2024年新高考高三数学复习阶段性复习：函数的性质A卷(解析版)

函数的性质A卷(解析版)

(本试卷满分60分，建议用时：40分钟)

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.函数“X)是定义域为R的奇函数，/(无)在(0,+A)上单调递增，且/(2)=。，则不等式/(x)-2/(r)>0

X

的解集为()

A.(-2,2)B.(^»,0)I(0,2)C.(2,+<»)D.(―℃,—2)1I(2,+oo)

【答案】D

【解析】由于/(X)是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,又在(0,+00)上单调递增，且/(2)=0,

所以/(x)的大致图象如图所示.

由/(T)=_/(X)可得，于⑺一2f(r)J⑺+2f⑺,>0,由于x在分母位置，所以XH0,

XXX

当尤<0时，只需/(x)<0，由图象可知x<—2；当x>0时，只需/(x)>0,由图象可知X>2.

综上，不等式的解集为(力,-2)(2,内).

故选D.

2.若〃x)=(x+a)ln¥、为偶函数，贝心=()

A.-1B.0C.1D.1

【答案】B

【解析】因为为偶函数，则/(l)=/(—1)，所以(l+a)lng=(—l+a)ln3,解得。=0,所以

2x-l(2x—l)(2x+l)>0,解得X〉；或了<一；，则其定义域为卜㈤;或关于原

/(x)=xln

2x+l

点

对称，所以〃=x]：=(一切11辛1=(T)]n停三j=xln|^|=/(%),故此

ZI—X)।1ZX—1yZX+1/ZX+1

时〃龙)为偶函数.

故选B.

x-I--a----3cx>4,

3.若函数;•(%)=x'—，在R上单调递增，则实数a的取值范围是()

尤<4

A.11,事B.C.(1,2)D.(1,2]

【答案】B

【解析】当X<4时，函数〃力="-3单调递增，所以”>1，当介4时，〃X)=X+@—3是单调递增函

X

数，所以&W4,所以0Va<16,当x=4时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以aW4+4-3,

4

解之得aWa.

3

综上所述，实数”的取值范围是,,g.

故选B.

4.己知函数〃尤)是定义域为(—,+«>)的奇函数，满足〃2-尤)=/(2+力，若/⑴=2,贝U

/(1)+/(2)+/(3)++f(2023)=()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

【解析】由函数〃尤)是定义域为(-oo,+oo)的奇函数，可得=又由〃2-x)=〃2+x)，可

得〃r)=〃4+x),所以—〃x)=〃x+4),可得〃x)=—〃x+4)=/(x+8)，所以函数了⑺是以8为周

期的周期函数，且/⑴=2，因为函数”X)为奇函数，可得/'(0)=0，所以"8)=0，又由"1)=2，可

得〃1+2)=/(2—1)=〃1)=2,即/⑶=2,〃4)=〃0)=0，〃5)=-〃1)=一2,/(6)=-/(2),

/(7)=/(-1)=-/(1)=-2,所以/⑴+〃2)+〃3)++/(8)=2+/(2)+2+0-2-/(2)-2+0=0，

所以〃1)+/(2)++〃2023)=252."(1)+〃2)++/(8)]+/(1)+/(2)++"7)=252x0+0=0.

故选B.

二、多项选择题(本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分)

5.已知定义域为R的函数〃尤)满足：Vx,yeR,〃x+y)+〃x—y)=〃x)〃y),且/(1)=1,则下列

结论成立的是()

A./(O)=2B.〃x)为偶函数C.〃x)为奇函数D.f(2)=-1

【答案】ABD

【解析】因为Vx,yeR,〃x+y)+〃x-y)=〃x)〃y),取x=l,y=O,^/(l)+/(l)=/(l)/(O),

又"1)=1，所以"0)=2,A对;

取无=0,y=尤，得/(x)+/(f)=/(O)/(x),因为"0)=2,所以〃一力=/(力，所以/(力为偶函数,C

错，B对；

取尤=l,y=l,</(2)+/(0)=/(1)/(1),又/(1)=1J(O)=2,所以/(2)=-1,D对.

故选ABD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)

6.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)=.

①/(x)是偶函数；

②/'(x+y)W/(x)+/(y);

③对V:w,〃e(-8,0],且〃27",―&^<0.

m—n

【答案】|x|(答案不唯一，比如2|x|,2|x|+l,M)

【解析】由③可知，在区间(-8,0]上，/⑺为减函数；由忖+田河x+y|可知/(%)=凶符合题意.

故答案为|x|(答案不唯一，比如2|%|,2|尤|+1,加)

7.(2023年全国甲卷)若/(X)=(x—l)2+ax+sin[x+?为偶函数，则。=.

【答案】2

2/7C12

【解析】因为y=/(x)=(x-l)’+ax+sin[x+5j=(x-l)+ax+cosx为偶函数，定义域为R,

贝|]兀”=[]+1)——1)=2兀，

故a=2,此时/(%)=(%-1)"+2x+cosx=x2+l+cosx,所以

/(-x)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),又定义域为R,故/(%)为偶函数，所以a=2.

故答案为2.

8.函数/（幻=竺二在区间（f,l）上单调递减，则实数0的取值范围为_________

x-1

【答案】（2,­）

【解析】法一：在/（无）=——]中，设存在石,X,«ro,l）,且占＜々，则西一1＜0,3-1＜°，％-%＜°，

x-1

axx-2ax2-l_ax{x2-ax1-2x2+2-ax1x2+ax2+2x1-2

回函数在区间（-00,1）上单调递减，所以/（%1）-/（x2）=

—1%2—1(石—。(迎-'1)

=。(“2―西)+2(*1—%)=-2)(马―西)。蜉徨。＞2

一(-)~(^-1)(^-1)'

故答案为（2,+8）.

ax-2,，/\a（x-l}-（ax-2}-a+2z..

法二：在“无）="，中，/（:=—r,团在区间（-«u）上单调递减，回r（x）＜。，

X-1（X—11（'X—/1）1

解得a＞2.

故答案为（2,+s）.

四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9.已知函数〃x）=竽当是定义在上的奇函数，且

（1）求函数“X）的解析式；

（2）判断当xe（Tl）时，函数“X）的单调性，并用定义证明.

【解析】（1）函数〃同=式1是定义在（—1,1）上的奇函数，则/⑼=6=0,=4=解得a=2,

4+1

故/⑺=舍，x«-U）时,/（-力=言=-十）,所以函数八%）为奇函数.

OY

综上所述/（》）=喜.

（2）当xe（T,l）时，函数/（%）单调递增，设-1＜占＜三＜1,贝IJ

f（\f（、=2X[2芭=2伍一%）（1_.“2）

八“2六"1一弄一/一（君+川\+1）,-1＜不＜巧＜1,故(x；+1)(片+1)＞0,x2-xl＞0,

1一%々>°，故〃孑)>。，即/仇)〉〃王)，故〃X)在(一1,1)上单调递增.

t2-l<-t

(3)即/(r-1)</(T),/(x)在(-1,1)上单调递增，故卜解得

/e(-l,O)U0「丁.

\7

10.已知函数八％)