数林外传系列典藏版10递推数列

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂第k=1n  k=12n(n由2.1节定理4,因f(n)=njx即S其中R(n)是待定的j次多项式.将nR(n)代入方程x(n+1)=x例11求S(n解设x(nx由(2.18)可得方程通解为x其中R(n)是3R将d(n)=b令n=0,b令n=1,15令n=-1,b令n=-2,15解此代数方程组得b所以x代入初始条件x(1)=0,得C=0x因为S(nS注重,这样求出的x(n)是S(n-1),而S(n)=x(n+1).初始条件x(1)=0总成立,即CS代入方程S得k比较两边的系数,再加上初始条件S(0)=0.k解此j+2个代数方程可求出bb定义B则Bi为伯努利数B将(2.28)代入(2.27)得k(2.29)为伯努利数的计算公式,且伯努利数与j无关,是一组常数.关于Sj(n),现在知道,它是变量n+1的jS 且对大于1的奇数下标2k+1,b2k命题1S若能记住b0=1命题2S其中,j2为不超过j2的最大整数,b例12求S8(解法1由(2.31)得S解法2由(2.32)得S令n=0,b令n=1,16令n=2,81解此代数方程组得b所以S-命题3当a(n)=f(n),而f(nS其中,d(n)=nR(n),R(n)是待定的j次多项式;C是随意常数.将d(n)代入(2.26),比较系数可彻低例13求S(n)=k=1n解因a(n)=n3+3n2d将d(n)d令n=0,d令n=1,d令n=-1,d令n=-2,d解此代数方程组得d所以d代入初始条件S得C所以S命题4当a(n)=f(n),而f(n)=g(nS其中,d(n)=R(n)γn,R(n)是待定的j次多项式.C是随意常数.将d(n)代人例14求S(n解因为g(n)=n2d将d(n)代d得d所以S代入初始条件S(0)=0得C=-8S命题5当a(nf其中,A(n),B(n)是多项式,一个的次数为j,S其中,d(n)=[R(n)cos⁡θn+Q(n)sin⁡θn]γn,R(n),Q(n)都是待定的j例15求S(解因A(n)=1是0次多项式,B(所以设d代入(2.26)得2收拾得(2得2即S代入初始条件S(0)=0,得C=-S命题6当a(n)=f(n),而f(n)=f1(n)+f2(S其中,d(n)=d1(n)+d2(n)+d3(n);d1(n)例16已知数列为:7,77,777,⋯,77⋯7,⋯.求和.解因为a(nf所以设d并将其代入(2.26)得d收拾得9比较系数得9所以S代入初始条件S(0)=0,得C=-S第3章二阶线性方程二阶线性方程最常见,我们用一章的篇幅来研究.因为对m阶线性方程,第4章及第5章给出了较严密的理论推导,所以本章的定理都不证实.3.1二阶常系数线性方程定义1形如x的方程称为二阶常系数线性方程.其中p,q为实数,且q≠0;f(n)为定义在N上的函数,{xx称为二阶常系数齐次线性方程.当{f(n)}为非零数列时,(3.1)称为相应于(3.2)的非齐次方程;(3.2)代数方程x称为(3.1)、(3.2)的特征方程.特征方程的根称为特征根.定理1设特征方程(3.3)的根为λ1,λ2.(1)当初λ1x(2)当初λ1x(3)当初λ1=α+βi,实数形式的通解为x其中,γ,θ为复数λ1γ例1求方程x(n解因特征方程为x所以特征根为λ所以方程通解为x例2求方程x(n解因特征方程为x所以特征根为λ所以方程的通解为x例3求方程x(n+2)=tx(n+1)-14x解法1因特征方程为x所以特征根为λ所以方程的通解为x代入初始条件x得c所以方程满意初始条件的特解为x解法2因特征根为一对共轭复数,λ1的模和辐角分离γ所以方程的通解为x代入初始条件x得c所以分程满意初始条件的特解为x把x(n)看成t的函数,则x(n)是一列t的多项式,x有趣的是,一个实系数移项式是用复数式来表达或用三角函数式表达的.切比雪夫多项式有许多有趣的性质,在数学分析中有许多应用.如它的最高次项的系数恒为1;且在最高次项的系数为1的所有n次多项式中,在闭区间[-1,1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式.下面我们证实上述性质.命题1切比雪夫多项式是关于t的n次多项式;它的最高次项的系数恒为1.证实用数学归纳法来证,当初n=1,n=2,己知x(1)=t,x(2)=t2-12.命题成立x假设x(k-1)是关于t的k-1次多项式,且最高次项的系数为1;x(k-2)是关于t的k-2次多项式,所以tx(k-1)-1由归纳原理,命题成立.证毕.因x(n)是关于t的多项式,我们把它记成x我们把所有最高次项系数为1的n次多项式的全体记为Bn,那么对随意n个实数aP都是Bn中的多项式,记为P设g(t)是定义在闭区间[-1,1]M称M为g(t)在[-1,1]M因此也称M是函数g(t)在0在闭区间设p(t)是Bn中任一多项式,p(t)与MMp是随p(t)不同而变化的一个正数,即对于不同的pt,它与0的偏差是不同的.下面证实与0命题2在最高次项系数为1的所有n次多项式中,在闭区间[-1,1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式.证实我们先研究一下,在[-1,1]上.x(n,t)与0θ那么cos⁡取tk=cos⁡-1=这时ak=arccos⁡x因而∣另一方面,对于[-1,1]中所有t,都有|所以M下面我们用反证法证实原命题.假设存在Q(t)∈Bn,且它与0max因为Q而x记h(t)=x(n,由(3.7)知xn,t0,xn,t1,⋯,xn,tk,⋯,xn,tn中任何相邻两项都是异号的.因而ht0,ht1,⋯,htk,⋯,hh因x(n,t),Q(t)都是n次多项式,最高次项的系数枂同且同为1,所以h(t)是n-1次多项式或比n-1次更低次的多项式.代数基本定理n-1次代数方程不可能有n个根,从这个命题赶紧得到下面推论:对于随意P(tmax例如,当初n=4,对于随意4个实数a,max要直接证实这个结果不是容易的.例4“兔子问题”.求方程(1.1)的通解与满意初始条件x(1)=1,x解因方程(1.1)的特征方程为x所以特征根为λ所以通解为x代入初始条件得c所以特解为x它又称为比内公式,这是以最初证实它的数学家比内命名的,它又是一个异常耐人寻味的等式:一个整数数列却是由无理数来表达!菲波那契数列有许多有趣性质.如:x(n)x(n+1)这个分数下面研究非齐次方程(3.1)的解.定理2设a(n)是相应的齐次方程(3.2)的通解;d(n)是x由定理2求(3.1)的通解问题就转化成求相应的齐次方程(3.2)的通解与(3.1)的一个特解.注重d(n)虽是特解,但不是定理3(3.8)中的d(n(1)当初λ1≠d(2)当初λ1=d其中λ1,λ2是特征根注重:当λ1,λ2是一对共轭复数时,仍用(3.9),例5求方程x(n解因特征方程为x所以特征根为λ由(3.9)有d因23n-2n可以与相应的齐次方d所以非齐次方程通解为x以上求和运算比较复杂,我们希翼找到更简易的决定d(n)的主意.对于f(n)定理4设f(n)是2.1节定义2定义的三类简易函数(1)当f(n)是A类简易函数,1是d其中R(n)是待定的(2)当f(n)是B类简易函数,γ是d其中R(n)是待定的(3)当f(n)是C类简易函数,λ=γcos⁡θd其中R(n),Q(n分离将d(n)㐷入(3.1),通过比较等式两边的系数可以决定这些待定注重:定理4中所讲的k,γ,λ均由2.1节定义2规定;当1,γ或λ不是特征根时例6用定理4的主意解例5.解因特征根为λ又因f(ng所以g(n)=nγ=2是1重特征根，取δ=1d将d((收拾得4比较等式两边的系数得4所以d所以非齐次方程通解为x与例5的解法比较，结果是一样的.但计算较例5简易，而且d(n)也比例5的d(n)容易，例5的d(n)有一部分可以与a(例7求方程x(n解因特征方程为x所以特征根为λ又因f(n)=4是0次多项式，而1是1重根，取d代人方程得(收拾得3所以d即d所以通解为x例8求方程x(n解特征方程x2+4xx又因为f(γλ不是特征根.取δ=0，因A(n)=0,B(n)=1，均为0次多项式d将d(R所以非齐次方程的通解为x附注：当f(n)为Cf(n)=γnA当f时，将f(n)f将这样求得的d(n)当f时，将f(n)f将这样求得的d(n)例9用复数法求例8中的通解.解因λ=2i，且2i不是特征根.f(n)=(2i)nR比较系数得R所以d取d(d所以通解为x3.2二阶变系数线性方程定义2形如x的方程称为二阶变系数方程.其中p(n),q(n),f(n)是定义在N上的函数，{p(nx称为二阶变系数齐次线性方程.当{f(n)}定理5对于方程(3,15)，若能找到定义在N上的实函数λ(λ则(3.15)的通解为x当初{λ(nx例10求方程x(n解由(3.16)有λ得λ代人(3.17)得x例11求方程x(n解由(3.16)有λ得λ代人(3.18)得x下面推荐的Z型方程总可化成常系数线性方程来求解.定义3形如x的方程称为Z型方程.其中λ(n)是定义在N上的已知函数，且{λ(n)}是无零数列，p称为齐次Z型方程.否则称为非齐次Z型方程.方程Z称为(3.19)，(3.20)的陪同方程.定理6设Z(n)是陪同方程(3.21)x例12求方程x(n解因8所以λ方程为Z型方程.陪同方程为Z它的特征方程为Z它的特征根为Z陪同方程的通解为Z所以原方程的通解为x收拾得x其中P2(n-1)n对于普通的二阶齐次方程(3.15)或(3.2)，用第5章的矩阵记法，有如下定理成立.定理7对于方程(3.2)，(3.15).设A则有x因为矩阵乘法无交换律，我们规定k例13求方程(1.1)满意初始条件x(1)=1,x解因方程(1.1)为x因为p(k)=1,q(k)=1，所以x因为1所以有x因A的特征方程为|故A的特征值为λ而对应于λ1,λ1,令T则A即A所以x即x这样计算绕了一个弯，固然要棘手些，但矩阵形式的结果对有些问题的证实是很容易的.例如1680年卡西尼发现了下面关于菲波那契数列间的重要关系式x我们可以用(3.26)，(3.25)巧妙地证实(3.27).由(3.25)与(3.26)得x由(3.26)得x所以x(3.28)将(3.28)两边取行列式即得(3.27).例14求方程x(n解因为A所以由(3.24)得x收拾得x所以x下面研究非齐次方程(3.14)的解法对于方程(3.14)定理2仍成立.即：若a(n)是相应的齐次方程(3.15)的通解，d(n)是方程x所以若己知a(n)，求(3.14)通解的问题就转化为求(3.14)的一个特解d定义4形如x的方程称为方程(3.14)，(3.15)的参数方程，k为参数.参数方程的通解记为a(n,a的特解，称为参数方程的完美特解，记为b(定理8设b(n,k),k∈Nd例15求方程x(n解因方程的参数方程为x模仿例14得到参数方程的通解为a代人初始条件(3.31)得参数方程的完美特解为b由(3.32)得方程的一个特解为d所以方程的通解可由例14得x本章定理3是本章定理8的特例与在常系数条件下的详细化，至此二阶线性方程求解的问题已彻底解决.第4章m阶线性方程本章对随意固定的m，详细研究了m阶线性方程解的性质、结构以及解法.所有的定理都已严密地被证实.所用知识主要是代数知识，这些知识附录II中已列出.除个别情形外，不另证实.对于变系数方程有些性质留到下章研究.4.1m阶线性方程解的性质与结构定义1对随意固定的m，形如x的方程，称为m阶线性方程，其中f(n),p1(n),p2(n),⋯，pm(n)是定义在x称为m阶线性齐次方程.当{f(n)}是非零数列时，(4.1)式称为m阶非齐次线性方程，并把方程(4.2)定理1m阶线性方程(4.1)至少要有m个定解条件才干有决定解.m个初始条件(1.9)唯一决定了方程的一个特解证实不失普通性，设定解条件为(1.9).因x所以必须x(1),x(2),⋯,x(m)已知才干决定x(m+1).反之若x(1),x(2),⋯,x定理2(叠加原理)若a1(n),aa也是方程(4.2)的解，其中c1,c2,⋯,c证实将a(n)代人方程(4.2)验证即得若a(n)由(4.3)表述，且k=m，即a(n)含有m个随意常数.问在什么条件下，a定义2对于定义在N上的k个函数ai(n)(1⩽ic则称a1(n),a2(n),⋯,ak(W称为a1(n),定理3若a1(n①{W(n②{W(n证实：①须要性：显然.再证充足性：已知W(1)=0.考虑关于cc因(4.6)的系数行列式为W(1)=0，所以(4.6)有非零解存在，仍记为c1a由叠加原理，a(n)是(4.2)的解.a由定理1,a(n)≡0.a即c因c1,c2,⋯,cm不全为零，所以(4,9)的系数行列式W(②须要性：显然.再证充足性.已知W(1)≠0.用反证法.假设∃k∈N有W(c因其系数行列式W(k)=0，所以(4.10)有非零解存在，仍记为c1,c2,⋯,cm.构造a因p1(nx在(4.12)中令n=k-1，并将(4.11)代人(4.12)得a(k-1)=0.在(4.12)中令n=k-2，并将a将(4.13)改写成(4.6).因c1,c2,⋯,cm不全为零，所以(4.6)的系数行列式W(1)=0，与已知矛盾，所以不存在那样的推论1方程(4.2)的m个解a1(n),a2定理4若a1(n),证实由已知及定义2，存在一组不全为零的常数c1,c2c考虑关于c1,c2,⋯,cm的代数方程组(4.9).因c1,c2,⋯,cm不全为零，所以定理4的逆命题普通不成立.事实上，容易给出这样的函数组，由它们构成的W行列式恒为零，然而它们却是线性无关的.例如函数a显然Wa1(c则当初1⩽n<k，推出c1=0，当初n⩾k，推出c2=0.所以a1定理5方程(4.2)的m个解a1(n),证实须要性直接由定理4推得.再证充足性.构造(4.7)中的a(n)，因W(n)≡0，仿定理3的证实得a(由定理3我们得到定理5的如下推论：推论2方程(4.2)的m个解a1(n),a推论3方程(4.2)的m个解a1(n定理6m阶齐次线性方程(4.2)一定存在m个线性无关的解证实由定理1，方程(4.2)满意下列m组初始条件1的m个解一定存在，设为a又因W(1)=|E|m×m=1.由推论定理7(通解结构定理)若a1(n),a2(a且通解(4.15)包括了方程(4.2)的所有解.证实由定理2，(4.15)定义的a(n)是方程(4.2)的解.现验证m个随意常数c1,c2,⋯,cm∂又由推论2,{W∂即(1.8)成立.所以a(n再证它包括了方程(4.2)的所有解.由定理1，只需证实任给一初始条件(1.9)，能决定(4.15)中的常数c1,c2,⋯,cm，使(4.15)满意(1，9).现令(4.15)c因(4.16)的系数行列式为W(1)，由推论2,W(1)≠0，所以(4.16)有唯一解，设为a满意(1.9).证毕.由此，我们知道，m阶齐次线性方程(4.2)的所有解构成一个m维线性空间.我们把(4.2)的一组m个线性无关解称为方程(4.2)的一个基本解组，基本解组有无穷多组.由线性代数知识知道不同的基本解组是等价的.它们可以通过满秩的线性变换互相线性表出.定理8设d(n)是(4.1)式的一个特解，a(nx证实将x(n)代人(4.1)，验证得x(n)是(4.1)的解.又因a(n)含有m个自立的定理9设f若dix的一个特解，则d是方程(4.1)的一个特解.证实将d(n)代人(4.1)式验证即得若求(4.2)的通解问题已解决，求(4.1)的通解问题就转化成求(4.1)的一个特解的问题.下一节我们先解决当p1(n)，p4.2m阶常系数线性方程设齐次线性方程(4.2)式中所有系数都是常数.定义3形如x(的方程称为m阶齐次常系数线性方程.其中p1,p因方程(4.22)是方程(4.2)的特例,所以(4.2)所具有的性质(4.22)也具有.但(4.22)还有更好的性质.它的通解可以被异常方便地求出.定义4代数方程xm称为(4.22)的特征方程.特征方程(4.23)的根称为特征根.因为p1≠0,所以特征根必不为零.由代数基本定理可知特征根共有m个.这m个根中复根为成对浮上的共轭根.设这m个根中互不相同的根共有h个(1⩽h⩽m).可以是实根,也可以是复根.设为:δ1重根λ1,δ定理10当λq是δq重特征根时(1⩽q⩽h),则λqn-1,(n证实由下面引理1,令(4.25)中的i=(n(4.24)正巧表示:(n-1)jλqn-10⩽j⩽δq-1,1⩽q⩽h是方程(4.22)的解.因δ1+δW因λq≠0(1⩽q⩽h),且引理1设λ是代数方程(4.23)的δ重根,则∀i(m(m+i证实由数学分析知代数方程的δ重根λ必是该代数方程两边求导所得代数方程的δ-1重根.将(4.23)两边乘上xm则λ仍是(4.27)的δ重根.将(4.27)两边求导后再乘x,这种运算举行j次.由数学归纳法易得(m由前面分析易知当0⩽j⩽δ-1,λ是代数方程(4.28)的根.将λ代人(4.28)则得到(4.25)与(4.26).证毕.实系数代数方程的复根总是成对浮上的共轭根.这样,若λ是δ重特征复根时,则λ也是δ重特征复根.于是,定理10所决定的基本解组中,复数解也是成对浮上的共轭复数解.由定理7,方程(4.22)的通解是定理10所决定的m个解的线性组合.为使通解是定义在天然数集推论4当λq是δλ是方程(4.22)的δq个解,当λq=αq+βγ则γq是方程(4.22)的2δq个解,这样的解共例1求数列1,2,3,2,1,2,3,2,1,⋯解设数列的通项公式为x(n)x此即为数列方程.该方程为齐次常系数线性方程,它的特征方程为x所以特征根为x由定理10、定理7,所以通解为a(其中c1,cx得c所以x若按推论4与定理7x(代人初始条件x得c所以x两种主意求得的特解形式虽不一样,但是实质上是相同的,因为1例2已知数列{a(x且a(1)=3,a(2)=4,解因特征方程为x特征根为3重根1.所以方程的通解为a代人初始条件a比较等式两边的系数得c所以满意初始条件的特解为a例3A,E为正八边形的相对顶点,一只青蛙从A点开始跳跃,倘若青蛙在任一个不是E的顶点,那么它可以跳向两个相邻顶点中的任一点,当它跳到E点时就停在那里.设e(n)e其中x=2+2,原注:一个n步的路是指顶点的一个序列p0,(i)p0(ii)对每一个i,0⩽i⩽(iii)对每一个i,0⩽i⩽证实如图2,设正八边形为ABCDEFGH,从A出发经过n步到达A,B,C,D,E的路(意义见原注,只需把E分离改为A,B,C,D)的个数分离记为a(n),be图2因为青蛙跳到E点后就停止不动了,所以d根据上述五个关系式得e由原注,青蛙从某个顶点一步只能到达相邻的顶点,所以从A点出发到达E点至少要跳4次.所以e(1)=0,e(2)=0,e(3)=0.而跳4次到达E点有ABCDE与由上所述,e(n)x其特征方程为x其特征根为x所以方程的通解为x代人初始条件得c所以e由e(n)的表达式,当n为奇数时,e(ne命题成立.证毕.此题若用母函数法求解更简便,关于母函数的普通概念及其基本性质,请参阅书末的附录I.例4用母函数法解例3.解由例3,数列{e(e(n+4)设数列{ef则1由e(nf由母函数定义,形式幂级数中xn-1e证毕.例5求方程x(满意初始条件:x(1)=0,解特征方程为x特征方程的特征根为x所以通解为x代人初始条件得c所以满意初始条件的特解为x若按推论4,由(4.29)方程的通解为x代人初始条件得c所以满意初始条件的特解为x两个结果形式上虽不同,实际上是相等的.下面研究非齐次常系数线性方程的解.定义5形如x的方程称为m阶常系数非齐次线性方程.其中p1,p2,⋯,由定理8解(4.31)的问题,转化成求(4.31)的一个特解d(n)的问题.对于f(n定理11(1)当f(n)是Ad(其中V(n)(2)当f(n)是B类简易函数,γd(其中V(n)(3)当f(n)是C类简易函数,λd(n)=其中U(n),将d(n)其中k,γ,θ,λ都由2.1节定义2规定;当证实因A类、B类、C类简易函数都可归为B类简易函数,所以只要证实当f(n)=g(n)γn(g(n)取引理1的(4.25),(4.26)中的i=0,miγmmiγm

x(

设f(令d(n)=其中bi是已知复常数,u将(4.39)代人(4.37)的左边得(4.37)的左边=(由(4.35)添上为0的项)=(交换求和次序)=∑将(4.38)代人(4.37)的右边得(4.37)的右边=∑比较左右两边niα=ik当i从0变到k时(4.40)是u0,u其系数矩阵由(4.36)为上三角形矩阵,矩阵主对角线上的元素为ci+δ由(4.36)得到(4.41)全不为零.所以ui例6某次运动会开了k天(k>1),发了m个奖牌.第一天发出1个,再加上余下的m-1个奖牌的17;第二天发出2个,再加上余下的奖牌的17;如此继续下去,最后第k天,恰好发出余下的k个奖牌.问这次运动会共开了几天?共发了多少个奖牌?(第九届国际数学奥林匹克比赛试题,1967年.)解设运动会开了n所以x即x定解条件为x(因f(n)=-67n,是1次多项式,为Ad代人方程得d收拾得6比较等式两边多项式的系数得6解此代数方程组得d所以方程的通解为x代人定解条件x(c所以满意定解条件的特解为x因当初n=0,xm因当初k>1,|k-6|<6k-1,而且所以k=6,例7求方程x满意条件x(1)=0,解由例5特征根为x因f(n)=g(n)d将d((收拾得8比较等式两边多项式的系数得u由例5,所以方程的通解为x代人初始条件得c所以方程满意初始条件的特解为x例8求方程x(n+3)=4x解由例5特征根为x因为f所以r=因为λ是1重特征根,取δ=1;因A(nd将d(n)(4比较cos⁡U即d所以由例5可知通解为x代人初始条件,得c所以满意初始条件的特解为x=例9求方程x满意初始条件x(1)=0,解：设f由本章定理9可知方程的一个特解为d其中由例7:d1(x代人初始条件得c所以满意初始条件的特解为x定理12设b(n)b(1)=0,的特解.则相应的非齐次方程(4.31)的一个特解为d(n)=证实因b(n)b(i+将(4.43)代人方程(4.31)的简记式(4.37)的左边得d=(由(4.42)添上为0的项)=(

==所以d(n)满意例10求方程x的通解.解由例2相应的齐次方程的通解为a代人初始条件a得满意上述初始条件的特解为b所以由(4.44)得d所以方程的通解为x4.3普通m阶线性方程我们知道,方程(4.2)的求解问题由4.1节归结为寻求方程的m个线性无关的特解,但如何求这些特解呢?这需要用到第5章的知识.我们先推荐降阶法与Z型方程.降阶法倘若知道方程(4.2)的一个是无零数列的特解,则利用变换,可将方程降低一阶;或更普通地,若知道方程(4.2)的k个线性无关的特解,则可通过一系列同类型的变换,使方程降低k阶,并且新得到的m-定理13设e(n)y(n)=将(4.45)代人(4.2)所得关于y(y=y((4.46)它是m-若方程(4.16)的通解为ynx(n)=证实将(4.45)代人(4.2)得y因为e(n)是方程(4.2)的解,所以上式最后一项为0.即(4.46)成立.它显然是关于y(n)若yn,c1,c2,⋯,cm-1x因(4.48)为一阶非齐线性方程,由(2.13)得(4.47).证毕.因为(4.46)仍是齐线性的方程,若对(4.46)再次使用定理13的主意,则可将(4.46)化成一个m-2阶的齐次线性方程.由此可知,利用方程(4.2)的k个线性无关解当中的一个ek(n),可以把方程(4.2)降低一阶,成为n-1阶齐次线性方程(4.46);而利用两个线性无关解ek-1(n),ek(n)则可以把方程(4.2)降低2阶,成为n-2阶齐次线性方程.依此类推,继续上面的做法,若利用了方程的k个线性无关解e1(例11已知方程x有两个线性无关的特解x求方程的通解.解因为惟独x1(n)y代入方程,由(4.46)得y=1+=n+=2又因为x2(y即y2(n)是无零数列Z代入方程y由(4.46)得Z方程Z(n+1)=1Z由(4.47)得y又由(4.47)得x因c1是随意常数,所以最后一个等式是将c124改写成下面推荐的Z型方程总可以化成常系数线性方程来求解.定义6形如x ∙λ∙λ(4.49)的方程称为Z型方程.其中λ(n)是定义在N上的已知函数,且{λ(n)}是无零数列,q1,q2,⋯,qmx∙λ ∙λ称为齐次Z型方程.否则称为非齐次Z型方程.方程Z称为(4.49),(4.50)的陪同方程.定理14设a(n)是陪同方程(4.51)的通解,x证实将x(n)=aa因为{λ(n)}是无零数列,上式两边同除a因为a(n)是方程(4.51)的解即x(n)是(4.50)的解,又因a(n)是通解,a(n)含有m个自立随意常数,所以x(n)=a(n)∏k=1n-1 例12求方程x(n+3)=解此方程为Z型方程,其中λ所以它的陪同方程为Z陪同方程的特征方程为Z其特征根为Z所以陪同方程的通解为a所以由(4.52)得方程的通解为x对于普通的m阶齐次线性方程(4.2),用第5章的矩阵记法,有如下定理成立.定理15对于方程(4.2),设A则有=因为矩阵乘法普通无交换律,我们约定k定理15在第5章中将会给出证实.例13求方程x的通解.解设A由(4.54)得x收拾得x所以方程通解为x其中c1,c2,下面研究普通的m阶非齐次方程(4.1)的解法,由本章定理8,若已知相应的齐次方程(4.2)的通解a(n),求(4.1)通解的问题就转化为求(4.1)的一个特解d(n)的问题.我们来求d(n).将定义7k∈Nx(4.55)的方程称为方程(4.1),(4.2)的参数方程.参数方程的通解记为a(n,a(4.56)的特解,称为参数方程的完美特解,记为b(定理16设b(n,k)(k∈N)d证实将(4.1)简记为x将(4.55)简记为x因b(n,k)是(4.55)的解,所以b将(4.57)代入(4.58)的左边得d左边等于右边,即d(n)是(4.1)的一个特解例14求方程x的通解.解它的参数方程为x仿例13得参数方程的通解为a它的完美特解为b由(4.57)可得方程的一个特解d所以由例13可得方程的通解为x注重第3章中定理都可找到在本章中的相应定理,其中第3章中有些定理是将本章中定理详细化,例如第3章中定理3,定理5分离是本章定理12、定理13的详细化,读者可自己推导.至此m阶线性方程求解的问题至少在理论上已彻底解决.第5章线性方程组本章研究线性方程组的理论.在实践中,稍为复杂些的运动过程的数学模型,会导出多于一个数列方程的方程组.通过某些简化的假设,在相当广泛的问题里,这种方程组可以化为一阶线性数列方程组.数列的线性方程组是很值得重视的一部分内容,但过去不被人重视.为了研究这些线性方程组,我们引进向量和矩阵的记号,并广泛利用线性代数的结果.无数关于线性方程组的理论惟独借助于线性代数知识才可以作出适当和充足的解释.作为本章所得到的每一个结果的异常情形,可以得到第4章已研究过的m阶线性方程的一个相应结果.第4章中遗留的一些问题也惟独在本章才干彻底解决.5.1记号与基本概念我们考察形如x的一阶线性m元数列方程组,其中aij(n)(i,j=1,2,⋯,m)与fi(n)(i=1,2,⋯,m)均是定义在N上的已知函数.xi(n)(我仍引进下面记号:AA(n)为m×m矩阵,它的元素是m2F这里F(n),X(n),C是m×1矩阵,或者是m维列向量,简称向量,其中fi(n),xi(n)(i=1,2,⋯,m)是定义在注重,矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立.这样一来(5.1)可以写成下面的形式:X定义1设A(n)是定义在N上的m×m矩阵,F(n)是定义在NX的方程称为一阶m元线性方程组,简称线性方程组.其中{X(n)}是待求向量数列.若X称为一阶齐次m元线性方程组,简称齐线性方程组.当F(n)时,(5.4)称为一阶非齐次m元线性方程组,简称非齐线性方程组.并且把方程(5.5)称为相应于方程定义2若∀n∈N,A(n)是满秩矩阵,定义3若将U(n)代入方程组(5.4)后,能使它成为恒等式,别称U(n)是方程组(5.4)的解向量,简称解.含有m个独立的U称为通解.所谓含m个自立常数,是指行列式∂为了决定方程组(5.4)的一个特定的解,我们通常给出这个解所必须满意的条件.这就是所谓定解条件.常见的定解条件是初始条件.即如下条件:X其中R是m维常向量.AT表示A的转置满意(5.8)的解向量称为特解.其他不含随意常数的解也称为特解.因为方程组(5.5)是(5.4)的特例,所以上述定义对于方程组(5.5)也适应.例1甲乙两袋内各装一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放人另一袋中,这样举行了若干次,以p1(n),p2(n),p3(n)分离记在第n次交换后,甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率解设An=第n次交换后甲袋中有2个白球},Bn={第n次交换后甲袋中有一个白球,一个黑球},cn={第np由全概率公式有P因一次只交换一个球.当甲袋中全是白球或全是黑球时,交换后结果必然是甲袋中一个白球一个黑球,所以P而当甲袋中是一个白球一个黑球时,经过一次交换有14的概率为全白或全黑,有12的概率仍保持一个白球一个黑球P将(5.9),(5.11),(5.12)代入(5.10)得p令A则P(n)X即为齐次方程组.因det⁡A(n)=0(其中det⁡A(n)表示矩阵A(n)的行列式例2验证向量U(nX的特解.解显然UU因此U(n)是方程因det⁡0110=-15.2线性方程组的普通理论我们先研究非退化的方程组(5.4),(5,5),对于退化的方程组留到以后研究.下面定理凡需要用到非退化性我们都明确指出.定理1初值问题:X必有唯一决定的解.证实令(5.14)中的n=1,并代入X(1)=R,由矩阵乘法、加法的性质知,可求出唯一的X(2),这样逐步递推可求出X(定理2(叠加原理)若U(n),V(n)是(5.5)的两个解,则它们的线性组合C1U(n)+C2V证实将C1U(n)+C2V(n)代入(5.5)验证即得.证毕.定理2说明(5.5)的全体解的集合是一个线性空间.天然要问:此空间的维数是多少?为此,我们引进向量函数定义4定义在N上的向量函数U1(n),U2(n),⋯,UkC恒成立;否则,称为线性无关的.例如,∀k∈N,下面是线性无关的.而向量函数cos是线性相关的.定义5设有k个定义在集N上的k维向量函数:U这个k向量函数构成的行列式W称为这些向量的W行列式.在不引起误解的情况下也简记为W(n),{定理3若U1(n),U2(n),⋯,Um(1)Wm(n)(2)Wm(n)证实:(1)的须要性显然.再证(1)的充足性.因已知Wm(1)=0.考虑关于c1,c因其系数行列式Wm(1)=0,所以(5.17)有非零解存在,们记为c1U由定理2,U(n)是(5.5)的解.由(5.17),U(1)=0c因c1,c2,⋯,cm不全为零,所以(5.19)的系数行列式Wm(n)=0(2)的须要性显然.再证(2)的充足性.已知Wk(1)≠0,假设∃k∈N有Wmc因其系数行列式Wm(k)=0,所以(5.20)有非零解存在,仍记为c1,c2,⋯,cm,现构造(5.18).由定理2,(5.18)定义的U(n)是(5.5)的解.由(5.20),U(k)=0;因∀n∈N,A(n)是满秩矩阵.U由此一步一步推下去.最后推出U(1)=0,由U(n)c因c1,c2,⋯,cm不全为零=0,与已知矛盾.所以这样的k不存在,即Wn(n)由定理3可知非退化方程(5.5)的解,U1(n),U2(n),⋯,Um(n)的W行列式W(定理4若U1(n),U证实由已知及定义4,存在一组不全为零的常数c1,cc考虑关于c1,c2,⋯,cm的代数方程组(5.19).因c1,c2,⋯,cm不全为零,普通定理4的逆命题不成立,但我们有下面的定理与推论.定理5非退化方程组X的m个解向量U1(n证实须要性直接由定理4推出,再证充足性.对随意一组非零常数c1,U因W(n)≡0,仿定理3的证实得U(n)≡0.由定理3对于定理5有如下推论:推论1非退化方程(5.5)的m个解向量U1(n),U2(n),⋯推论2非退化方程(5.5)的m个解向量U1(n),U定理6非退化方程(5.5)一定存在m个线性无关的解向量.证实由定理1方程(5.5)分离满意下列m组初始条件:1X(1)=(1,0,⋯,0)T,2X设U1(n),U2(n),⋯,Um(n),因U1定理7若U1(n),U2(n),⋯,UmU其中c1,c2,⋯,cm是证实由定理2(5.22)定义的U(n)是(5.5)的解向量,现验证m个随意常数c1,c2,⋯,cm互相自立∂由推论1{W(n)}是无零数列,所以∂ui再证它包括了方程(5.5)的所有解向量.由定理1只需要证实任给一初始条件(5.8),X能决定(5.18)中的常数c1,c2,⋯,cm,使得(5.22)满意(5.8).现令c因(5.23)的系数行列式为W(1),由推论1,W(1)≠0,(5.23)有唯一解U满意(5.5).证毕.推论3非退化方程(5.5)的线性无关解向量的个数等于m.我们称(5.5)的m个线性无关解U1(n),U2(n),⋯,Um(n)为(5.5)一个基本解组.由定理6、定理7知非退化的方程现在,我们将本节已讲述过的主要定理写成矩阵形式,这种不同的表述方式今后实用.若一个m×m矩阵的每一列都是(5.5)的解向量,我们称这个矩阵为(5.5)的解矩阵.它的列是线性无关的解矩阵,称为(5.5)的基解矩阵,我们用Φ(n)表示,由(5.5)的m个线性无关的解U1(n定理8若方程(5.5)是非退化的,则方程(5.5)一定存在一个基解矩阵Φ(U这里C是随意的m维常向量.且通解包括了方程(5.5)的所有解.从上面的研究中,我们可以看到,为了寻求(5.5)的任一解,需要寻求一个基解矩阵.这样天然会问:若找到了(5.5)的一个解矩阵,能否以某种容易的主意验证这个解矩阵为基解矩阵呢?定理5及其推论回答了这个问题,它可以表述为下面的形式:定理9(5.5)的一个解矩阵Φ(n)是基解矩阵的充要条件是{det⁡要注重,行列式恒等于零的函数矩阵的列向量函数末必是线性相关的.例如,矩阵1的行列式恒为零.但它的列向量函数是线性无关的.由定理9知这个矩阵不可能是非退化的任一个齐线性方程组的解矩阵.推论4若Φ(n)是(5.5)的一个基解矩阵,C是非神奇m×m常数矩阵,那么,证实令Φ(n)=U1(n),U2(n),⋯,Um(n),这时,按照矩阵的乘法,Φ(n)C的列是Φ(n)的列的线性组合.因为Φ(n)的列是解,所以由叠加原理Φ(n)C的列也是解.因而推论5若Φ(n),ψ(n)是方程(5.10)的两个基解矩阵,那么,必然存在一个非神奇m×m证实令ψj(n)是ψ(n)ψ这里Cj是适当选取的常向量.我们构造一个m×m常数矩阵C,它的列由向量Cj(ψ因为det⁡ψ(n)=det⁡Φ(n)⋅det⁡C,又因为{det⁡ψ(n)}是无零数列,{det⁡下面研究非齐线性方程组(5.4)的性质,以及(5.4)解的结构.我们容易验证(5.4)有两个容易性质.性质1若V(n)是非齐线性方程(5.4)的解,U(n)是相应的(5.5)的解,性质2若V1(n),V2(n)是非齐线性方程下面定理10给出(5.4)的通解的结构.定理10设(5.4)是非退化方程,设D(n)是(5.4)的一个特解,Φ(n)是相应的V这里C是随意常向量.证实由性质2,V(n)-D(nV这里C是常向量.由通解定义V(n)是通解定理10告诉我们,当方程非退化时,为了寻求(5.4)的通解,只要知道(5.4)的一个特解与相应的齐次方程(5.5)的一个基解矩阵,现在,我们进一步指出,在已知(5.5)的基解矩阵Φ(n)的情况下,有一个寻求(5.4)的特解D(n)的容易从本节定理8知(5.5)的通解为V(n)=Φ(n)C不可能是(5.4)的解.我们将V的解.这里C(n假设(5.4)存在形如(5.26)的解,将(5.26)代人(5.4)得Φ(因Φ(n)是(5.5)Φ由此上式变形为Φ(因方程非退化,{det⁡Φ(n)}是无零数列,所以∀nC将n换成k得C对k从1到n-1C将C(1)改写成C,并将(5.28)代人(5.26)得V所以D下面我们求Φ(n).由定理8基解矩阵必然存在,但基解矩阵有无穷多个,我们只要随意求出一个就行了,=A(Φ(所以A是一个基解矩阵.因为矩阵乘法无交换律,为了方便我们规定k所以∏k=1n-1 AΦ将(5.32)代人(5.24),(5.29)得UV规定∀k∈j且这时C=定理11方程(5.4)的通解为(5.34),方程(5.5)的通解为(5.33).证实直接将(5.34)代人(5.4),(5.33)代人(5.5)验证即得,证毕.注重,虽说推导时用到了非退化这个条件,但是实际上,对于退化方程定理11仍成立.其中缘故,我们在下节对常系数的情形举行了解释.对于普通情形可以类推,但讲述起来繁杂,就略去不讲了.例3已知A(n)=2n02,解由(5.33),先求∏kk=所以由(5.33)可得通解为X代人初始条件X得X=即x例4已知,A(nX满意初始条件X(1)=(1,2)解由(5.34)先求jj再求jj=k==所以由(5.34)与例3,可得方程的通解为X代人初始条件X(1)=(1,2)T,因CX==关于线性方程组的问题虽说已彻底解决,但由例3、例4可看出公式(5.33),(5.34)不一定好计算.对于普通情形只能这样计算,但当A(n)=A为常数矩阵时,能找到较简易的计算主意.5.3常系数线性方程组定义6若∀n∈N,A(n)=AXX方程(5.36)称为一阶m无常系数线性方程组,方程(5.37)称为一阶m元常系数齐次线性方程组,分离简称为常系数线性方程组与常系数齐线性方程组,偶尔为了强调也称(5.36)为常系数非齐线性方程组,例如,例1、例2都是常系数方程组.定理12方程(5.37)的通解为U方程(5.36)的通解为V规定A对于(5.36),(5.37)我们试图找到计算基解矩阵Φ(n)的简便主意,但Φ(n)不一定是基解矩阵AU是方程(5.37)的一个解,其中λ≠0是待定常数,ξ=ξ1,ξ2,⋯,λ因λ≠0,λE这是关于ξ的m个分量的一个齐次线性代数方程组.由线性代数知识知,这个方程组具有非零解的充要条件是λ满意代数方程组det⁡(λE-A定义7设A是一个m×m常数矩阵,使得关于ξ的线性代数方程组(5.42)具有非零解的常数称为A的一个特征值,(5.42)的对于任一特征值λ的非零解ξ称为A的对应于特征值λ的特征向量.p称为A的特征多项式.m次代数方程p称为A的特征方程,也称为(5.36),(5.37)的特征方程.特征方程的根正巧是特征值,所以特征值也称为特征根.当λ是特征值,ξ是特征向量时,(5.41)是方程(5.37)的解.因m次代数方程有m个根,所以A有m个特征根.固然不一定m个根都互不相同,特征根可以是重根,也可以是单根.例5试求矩阵A的特征值和对应的特征向量.解A的特征多项式为det⁡(所以特征方程为λ解之得λ设对应于特征值λ1=3+5i的特征向量为ξ=ξ1λ即5i解之得ξα是随意常数且α≠0类似的,可求得对于λ2ηβ是随意常数且β≠0例6试求矩阵A的特征值和对应的特征向量.解特征多项式为det⁡(所以特征方程为λ因此λ=3是A的二重特征值,为了寻求对应于λ=3的特征向量(3即ξ因此向量ξα为随意常数,且α≠0是对应于特征值λ=3在例5中,特征向量ξ,η是线性无关的det⁡(因而向量ξ,η构成二维欧几里得空间的基底.然而,在例6中A的特征向量只构成一个一维子空间.有一点需注重,即:一个给定的矩阵A对应于各个特征值的特征向量的集合是否构成一个基底.按照线性代数中的定理—任何k个不同特征值所对应的k个特征向量是线性无关的,所以,倘若m×m矩阵A具有m个不同的特征值,那么对应的m注重:一个m×m矩阵最多有m个线性无关的特征向量,固然,在任何情况下,最低限度有一个特征向量,首先,让我们研究当A具有m个线性无关的特征向量时(异常当A具有m个不同的特征值时）基解矩阵Φ(n)定理13若矩阵A具有m个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,⋯,ξm,它们对应的特征值分离ΦA其中C=证实=1\*GB3①∀k∈{1,2,⋯,m},Uk(因λk是A的特征值,ξk是对应于λk的A的特征向量,所以(5.42)λ两边同乘λkλ即λ所以Uk(n)=λk=2\*GB3②因det⁡Φ(1)=det⁡又ξ1,ξdet⁡即det⁡Φ(1)≠0.由定理9,Φ(=3\*GB3③因Φ(n)与An-1都是同一方程的基解矩阵,由推论5,必然存在一个非神奇m×mA令n=1,E所以C即C证毕.例7设A试求方程X(n解：特征方程为det⁡(=(所以特征值为λ1=-1,λ2=-1,λ3=5,其中λ(得到它的基础解系为ξ即两个线性无关向量.把λ=5(得到它的基础解系为ξ所以Φ(即Φ(所以通解为U即通解为u当A是神奇矩阵时,设A的秩为k,则A必有特征值0,且0是m-k重特征值,当A有m个线性无关的特征向量时,由线性代数知A与一个对角形矩阵B相似,即存在过渡矩阵T使B=其中λi(1⩽i⩽kX则方程(5.37)变为Y即yy⋯⋯yy⋯⋯y此为一组等比数列,所以y1(Y因B将(5.48)代人(5.47)得Y由(5.46)式得X所以当A是神奇矩阵,即方程(5.37)是退化方程时,公式(5.38)成立,对于(5.39)可作同样的解释,所以当A是神奇矩阵,A的秩为k时,只要A有m个线性无关的特征向量,我们仍可用定理13来求Φ(n)与An-1.因为det⁡(λE-A)是λ的m次多项式,所以A有m个特征值.因A的秩为k,所以A有k个非零特征值λ对应的特征向量分离为ξ且这m个特征向量线性无关.由定理13有A例8试求例1中的P(解：因例1中A显然A是神奇矩阵,方程X(n+1)=AX(P为了计算Φ(n),按定理13中的主意,λ推出λ所以A的特征值为λ把λ=1(得ξ⇒令ξ3=1ξ把λ=-12-令η3=1η将λ=0(得-令ζ3=1ζ所以Φ(即p代人初始条件p得c所以满意初始条件的特解为p对于一阶常系数线性方程组,还可用母函数法来求解.母函数的相关知识参见附录I.例9用母函数法来求例1中的P(解:由例1知方程组为p设它们的母函数分离为f将方程组三个方程两边同乘xnp将上面三个等式两边从1到∞求和得f因为p所以得f(因g所以p因f又因为当n=0时,1所以f所以p因为p所以p此与例8结果是一致的.当A惟独k(k<m)个线性无关的特征向量时,定理13失效.但由附录II知道这种矩阵A相似于一个若当型矩阵J,即存在非神奇A其中Jt(1⩽tJλt是A的特征值,1⩽附录II中已有关于若当型矩阵的推荐,这里就不多推荐关于若当型矩阵的理论了,只讲述定理,而不证实.定理14对任何m×m矩阵A,方程(5.36),(5.37)的基Φ(其中T是非神奇的过渡矩阵.即T满意A例10已知A=2X的通解.解A的特征方程为λ即(所以特征根为λ将λ=3(得ξ令ξ2=1,得ξ1=1.所以ξ=(1,1)T.这时A的线性无关的特求方程组(3的解,得η令η2=0,得ηη过渡矩阵T若当型矩阵为J令J则J由(5.50)得Φ(即Φ(所以通解为U即u例11求方程X(n+1)=A解因A的特征方程为λ得(所以特征根为λ将λ=1(得2令ξ3=1,ξ2=0,得ξ1=3.令所以得ξ求方程组(的解,得2此为矛盾方程,无解.求方程组(的解,得2令η3=0,η2=0,η过渡矩阵T若当型矩阵为J其中若当块为J仿例10得J由(5.50)可得Φ(即Φ(所以通解为U即u例12求方程X(n+1)=A解A的特征方程为所以特征值为λ将λ=2(得3令ξ3=1,得ξξ与二重特征值2对应的线性无关的特征向量只一个.所以还应求方程组(2的解,得3将λ=0(得ζ过渡矩阵T若当型矩阵为J其中若当块J仿例10得J由(5.50)得Φ(所以通解为U即u注:当矩阵A是神奇矩阵时,A必有特征值0,这时与特征值0对应的特征向量不求出来,也不影响基解矩阵Φ(n)与通解U(n)的计算.例如,例8、例12中即使不求出特征向量5.4m对于高阶k元线性方程组.我们总可以化成一阶m元线性方程组来研究.例如方程组x其中pi(n),qi(n)(i=1,2,3,4);f1(z则方程组(5.52)可化成一阶四元方程组z令A(5.54)写成矩阵形式为Z异常地,对m阶线性方程(4.1)有x则(4.1)可化成一阶m元方程组x若记A则方程组(5.56)写成矩阵形式为X若给定初始条件(1.9)则化成X反过来,若给定(5.57)和(5.59),则一阶方程组(5.58)可化成m阶线性方程(4.1),且满意初始条件(1.9).即:它们之间在上述变换下是一一对应的,所以m阶线性方程(4.1)的所有性质,可化为方程组(5.58)的某些性质,反过来也一样.所以,有了(5.57)和(5.59),则第5章所有关于一阶方程组的性质都可转化成第4章m阶线性方程组的性质,例如第4章定理1至定理7都是本章定理1至定理7的特例.连定义的W行列式也是如此.定义m阶常系数线性方程都是非退化的,因为(5.57)定义的矩阵A(ndet⁡因p1≠0det⁡对于普通的m阶线性方程,第4章规定p1(n)是无零数列.因det⁡A(n)=p1(n),所以第4章只定义了非退化的方程(4.1).利用本章的结果,当p1(n)仅是非零数列,而且p1(n)是有零数列时,方程组(5.58)是退化的定理15普通的m阶齐次线性方程(4.2)(不论是否退化)的通解为方程Z的通解U的第一个分量.其中A(n)由普通的m阶非齐次线性方程(4.1)(不论是否退化)的通解仍按第4章定理16求解.证实直接由(5.57)和定理11推出.注重在实际计算中只要算出U(n-m+1)就行了,因为由(5.55)中U例13求方程x(n+2)=(3n-7)解因为-2n2-8n是有零数列,方程为退化方程,按上述分析,由定理15可知它的通解为(5.60)的第一个分量因为A所以Φ(方程组X的通解为U若记Φ(则U由定理15,取上面向量的第一个分量作为方程的通解,则x其中x第6章非线性方程对于非线性方程,普通没有统一解法.本书只对几类比较特殊而常见的非线性方程给出统一解法.主意是通过适当的变换把非线性方程化成线性方程来求解.6.1线性分式方程定义1形如x的方程,称为一阶线性分式方程.其中p(n),q(n),γ(n),s(n)是定义在N上的函数.{γ(x称为简易线性分式方程,简称简易方程.定理1简易线性分式方程(6.2)必可化成一阶线性方程来求解.证实(1)当{p(n)}x已是线性方程.解为平庸解x(2)当{p(n)}i则方程(6.2)化成x此时只要对小于i+1的n求出x(y则y(6.6)是一阶线性方程,有统一解法求解.(3)当{p(n)}y则y(6.8)是一阶线性方程,有统一解法求解.证毕.求出方程(6.6),(6.8)的通解后,再分离通过变换(6.5),(6.7)变回成x(n)例1求方程x的通解.解因为{-(n+2)}是无零数列,由定理y得y此为一阶线性方程.由第2章(2.13)得y所以x其中c是随意常数.当一阶线性分式方程不是简易方程时,我们仍可将它化成线性方程来求解.定理2一阶线性方程(6.1)必可化成二阶线性方程来求解.证实因为{γ(n)}x将(6.9)代人方程(6.1)得y收拾得y(6.10)是二阶线性方程,有统一解法.证毕.例2求方程x的通解.解 因为γ(n)≡1,所以γx得y由3.2节得y所以x其中c=2c2当p(n),x称为常系数线性分式方程.当q=0,x称为简易常系数线性分式方程.(6.11),(6.12)分离是(6.1),(6.2)的特例,固然可按定理1、定理2的主意来求解.但我们对(6.11)有更好的解法.将(6.12)看成(6.11)的特例来解.分析我们希翼把(6.11)化成(6.12)的形式.将(6.11)两边同时减去某个常数λ.x只要pλ则(6.11)可化为(6.12)的形式.定义2关于λ的代数方程λ称为(6.11)的极限方程.(6.14)是二次代数方程.在复数范围内必有两个根,设为λ1,λ2.后面会研究到λ1,λ2分离是n→+∞与n→-∞时x(n)的两个极限.所以称定理3方程(6.11)的通解为(1)当初λx(2)当初λx证实(1)当初λ1≠λ2,令c1=0,由(6.15)得x(n)=λ1.令将(6.11)式两边同时减去λ1或λxx因为pqγs≠0,p因只考虑非平庸解,所以x将(6.17)除以(6.18)得x所以x即x其中c1=-c2⋅c,允许(2)当初λ1=λ2=λ,令c1=c2=0,将(6.11)两边同时减去λ得x因只考虑平庸解,所以x1所以1即x其中c证毕.例3设{a(n)}满意a(0)=2,a解 极限方程为λ极限方程的根为λ又p所以p由(6.15)得方程的通解为a代入初始条件a(0)=2,a例4设{x(n)}满意x解 极限方程为λ它的根为二重根λ=3.由(6.16)x代入初始条件x(1)=2与cx注重为了决定c1,c2也可以增强一个初始条件,如上题中x代入通解得c线性分式方程的解实际上在整数集Z上有定义.当初λ1≠λ2p或p当p时,由(6.15)有lim当初λ1=λ2lim其他分式方程解法举例.(1)形如x的方程可化为线性方程求解.其中q,s为常数,模仿定义2与定理3的证实λ为(6.23)的极限方程.设λ1,λ2(1)当初λ≠λx其中a为随意常数.(2)当初λ1=x其通解为x其中λ是(6.24)的重根,c是随意常数.证实 只证实λ1≠将(6.23)两边同时减去λ1或λxx(6.28)除以(6.29)得x两边取对数得ln⁡所以ln⁡即x其中a=ec为随意常数.将(6.32)收拾得例5已知数列{x(n)}满意x(1)=4,且满意方程解 极限方程为λ极限方程的根为λ由(6.25)得x代入初始条件x(1)=4得a=x例6已知数列{a(n)}满意a(1)=1,且满意方程解 极限方程为λ所以极限方程有二重根λ由(6.26)得a代入初始条件a(1)=1得C=-1a(2)形如x的方程可化为线性方程求解.其中a,b是常数,且至少一个非零.模仿定义2与定理3的证实λ为(6.33)的极限方程.设它的根为λ1,λ2,λ3x其中C是随意常数.证实 将(6.33)两边同时减去λ1或λ2xx(6.36)除以(6.37)得x上式两边取绝对值后,再取对数得ln⁡所以有ln⁡即x将±eC这个随意常数换成随意常数C,收拾例7已知数列{a(n)}满意a(1)=1,且满意方程解 极限方程为λ极限方程的根为λ由(6.34)得a代入初始条件a(1)=1得C=2,所以满意条件的a注重 以上主意可用来求许多分式方程的解.即先求极限方程的根,当不是线性分式方程时,这些可能根不止两个.极限方程的根中,有可能含有数列{x(n)}的两个极限:λ1=x(+∞),λ2=x(-∞).但我们普通不知道哪个根是极限值.我们可以去试:将方程两边同时减去某一个根λ,若方程右边分子能配成β(当试出了两个极限为λ1,λx其中α是非零常数,上式两边取绝对值后再取对数,则化成一阶线方程ln⁡我们把此主意称为极限值法.当试不出两个极限值时,这方程不能用极限值法求解.应另想主意.6.2其他非线性方程1.形如xxx等等只含乘、除、开方、乘方运算的方程,可以通过方程两边取绝对值后再取对数,将方程化成线性方程.例8设正数列{a(n)}满意:a(1)=1,a(2)=10,a解 因方程惟独乘方与乘法运算,且已知是正数列,所以将方程两边同时取对数得2lg⁡收拾得lg⁡即lg⁡a(x它的特征方程为x特征根为x因为1是一重根,f(n)=12d代入线性方程得(得d=1,即d(lg⁡代入初始条件a(1)=1,aC即lg⁡a(n)=例9设有一如下数列u(0),uu求证:[其中[x]表示不大于x的最大整数.(第18届国际奥林匹克数学比赛试题,1976证实 虽说可用数学归纳法来证,但我们这里是采取直接求出u(n)的表达式的u代入原方程得x即x上式当初x(n+1)=xx⇒⇒⇒=⋯=所以x即x而x(n+1)=x(ln⁡|所以特征方程为x特征根为x所以通解为ln⁡|即x(n)=a1(-1)a所以x因为x(n)为整数,且当初n⩾1,x([即[证毕.注重 形如u(n+1)=u(n)u2(n-1)-2-a,a为常数的方程,都可以令u(n)=x(n)+1x(n)来求解例10数列a(1),a(2),⋯a(n),⋯由下列形式定义:a证实 方程可变形为a上式一边为变量,一边为常数,我们把它化成两边都是变量的方程.因上式对随意大于3的n成立,对n+1也应成立,a又已有a所以有a上式收拾得a上式是两边为变量的等式,且两边形式相同.所以可推出a代入初始条件a(1)=1,a(2)=1,a(3)=3得C=4.(其中a所以a它是常系数二阶线性方程.将a(1)=1,a(2)=1代入上式.由数学归纳法易证:∀n注重 形如a其中k∈N,b,k为常数,附录I母函数母函数是处理数列问题的一种实用的工具,主要用于处理数列的常系数齐次线性方程的问题,偶尔也能处理一些数列的非线性常系数方程的问题,正如微分方程用拉普拉斯变换一样.数列方程也常用母函数变换,只可惜母函数不能用于变系数数列方程.定义1设{a(n)}f称f(x)为数列{a(n)}的母函数.倘若存在γ>0,使(7.1)在(-但γ未必是它的收敛半径,定义中加上“形式”两字,是因为我们这儿并不研究它的收敛、发散等问题,而是把囫囵幂级数看作一个对象加以研究和使用.倘若涉及的问题要考虑级数的收敛性,我们再研究它的收敛区域,因为有限数列总是可看作无限数列的特例,所以定义1对有限数列也适用.形式幂级数的相等、和、差、积、商、开方等运算定义如下:定义2设fgh是三个形式幂级数.① f② f③ f④ 若⑤ 若例解 设n则∀n∈C于是n例2计算∑n解 设n则∀n∈C从这个例子知道,若数列{a(n)}的母函数为∑k例3已知f求g(解 设h按乘法定义g所以∀n∈b即bb若a(1)≠0,ccc这就是计算g(x)f(x例4计算11-γx解 设1=hba由(7.9)可得c得C故1取γ=11例5求方程(1.4)即y(n)=∑解设f(f=所以f看成f(f因f