人教版九年级数学上册《解一元二次方程（第7课时）》示范教学课件

解一元二次方程（第7课时）方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系．一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？问题思考从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0

(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0．

观察所得到的这个方程，你有什么发现？能得出什么结论？把方程化为x2＋px＋q＝0的形式后，得到方程：x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，可以发现，这个方程的二次项系数为＿＿＿，一次项系数p＝___________，常数项q＝_______．于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：x1＋x2＝_______，

x1x2＝________．1－(x1＋x2)x1x2－pq思考一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能分别计算出两个根的和与积吗？x1＝，x2＝．根据求根公式可知，x1＝，x2＝．由此可得：

x1＋x2＝＋

＝＝－．

x1x2＝·

＝＝．问题把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两边同除以a，能否得出前面的结论？方程两边同除以a，则二次项系数变为1，此时方程可化为x2＋px＋q＝0的形式，根据前面的探究，可以得到：一次项系数是两根和的相反数，常数项是两根之积，满足所得出的结论．总结方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，

x1x2＝．

这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．特别提醒1．在使用两根之和关系式时，不要漏写“－”；2．能用根与系数的关系的前提条件为b2－4ac≥0

；3．方程不是一般式的要先化成一般式．

例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2－6x－15＝0；

（2）3x2＋7x－9＝0；

（3）5x－1＝4x2．解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15．（2）

x1＋x2＝－，

x1x2＝＝－3．（3）方程化为4x2－5x＋1＝0．x1＋x2＝－＝，

x1x2＝

．

利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意（1）一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0)．（2）两根之和中的负号与方程中a，b的符号不要混淆．

例2关于x的方程3x2＋mx－4＝0有一个根是2，求另一个根及m的值．解：设方程的另一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得2x1＝－

，解得x1＝－

．x1＋2＝－

，得－

＋2＝－

，解得m＝－4．所以，方程的另一个根是－

，m的值是－4．还有其他解法吗？例2关于x的方程3x2＋mx－4＝0有一个根是2，求另一个根及m的值．解：把x＝2代入3x2＋mx－4＝0，得12＋2m－4＝0，解得m＝－4．设方程的另一个根为x1，则2＋x1＝－＝，解得x1＝－．所以方程的另一个根是－，m的值是－4．已知一元二次方程的一个根，求另一个根的方法（1）方法1(利用根与系数的关系)：当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根．（2）方法2(利用根的定义)：先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项，再解方程求另一个根．例3

设x1，x2是方程2x2＋5x＋1＝0的两个根，求下列各式的值：（1）(x1＋1)(x2＋1)；

（2）．解：由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－

，x1x2＝．（1）(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－1；（2）巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值（1）计算：计算出x1＋x2，x1x2的值；（2）变形：将所求的代数式变形为用x1＋x2和x1x2表示的式子；（3）代入：代入所求的代数式计算．例4

已知方程x2＋kx＋k＋2＝0的两个实数根是x1，x2，且，求k的值．解：由根与系数的关系得，x1＋x2＝－k，x1x2＝k＋2．又

，即(x1＋x2)2

－2x1x2＝4，

所以k2－2(k＋2)＝4．化简，得k2－2k－8＝0，解得k＝4或k＝－2．

因为Δ＝k2－4k－8，所以当k＝4时，Δ＜0；当k＝－2时，Δ＞0．所以

k＝－2．使用根与系数的关系的前提——Δ