高中二年级下学期数学《导数在解决实际问题中的应用》课件

导数在解决实际问题中的应用年级：高二（下）学科：数学（人教A版）

导数在研究函数中的应用（1）函数的单调性（2）函数的极值（3）函数的最大（小）值新课引入导数在研究实际问题中的应用

导数是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度速度、加速度以及用料最省、利润最大等实际问题的基本工具。新课引入问题

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响？

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？探究新知例1

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是

分，其中

（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.

（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

一瓶半径为

的球形瓶装饮料的容积为

cm3

，1cm3

等于1mL，故瓶内所装饮料为mL，出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，瓶内饮料的利润为

分.又每个瓶子的制造成本是

分，因此每瓶饮料的利润为

分.问题1每瓶饮料的利润怎么表示？

每瓶饮料的利润=瓶内饮料的利润

-每个瓶子的制造成本

记问题2函数

的定义域是什么？函数

的定义域是.问题3如何求每瓶饮料利润的最大值和最小值呢？

可利用导数研究该函数的最大（小）值.即求函数

的最大（小）值.问题4利用导数研究函数

在区间

的最大（小）值的基本步骤是什么？求出导函数

；令

，求出对应方程的根；分析根左右两侧

的正负、

的单调性，确定

的极值点；将极值与端点值进行比较，进而求出最大（小）值.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是：求导得令解得当

时，当

时，当半径

时，

，

单调递增，即半径越大，利润越高；当半径

时，

，

单调递减，即半径越大，利润越低.（1）瓶子半径为6cm时，利润最大.此时每瓶饮料的利润为

（2）瓶子半径为2cm时，利润最小.解：因此

，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润为负值.

此时

分.问题5如果我们不用导数工具，直接从函数

的图象上观察，你有什么发现？

当

时，

即瓶子的半径是3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当

时，利润才为正值.

当

时，利润为负值，即饮料的利润不够饮料瓶的成本；问题6

当

时，

是减函数，你能解释它的实际意义吗？

当

时，瓶子半径

越大，每瓶饮料的利润越低，制造商亏损得越多.

问题7通过对此问题的解决，如何回答开始的问题呢？

以等量的球形瓶装饮料为例，因为小包装的半径小，其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些.由例（1）知，饮料瓶半径为6cm时，利润最大，所以饮料瓶越大饮料公司的利润越大.问题

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响？

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？利用导数解决实际问题的基本思路实际问题用函数表示的数学问题利用导数解决数学问题实际问题的答案知识小结例2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128

dm2，上、下两边各空2

dm，左、右两边各空1

dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？版心知识应用

由题知，版心的面积是固定的，也即版心的高和宽的乘积是固定的，

但版心的高和宽是变化的. 版心问题1：怎样合理引入变量？变量的取值范围是什么？则版心的宽为dm，可设版心的高为dm，变量

四周空白面积=整张海报的面积-版心的面积上、下两边各空2

dm，所以海报的高为

左、右两边各空

1

dm，所以海报的宽为

四周空白面积与变量之间的函数关系为：问题2：引入的变量与四周空白面积的函数关系是怎样的？版心

我们遵循着利用导数研究函数的最大（小）值的步骤来研究函数

的最小值.

问题3：如何求四周空白面积的最小值？版心当

单调递增.解：设版心的高为

dm

，则版心的宽为dm,则

四周空白面积为求导得

因此,是函数

的极小值点，也是最小值点.

此时版心的宽为8dm.答:当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小.解得当

单调递减；令解：设版心的高为

dm

，则版心的宽为dm

四周空白面积为答:当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小.由基本不等式得：当且仅当

，即

时，

取最小值72.

此时版心的宽为8dm.问题4：除开导数工具，你还有其它方法求四周空白面积的最小值吗？问题5：以上两种方法哪种更简便？哪种更具一般性？

基本不等式、导数都是求函数最值的重要手段，但基本不等式求最值必须满足一“正”，二“定”、三“相等”，三者缺一不可.因而导数更具一般性，是解决更为复杂函数最值的重要工具。课堂小结1、利用导数解决实际问题的基本思路2、利用导数解决实际问题过程是一个典型的数学建模过程.实际问题用函数表示的数学问题利用导数解决数学问题实际问题的答案建立数学模型解决数学模型实际问题的解决课后作业1.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大