黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文含解析

PAGE18-黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知圆的方程为，则圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.【详解】因此圆心坐标为.故选：A【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解实力，属基础题.2.若，且为第四象限角，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵sina=,且a为第四象限角,∴，则，故选D.3.四张卡片上分别写有数字，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事务数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事务数，最终依据古典概型概率公式求解.【详解】因为从这四张卡片中随机抽取两张共有6种基本领件，取的两张卡片上的数字之和为奇数有（1，2），（3，2），（5，2）三种基本领件，因此所求概率为.故选：C点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解实力，属基础题.4.已知椭圆E：与双曲线C：（）有相同焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，所以得，得，从而可得到双曲线方程，进而可得其渐近线方程.【详解】解：因为椭圆E：与双曲线C：（）有相同的焦点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为故选：B【点睛】此题考查椭圆和双曲线的焦点，双曲线的渐近线，属于基础题.5.在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线与圆相交，可知圆心到直线的距离小于半径，从而可求出k的取值范围，然后利用几何概型求概率的方法可得答案.【详解】解：因为直线与圆相交，所以，解得，所以所求概率为故选：C【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，几何概型，属于基础题.6.已知均为锐角，，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和余弦公式求解.【详解】因为均为锐角，所以因为，所以，因此故选：A【点睛】本题考查两角和余弦公式，考查基本分析求解实力，属基础题.7.中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分别求圆面积以及内接正六边形的面积，再依据几何概型概率公式求解.【详解】设圆半径为1，则圆面积以及内接正六边形的面积分别为，所以所求概率为.故选：A【点睛】本题考查几何概型概率公式，考查基本分析求解实力，属基础题.8.已知角的终边上的一点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依据诱导公式以及弦化切进行化简，再依据三角函数定义得值，最终代入求解.【详解】又因为角的终边上的一点，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解实力，属中档题.9.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是依据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是().A.90 B.75 C.60 D.45【答案】A【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.考点：频率分布直方图.10.在满意不等式组的平面内随机取一点，设事务A＝“”，那么事务A发生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率.【详解】如下图，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），易知，，，该区域面积为.事务A＝“”，表示的区域为阴影部分AOC，其面积为.所以事务A发生的概率是.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题.11.已知函数（，），满意，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解.【详解】因为，即，所以，又因为，所以，所以，函数的图象向右平移个单位得到，的图象关于直线对称，，，即，，令，得.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.12.已知圆（圆心为点）与抛物线交于两点，若此抛物线的焦点为，且两点都在以为直径的圆上，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依据条件得,再与抛物线方程联立求坐标，最终解三角形得结果.【详解】因为两点都在以为直径的圆上，所以,设，则，，所以（舍负），因此故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解实力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，将答案填在答题卡相应的位置上．13.已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________．【答案】24【解析】【分析】依据扇形面积公式求解.【详解】扇形的面积为.故答案为：24【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解实力，属基础题.14.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的点到直线的距离的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先依据点到直线距离公式列等量关系，再依据三角函数有界性求最值.【详解】曲线上的点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解实力，属中档题.15.现采纳随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】【解析】【分析】依据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为.故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解实力，属基础题.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上的一点，射线平分交轴于点，过原点的直线平行于直线交于点，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】在轴上取点，使得,过作直线平行于直线交于点，利用正弦定理证明,再依据双曲线定义解得,即得，代入条件解得离心率.【详解】在轴上取点，使得,过作直线平行于直线交于点，如图，因为为中点,所以,因为,所以，因此故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解实力，属较难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线（为参数）与抛物线交于两点，设点.（1）求直线的一般方程和极坐标方程；（2）求和.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）依据加减消元得直线的一般方程，再依据得极坐标方程；（2）将直线参数方程代入抛物线方程，依据参数几何意义以及韦达定理求结果.【详解】（1）因此极坐标方程为（2）代入得所以，【点睛】本题考查参数方程化一般方程、直角坐标方程化极坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解实力，属中档题.18.设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采纳分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参与竞赛.（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（2）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为，从这5名运动员中随机抽取2名参与双打竞赛.设“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”为事务A，求事务A发生的概率.【答案】（1）2,1,2；（2）.【解析】【分析】（1）依据分层抽样方法确定抽取人数；（2）先确定从这5名运动员中随机抽取2名参与双打竞赛总事务数，再确定事务A所包含事务数，最终依据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）从这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为即2,1,2；（2）从这5名运动员中随机抽取2名参与双打竞赛共有10种基本领件，其中编号为的两名运动员都不选的事务有3个，因此事务A所包含事务数为7，从而所求概率为.【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解实力，属基础题.19.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】(1)干脆由条件求出与极坐标方程即可;(2)由(1)得,,,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆和圆的圆心分别为和,所以圆和圆的极坐标方程分别为和.(2)由(1)得,,,则.所以当时,面积最大值为.【点睛】本题考查简洁曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.20.某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成果进行分析，将这些成果分为九组，第一组[60，70)，其次组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）试求出的值并估计该校文科数学成果的众数和中位数；（2）现从成果在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的概率是多少？【答案】（1）a=0.014，众数95，中位数；（2）.【解析】【分析】（1）依据全部频率和为1求的值，依据组中值以及频率确定众数，依据频率为0.5求中位数；（2）先确定成果在[120，150]的同学人数以及成果在[130,140)中人数，再利用古典概型概率公式求解.【详解】（1）由频率分布直方图得区间对应人数最多，所以众数为95，设中位数为，则所以中位数为；（2）成果在[120，150]的同学人数有，成果在[130,140)中人数，从6人抽取2人共有15种方法，其中抽取2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的抽法有种，因此所求概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解实力，属基础题.21.已知函数.（1）求函数最小正周期并用五点作图法画出函数在区间上的图象；（2）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的解析式，并求当时，函数的最小值及此时的值.【答案】（1），图象见解析；（2），最小值，时取到.【解析】【分析】（1）先依据二倍角公式以及协助角公式化简函数解析式，再依据正弦函数性质求周期，最终依据五点作图法画出图象；（2）依据函数图象变换规律得，再依据正弦函数性质求最值.【详解】（1）所以周期为，列表如下：作图如下：（2）函数的图象向右平移个单位长度，得到,因此当时，取最小值为【点睛】本题考查五点作图法、正弦函数性质、二倍角公式以及协助角公式，考查综合分析求解实力，属中档题.22.已知椭圆