2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin81°cos51°−cos81°sin51°=(

)A.−32 B.32 2.下列几个命题，其中正确的命题的个数有(

)

(1)实数的共轭复数是它本身(2)复数的实部是实数，虚部是虚数

(3)复数与复平面内的点一一对应(4)复数i是最小的纯虚数A.0 B.1 C.2 D.33.若a=(1,3)，|b|=3，|A.150° B.120° C.60° D.30°4.已知复数z满足(1+i)z=3−i，则复数|z−|=A.2 B.5 C.225.已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，则向量A.23a B.13a C.6.f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最大值是3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两个对称中心的距离为2A.π2 B.π C.2+π4 7.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=3，AC=5，N为边BC的中点，则AN⋅AM=A.7B.152

C.8D.8.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC=5−12A.1−254 B.3+58二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=2+i，z1=x+yi(x,y∈R)(i为虚数单位)，z−为z的共轭复数，则下列结论正确的是A.z−的虚部为−i

B.z对应的点在第一象限

C.|z−||z|=1

D.10.已知f(x)=sin(3π2A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期是2π

C.f(x)图象的一个对称中心是(π2,0) 11.已知a,b是单位向量，则下列命题正确的是(

)A.若a=(−32,t)，则t=−12

B.若a,b不共线，则(a+b)⊥(a−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，所得函数g(x)的图象关于y轴对称，且g(x)在(π10,π413.在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=2DC，E是AD的中点，过点E的直线与AB，AC两边分别交于M，N两点(点M，N与点B，C不重合)，设AB=xAM,14.某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为π6，π4，π3，且AB=BC=20m，则四门通天铜雕的高度为______四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=sinx−cosx(x∈R)．

(Ⅰ)求函数y=f(x)⋅f(π−x)的单调递增区间；

(Ⅱ)求函数y=f16.(本小题15分)

近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式为S(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)．

(1)求S(t)的解析式；

(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长．17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a−c)(sinA+sinC)=(b−c)sinB．

(1)求A；

(2)设向量m=(−1,0)，n=(2cos218.(本小题17分)

向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程.请用向量法解决解决以下问题：

(1)证明△ABC的三条高线AD、BE、CF交于一点；

(2)已知矩形MNPQ，G为平面内任意一点，求证：|GM|2+|GP|2=|GN|2+|GQ|2；

(3)如图，已知圆O：x2+y19.(本小题17分)

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，即a=rcosθb=sinθ，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式．

z1±z2：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

z1⋅z2：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i

z1z2：a+bic+di=ac+bdc2+d2=bc−cdc2+d2i(c+di≠0)

(1)设复数z1=r1(cosα+isinα)，z2=r2(cosβ+isinβ)，求z1⋅z2，z1

参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.D

8.C

9.BCD

10.AC

11.BC

12.3

13.3214.1015.解：(Ⅰ)函数y=f(x)⋅f(π−x)

=(sinx−cosx)[sin(π−x)−cos(π−x)]

=(sinx−cosx)(sinx+cosx)

=sin2x−cos2x=−cos2x，

令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+π2，k∈Z，

所以函数y=f(x)⋅f(π−x)的单调递增区间为[kπ,kπ+π2]，k∈Z．

(Ⅱ)函数y=f2(x)+f(2x−π4)

=(sinx−cosx)216.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，

当t=0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0,60)，

由题意得，ω=2π5，且A+B=100+40−A+B=100−40S(0)=Asinφ+B=60，

解得A=40B=100φ=−π2，

所以S(t)=40sin(2π5t−π2)+100；

(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，

即cos17.解：(1)∵(a−c)(sinA+sinC)=(b−c)sinB，

∴(a−c)(a+c)=(b−c)b，即b2+c2−a2=bc，

∴cosA=b2+c2−a22bc=12，

∵0<A<π2，∴A=π3；

(2)由(1)知，A=π3，则B+C=2π3，

cosC=cos(2π18.(1)证明：设AD，BE交于点H，

因为AD⊥BC，BE⊥CA，则有AH⋅CB=0，BH⋅CA=0，

又(CH−CA)⋅CB=CH⋅CB−CA⋅CB=0，①

(CH−CB)⋅CA=CH⋅CA−CB⋅CA=0，②，

①−②，可得CH⋅(CB−CA)=0，即CH⋅AB=0.所以CH⊥AB，即CH⊥AB，

又因为CF⊥AB，则C，H，F三点共线，

所以AD，BE，CF相交于一点．

(2)解：以M点为原点建立平面直角坐标系：

19.解：(1)z1⋅z2=r1(cosα+isinα)⋅r2(cosβ+isinβ)

=r1r2[cosαcosβ−sinasinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ)]

=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)]，

z1z2=r1(cosα+isinα)r2(cosβ+isinβ)=r1(cosα+isinα)(cosβ−isinβ)r2(cosβ+isinβ)(cosβ−isinβ)

=r1[cosαcosβ+sinαsinβ