专题16.2 二次根式的应用（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）-八年级数学下册

专题16.2二次根式的应用思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。规律题的一般解题方法步骤：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳（初中阶段往往举例3个）（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。典例分析典例分析【典例1】我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积（1）当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；（2）一个三角形的三边长依次为5、6，7，请求出三角形的面积；（3）若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．【思路点拨】（1）直接利用已知得出p的值，再利用三角形面积公式得出答案；（2）将S=pp−ap−b（3）根据公式计算出b+c=12，再表示成c=12−b，代入公式即可求出解．【解题过程】（1）解：∵a=3，b=5，c=6，则：p=a+b+c∴S====214（2）S=======1则三边长依次为5、6，7，代入S=1S=（3）∵p=a+b+c2，p=8，∴b+c=12，则c=12−b，∴S===4=4=42∴当b=6时，S有最大值，为S=82学霸必刷学霸必刷1．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）设S=1+1A．98 B．99 C．100 D．101【思路点拨】由1+1n2+1(n+1)2=1+1n【解题过程】解：∵1=n===1+∴S=1+112+12=1+=99+=100-1100∴不大于S的最大整数为99．故选B.2．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和A．98cm2 B．60cm2 C．【思路点拨】如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=32=42（cm），HG=18=32（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+【解题过程】解：如图．由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．∴BC=32=42（cm），HG=∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，∴BC=BM=MD=42cm，HM=HG=MF=32cm．∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF=BM•HM+MD•MF=42×32+42×32=48（cm2）．故选：C．3．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）在一个正方形ABCD的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形A2B2C2D面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为

【思路点拨】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．【解题过程】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，∵空白部分的面积为102∴一个空白长方形面积=52∵较大的正方形A2∴正方形A2B2C2∴空白部分的长=25设空白部分宽为52∴小正方形A1BC∴小正方形A1BC故答案为：10．4．（2023下·浙江·八年级期中）读取表格中的信息，解决下列问题n=1abcn=2abcn=3abc…………已知an+bn【思路点拨】先分别求出a1+b1+【解题过程】解：由题意得：a1a2a3归纳类推得：an+b当an则3n−1×5×(7解得n=7，故答案为：7．5．（2022上·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）若x−0.5不是整数，令x为最接近x的整数，如2.4=2，2.6=3．则1×2+【思路点拨】由题意，观察二次根式中的被开发数的特征：nn+1=n+【解题过程】解：依据题意，通过观察发现如下规律，nn+1∴nn+1∴1×2=1+2+…+22=253．故答案为：253．6．（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）满足等式xy+xy−2022x【思路点拨】先将等式变为(x+y+2022)(xy【解题过程】解：等式xy(x∵x+∴xy−即xy=∴xy=2022=1×2022=2×1011=3×674=6×337，则正整数对x,y可以是：1,2022，2022,1，2,1011，1011,2，3,674，674,3，6,337，337,6，∴满足已知等式的正整数对(x,y)共有8个．故答案为：8．7．（2022上·全国·八年级期中）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用a1、a2、a3…an表示一个数列，可简记为{an【思路点拨】根据数列{an}的关系式，计算a1、a2【解题过程】解：∵==1a2a3a4……a3a4归纳可得：an+2假设当n⩽k−1时成立，有aa==∴a5=a则a=1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143故答案为：143．8．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1【思路点拨】本题考查的是二次根式的应用．（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和23掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．【解题过程】（1）解：∵两个正方形的面积分别为12dm2和∴这两个正方形的边长分别为12dm和27由图可知，矩形的长为：12+27dm则原矩形的面积为：12+答：原矩形的面积为45dm2（2）最多能裁出3快，理由如下：根据（1），可知：这两个正方形的边长分别为12dm和27即此时阴影部分的宽为：27−长为：12=2∵94<3<4，∴32<3∴1<3÷1.5<4则1×3=3，∴阴影部分可以最多裁剪出3块长1.5dm宽19．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板

（1）截出的正方形木板A的边长为________dm；（2）求图1中阴影部分的面积；（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm【思路点拨】（1）根据正方形的面积，即可求出边长；（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；（3）求出两个面积为25dm【解题过程】（1）解：∵正方形木板A的面积为18dm∴正方形木板A的边长为18=3故答案为：32（2）解：∵正方形木板B的面积为32dm∴正方形木板B的边长为32=4∴阴影部分宽为42∴阴影部分面积为32即题图1中阴影部分的面积为6dm（3）解：不能截出；理由：25=5，2×5=10∴两个正方形木板放在一起的宽为5dm，长为10由（2）可得长方形木板的长为72dm，宽为∵42>5，但∴不能截出．10．（2022下·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答：12=1×22×2=22，（1）7的有理化因式是______；5+2（2）将下列式子进行分母有理化：①15=______；

②（3）类比（2）中②的计算结果，计算：12【思路点拨】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到7、5+2（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．【解题过程】（1）解：（1）7的有理化因式是7，5+2的有理化因式是5故答案为：7，5−2（2）①15②12故答案为：55，2（3）1==201311．（2022·八年级单元测试）定义fx=13x2+2x+1+3【思路点拨】将fx进行分母有理化，分子分母同时乘以3x+1−3x−1可得fx=13x2+2x+1【解题过程】解：f==3∴f1=322，f∴f112．（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）观察下列等式及其验证过程：2+233+38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4+4（2）针对上述等式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【思路点拨】（1）根据材料提示的运算方法即可求解；（2）根据材料提示，二次函数的性质化简即可求解；本题主要考查二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算等知识是解题的关键．【解题过程】（1）解：根据材料提示，4+4故答案为：44（2）解：根据题意得，n+n∵n为大于1的整数，∴n3当n=2时，2+2当n=5时，5+5当n=k（k为大于1的整数），k+k故上述等式反映的规律为n+nn2−1=n13．（2022上·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知557=767，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是767的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]=x−a，[x]+a=x，其中[x]是一个整数，0≤a<1，a称为实数x的小数部分，记作Zx关于取整运算有部分性质如下：①x−1<[x]⩽x②若n为整数，则[x+n]=[x]+n请根据以上材料，解决问题：（1）[10]=___________；若m=[−π]，n={Z（2）记M=12+1（3）解方程：[3x+4【思路点拨】（1）根据定义直接求解即可；（2）先进行分母有理化，再求和即可；（3）根据题意可得3x+49−1<6x−73≤3x+49，求出x【解题过程】（1）解：∵3<[10∴[10∵−3<−π<−4，∴m=[−π]=−4，n={Z∴m故答案为：3，4π；（2）M===2022∵44<2022∴43<2022∴[M]=43；（3）∵x−1<[x]≤x，∴3x+49∴3x+49解得1615∴−3∵6x−73∴6x−7=0或6x−7=3解得x=76或14．（2023上·四川达州·八年级校考期末）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：1x2+1y2+例如：122+132+152＝（1）求12（2）设S＝1+112+122（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当1x2+1y2+1z【思路点拨】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2）将原式进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为|1x+3|+|1x−3|，再根据|1x【解题过程】解：（1）122+142+162＝（2）S＝1+112+1＝112+11＝|1+1﹣12|+|1+12﹣13|+…+|1+1＝1+1﹣12+1+12﹣13+1+13﹣14＝2019+20192020故整数部分为2019；（3）由题意得，1x2+1y2+＝|1x+1y+1z|+|1x﹣＝|1x+y+z又y+z＝3yz，原式＝|1x+3|+|因为|1x+3|+|所以﹣3≤1x≤3，而x因此，x≥1答：x的取值范围为x≥115．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）小明学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=m+n22（a，b，m，（1）当a，b，m，n均为整数时，若a+b3=m+n32，用含m，n的式子表示a，b（2）若a+43=m+232（3）根据以上规律，则6+42【思路点拨】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据完全平方公式运算法则得到a+43=m2+12+4（3）设6+42=m+n22，且m,n为正整数，根据完全平方公式运算法则得到6+4【解题过程】（1）解：∵a+b∴a+b∴a=m2+3故答案为：m2+3n（2）解：∵a+4∴a+4∴a=m2+12∴m=1，a=13；（3）解：设6+42=m+n∴6+42∴6=m2+2∴解得m=2，n=1或m=−2，n=−1，∴6+42=2+16．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）【阅读材料】小慧同学数学写作片段乘法公式“大家族”学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)a(a−b)a(x+m)(x+n)=x(a+b+c)2……【解题运用】（1）在实数范围内因式分解：x2（2）设x,y满足等式x2+2xy+y（3）若正数a,b满足等式1a−1【思路点拨】（1）根据公式(x+m)(x+n)=x（2）利用公式法将多项式x2+2xy+y2−12x−12y+36（3）利用公式(a+b)a2−ab+b2=a3+【解题过程】解：（1）x2故答案为：(x−2（2）x==(x+y−6)则(x+y−6)2∴x+y=6∴2x+2y=2×6=12．（3）b====b∵1a∴(b−a)(a+b)=ab，∴(b−a)(a+b)ab∴原式=117．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算27的近似值：∵25<27<36，∴5<设27=5+t，则272=∴27≈25+10t，解得t≈210，∴（1）请你用小亮的方法估计52的近似值（精确到0.01）；（2）试把小亮的方法推广到一般情况：已知a，b，m是非负整数，如果a<m<a+1，且m=a2+b，用关于a（3）请你用（2）中得到的公式估计85（精确到0.01）．【思路点拨】（1）结合题述方法估计52的近似值即可；（2）结合小亮的方法既可用关于a，b的代数式近似地表示m的公式；（3）结合（2）所得公式即可估计85．【解题过程】（1）解：∵49<52<64，∴7<52设52=7+t，则522=∵0<t∴52≈49+14t，解得：t≈3∴52≈7+（2）解：∵a<m∴m=a+t，则m≈∵m=a∴a2∴b=2at，∴t=b∴m=a+（3）解：∵9<85由（2）知：a=9，m=85，所以85=92+b∴85=9+18．（2024上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）阅读理解：由a−b2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a>0例如：已知x>0，求式子x+4解：令a=x，b=4x，则由a+b≥2ab当且仅当x=4x时，即正数请根据上面材料回答下列问题：（1）当x>0，式子x+9x的最小值为（2）如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

（3）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是6和12，求四边形ABCD面积的最小值．

【思路点拨】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．（1）根据材料提供的信息解答即可．（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y0<y≤20米，则xy=50，y=50x，所以所用篱笆的长为50（3）设点B到AC的距离为ℎ1ℎ1>0，点D到OC的距离为ℎ2ℎ2>0，又△AOB、△COD的面积分别是6和12，则【解题过程】（1）解：令a=x，b=9x，则由a+b≥2ab当且仅当x=9x时，即正数（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y0<y≤20则xy=50，∴y=50∴所用篱笆的长为50x50∵当且仅当50x=2x时，∴x=5或x=−5（舍去）．∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．（3）解：设点B到AC的距离为ℎ1ℎ1>0，点D到又∵△AOB、△COD的面积分别是6和12，∴OA=12ℎ1∴AC=OA+OC=12∴S四边形ABCD=∴当且仅当6ℎ2ℎ1=∴四边形ABCD面积的最小值为18+6219．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，M=a+b2称为a，N=ab称为a，bP=a2+b2小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：（1）若a=−2，b=−3，则M=−52；N=________；（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为M2，P②借助图形可知，当a，b都是正数时，M,N,P的大小关系是：___________（把M,N,P从小到大排列，并用“<”或“≤”号连接）；③若a+b=5．则P的最小值为________．【思路点拨】（1）将a=−2，b=−3分别代入N,P求值即可得；（2）①分别求出M2，P2，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得N2≤M2≤P2，由此即可得出结论；③由M≤P，可知当M