------第3个黄金三角形的腰长是

CD2

“浮3

.••第4个黄金三角形的腰长是

答案第5页，共19页

0-1

••・第〃个黄金三角形的腰长是

/f—\2024-1zJ—\2023

・•・第2024个黄金三角形的腰长是交二！=左二，

22

<7V7

故选：A.

10.B

【分析】由抛物线的图象可判断“、b、c的符号，可判断①；由x=-l和x=2时对应的函

数值可判断②、③；由对称轴可得6=-2”分别代入a-6+c,借助函数图象可判断④；可

以比较当x=7"和x=l时的函数值的大小可判断⑤，可求得答案.

【详解】解：.•・图象开口向下，与了轴的交点在x轴的上方，

a<0,c>0,

对称轴为尤=1,

_A=i

2a'

b--2a>0,

abc<0,故①错误；

当x=—1时，由图可知yvO,

:.a-b+c<0,

：.b-a>c,故②正确；

••・抛物线与工的一个交点在-1和0之间，

丁•另一个交点在2和3之间，

...当尤=2时，V>。，

4〃+2b+c〉0,故③正确；

b=-2a,

a=--b,且,

2

/.—b—b+c<.0,即--b+c<0,

22

:.2c〈3b,故④正确；

•••抛物线开口向下，

.•.当x=l时，V有最大值，

加N1,

答案第6页，共19页

:.a+b+c>am2+bm+c,

:.a+b>m[am+b),故⑤正确；

综上可知正确的有4个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握>="2+为+式。*0)中各系数与

其图象的关系是解题的关键.

11.(加+2)(m-2)

【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.

【详解】m2-4=(m+2)(m-2),

故填(刃+2)(加-2)

【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.

【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约

分即可得.

=yx+y__匚

(x+y)(x-y)(x+yx+y)

y.J7

(x+y)(x-j)x+y

_yx+y

(x+y)(x-j)y

1

x-y'

故答案为：.

x-y

【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法

则.

13.8

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n-2)-180°,外角和等于360。,

答案第7页，共19页

然后列方程求解即可.

【详解】解：设边数为"，由题意得,

180(〃-2)=360x3,

解得n=8.

所以这个多边形的边数是8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关

键.

14.V3,3)

【分析】作？〃，了轴于〃，由题可得CM'=H3'=2,ZB'A'H=60°,即可求出8月■和OH,

由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可

【详解】解：如图，作?〃，了轴于

由题意：OA'=A'B'=2,ZB'A'H=60°,

ZA'B'H=30°,

.-.AH'=^A'B'=1,B'H=y/3,

OH=3,

.­.B7-V33).

【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的

关键.

15.4

【分析】由题意知，一次函数J=2x+3(-24x44)的“特征值，，为y-x=x+3,当x=l时,

y-x最大，代入求解即可.

【详解】解：由题意知，一次函数了=2》+3(-24尤41)的“特征值”为

y-x=2x+3-x=x+3

答案第8页，共19页

当x=l时，y-x=4,

・•・一次函数,V=2x+3（-24x41）的“特征值”为4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了新定义，一次函数.解题的关键在于理解题意并正确的运算.

16.6

【分析】根据作图可得垂直平分线段N3,利用线段垂直平分线的性质可得/歹=8/，

再根据等腰三角形的三线合一可得△/切的周长

=AF+AH+FH=2（AF+CF）=2（BF+CF）=2BC,即可求解.

【详解】解：由作图可得垂直平分线段

•••AF=BF,

•••以点/为圆心，/尸为半径画弧，交BC延长线于点〃，

AF=AH,

•••AF=AH=BF

■■AC1BH,

CF=CH,

故答案为：6.

【点睛】本题考查尺规作图一线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性

质定理是解题的关键.

17.3.

【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数累，二次根式一一计算即

可得出答案.

【详解】原式=3+1-2+1=3

【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则.

18.4x—3y21—16

【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把X,

y的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【详解】解：3x-y2+^（3x-6y2）

答案第9页，共19页

—3x—y2+x_2y2

=4x-3y2,

当x=-l,y=2时，

JMJ^=4X-3/=4x(-l)-3x22=-4-12=-16

19.-l<x<6

【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集.

2-4x<7+

【详解】一符②

解不等式①得：x>—1,

解不等式②得：%<6,

・•.不等式组的解集为：-1<XV6.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大

取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键.

20.(1)—

一54

2

⑵X

⑶吴

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，

（1）根据生活常识可以知道一副扑克牌中共有54张牌，其中“黑桃”的共有13张，根据概率

公式可得答案；

（2）共有55张牌，其中数字“6”的有2张，根据概率公式可得答案；

（3）列表可得出所有等可能的结果数以及他们抽到的两张扑克牌上的数字之和小于10的结

果数，再利用概率公式可得出答案.

解题的关键是掌握：随机事件概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现加种可能，那么事件A的概率尸（/）=一.

n

【详解】（1）解：一共有4x13+2=54（种）等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有13种，

13

-.P（抽到黑桃）=—,

54

答案第10页，共19页

・•・抽到黑桃的概率是1三3；

54

（2）一共有5种等可能的结果，其中抽到数字“6”的结果有2种,

2

--P（抽到数字6）=y,

2

・•・抽到数字6的概率是w；

（3）列表如下：

红桃2红桃3黑桃4梅花6方片6

红桃2(20（2,3）（2,4）（2,6）（2,6）

红桃3（3,2）（3,3）（3,4）（3,6）（3,6）

黑桃4(40(43（4川（韭）（46）

梅花6(6033)（6,4）（6,6）（6,6）

方片6(60(6334)（6,6）（6,6）

由表格可知，共有25种等可能的结果，其中两张扑克牌上的数字之和小于10的结果有17种,

17

■■■P（两张扑克牌上的数字之和小于10）=—,

17

•••两张扑克牌上的数字之和小于10的概率为巳.

21.（1）一辆大型渣土运输车一次运输10吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨

（2）最佳派车方案：大型运输车12辆，小型运输车8辆

【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输了吨，根

据题意累出二元一次方程组，解方程组即可作答；

（2）设该渣土运输公司决定派出。辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为

（20-°）辆，根据题意列不等式组求解，设总共费用为w,根据题意表示出费用，根据一次

函数的性质分析，随着。的增大而增大，问题随之得解.

【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输》吨，

答案第11页，共19页

5x+2y=60

6x+4y=80

即一辆大型渣土运输车一次运输10吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；

(2)设该渣土运输公司决定派出。辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为

(20-a)辆，

根据题意有：156,且°为正整数，

[20-«>0

解得11.2VaV20,且。为正整数，

设总共费用为卬，

根据题意有：w=600a+400(20-a)=8000+200a,

•••200>0,

••.总共费用w,随着a的增大而增大，

.•.当a=12时，w最小，且最小为：w=8000+200a=8000+200x12=10400(元)，

此时最佳派车方案：大型运输车12辆，小型运输车8辆.

【点睛】本题考查一元一次不等式组，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找

出所求问题需要的条件.

22.(l)(9V3+2)cm

⑵当a从30。变化到70°的过程中，高度增加了7.9cm

【分析】本题考查解直角三角形的应用.把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解

决本题的关键.

(1)过点于点尸，过点3作8MLe尸于点易得四边形N8MF为矩形，那

么可得九0=/B=2cm,乙4BM=90。,所以/MBC=60。，利用60。的三角函数值可得CM

长，进而可求解；

(2)过点C作CN〃/,过点E作E"，CN于点H,分别得到CE与CN所成的角为30。和70。

时阳的值，相减即可得到面板上端E离桌面I的高度增加或减少了.

【详解】(1)解：过点C作CF，/于点凡过点2作尸于点跖

答案第12页，共19页

E

c

：\ZCFA=ZBMC=ABMF=90°,

I

FA

图2

由题意得：/BAF=90。,

二•四边形为矩形，

:.MF=AB=2cm,NABM=90。.

-ZABC=150°,

ZMBC=60°.

,/BC=18cm,

...CM=5C-sin60°=18x—=973.

2

,CF=CM+MF=(9A/3+2)cm,

答：支点c离桌面/的高度为(9G+2)cm；

(2)解：过点C作CN〃/,过点£作于点”,

图2

,/DE=24cm,CD=2cm,

?.CE=18cm,

当ZECH=30°时，EH=C^-sin30°=18x-=9cm；

2

当/ECA=70°时，E7/=-sin70°«18x0.94=16.92cm；

.­.16.92-9=7.92®7.9cm,

二当a从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面/的高度是增加了.

23.⑴见解析

⑵3

答案第13页，共19页

【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的性质定理，解直角三角形等:

(1)先证AE/C之ADC4(AAS),推出4&=C£),结合/E〃。可证四边形/ECD是平行四

边形；

(2)先用三角函数解咫求出E尸，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可

得EC=£尸，根据平行四边形对边相等，可得ND=EC.

【详解】(1)证明：•••/e〃。C,

:.NEAC=ZDCA,

ZEAC=ZDCA

在AE/C和△OG4中，，NAEC=ND,

AC=CA

^EAC^DCA(AAS),

AE=CD,

又・・•/£〃”)，

・•・四边形AECD是平行四边形；

(2)解：・.・四边形ZE8是平行四边形，

・•・AD〃EC,

；./ACE=/CAD=9。。.

•・•EFLAB,

ZBFE=90°,

EF3

sinB=-----=—,BE=5,

BE5

EF=3,

・・・AE平分/BAC,EFLAB,ZACE=90°,

EC=EF=3,

由(1)得：四边形/£8是平行四边形，

・•.AD=EC=3.

7

24.(1)2；(2)4ABC的面积=39；(3)T(BC,CD>=-^

【分析】(1)如图1,过C作CH1AB,根据正投影的定义求出BH的长即可;

(2)如图2,过点C作CH1AB于H,由正投影的定义可知AH=4,BH=9,再根据相似三角

答案第14页，共19页

形的性质求出CH的长即可解决问题；

（3）如图3,过C作CH1AB于H,过B作BK1CD于K,求出CD、DK即可得答案.

【详解】⑴如图1,过C作CH_LAB,垂足为H,

•••T（AC,AB）=3,

・・.AH=3,

•・・AB=5,

・・.BH=AB-AH=2,

,,,T（BC,AB）=BH=2,

故答案为2；

（2）如图2,过点C作CILLAB于H,

贝|J/AHC=4CHB=9O。，

.-.ZB+ZHCB=9O°,

vzACB=90°,

.,.zB+z.A=90°

.*.zA=zHCB,

.-.△ACH^ACBH,

.-.CH：BH=AH：CH,

.-.CH2=AHBH,

•••T（AC,AB）=4,T（BC,AB）=9，

・・・AH=4,BH=9,

・・.AB=AH+BH=13,CH=6,

•••SAABC=（ABCH>2=13x6+2=39；

（3）如图3,过C作CHIAB于H,过B作BK1CD于K,

,.ZACD=9O。，T（AD,AC）=2，

・・・AC=2,

,.,z,A=60°,

.-.ZADC=ZBDK=3O°,

,•.CD=ACtan60°=2V3,AD=2AC=4,AH=yAC=l,

.•.DH=4-1=3,

答案第15页，共19页

','T(BC,AB)=6，CH_LAB，

・・.BH=6,

・・.DB=BH-DH=3,

在RdBDK中，ZK=9O°,BD=3,zBDK=30°,

.-.DK=BDcos30°=—,

2

7

•••T(BC,CD)=CK=CD+DK=V3+-3V3=-V3.

A

【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与

性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.

1,

25.(l)y=--^2-^+4

（2）8.1

（3）抛物线的平移距离a的值为15表2或5;或1

【分析】（1）将4（-4,0）、8（2,0）代入＞=•+加+4（a*0）,用待定系数法求解即可.

（2）过点0作加，斯于点.，由等腰三角形的性质可得EF=2EM,由勾股定理得AD=5,

再根据cosNQ£"=cosN/DO得出等式，将人小。的周长用变表示出来，设

+求得直线/。的解析式，进而写出。E关于加的二次函数，将其写成

顶点式，根据二次函数的性质可得以的最大值，则可得AFE。周长的最大值.

（3）平移后的抛物线的解析式为y=-^x2-x+4土d,设设4="，则%-〃+4±d,

由点N在直线ND上，可得关于〃的等式，将d用含"的式子表示出来，即

d=-n2+-n-l,再分三种情况：①AN=