2024年江西省景德镇市中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年江西省景德镇市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）实数﹣的倒数是（）A． B．3 C．﹣3 D．﹣2．（3分）有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣．下列各图所示的景德镇瓷器中（不考虑瓷器花纹等因素）（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（a﹣1）2＝a﹣2 C．（﹣2a4）4＝16a8 D．a5•a2＝a104．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点G，若∠1＝150°、∠2＝30°，那么∠3的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°5．（3分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（）A． B． C． D．6．（3分）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形（）A．+1 B．﹣1 C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）单项式﹣2x3y的系数是．8．（3分）3月5日，2024年春运落下帷幕，交通运输部数据显示，全社会跨区域人员流动量超84亿人次，将84亿用科学记数法表示应为．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，在点C右侧作CD∥x轴，交抛物线于点D，则抛物线的对称轴为．10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的两根分别是x1，x2，若，则m的值为．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝，∠DAB的平分线交CD于点E．以E为圆心．12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，将OB绕着点O向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜90°），得到OP，α的值为．三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）13．（3分）计算：﹣2cos60°．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，求∠ADE的度数．15．（6分）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步因此（x﹣2）2＝1．第四步由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步解得x1＝3，x2＝1．第六步（1）王明的解题过程从第步开始出现了错误；（2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0．16．（6分）如图，已知P是一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴的交点，将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数y＝（1）点P的坐标为；（2）求反比例函数的表达式．17．（6分）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙O经过A，B，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹；（1）在图1中，在圆上找一点D，使得BD＝AC；（2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧BP的中点．18．（6分）李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，将长安城中的浪漫具象化，激发出无数中华儿女满满的自豪感，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，某班有1名男生和3名女生报名参加．（1）若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛，则选取的恰好是男生的概率为；（2）若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地．现计划购买甲，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．（1）求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元？（2）该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳动工具数量的一半20．（8分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，点O，A，C在同一水平线上，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠DOC＝37°．（1）求BO的长；（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AD的中点，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）教体局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x＜8；B组：8≤x＜8.5；C组：8.5≤x＜9；D组：9≤x＜9.5；E组：x≥9.5．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在组；（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为°，并请你补全条形统计图（两处）；（3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？23．（9分）【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片ABCD和EBGF，其中AB＝6，将它们按如图1所示的方式放置，点E，BC边上时，点E，BC的中点．然后将矩形纸片EBGF绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α【观察发现】（1）如图2所示，当α＝90°时，小组成员发现AE与CG存在的数量关系为；位置关系为；【探索猜想】（2）如图3所示，当90°＜α＜180°时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展延伸】（3）在矩形EBGF的旋转过程中，AE交BC于点P，CG交AE于点O，CE，AG2+CE2是否为定值；如果是，请直接写出此定值，请你说明理由．六、（本大题1小题，共12分）24．（12分）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝﹣ax2+4ax+4a+1图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G．求叶片此处的宽度CC1；【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝﹣ax2+4ax+4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖），求幼苗叶片的长度PD．

2024年江西省景德镇市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）实数﹣的倒数是（）A． B．3 C．﹣3 D．﹣【解答】解：实数﹣的倒数是﹣2，故选：C．2．（3分）有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣．下列各图所示的景德镇瓷器中（不考虑瓷器花纹等因素）（）A． B． C． D．【解答】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（a﹣1）2＝a﹣2 C．（﹣2a4）4＝16a8 D．a5•a2＝a10【解答】解：A．a2+a2＝4a2，故本选项不合题意；B．（a﹣1）6＝a﹣2，故本选项符合题意；C．（﹣2a3）4＝16a16，故本选项不合题意；D．a5•a8＝a7，故本选项不合题意．故选：B．4．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点G，若∠1＝150°、∠2＝30°，那么∠3的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：∵∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝150°，∴∠OFB＝30°，∵∠GOF＝∠5＝30°，∴∠3＝∠GOF+∠OFG＝30°+30°＝60°．故选：D．5．（3分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（）A． B． C． D．【解答】解：由“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍，由“如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同，根据题意可列二元一次方程组：，故选：D．6．（3分）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形（）A．+1 B．﹣1 C． D．【解答】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，根据题意，得（a+b）2＝b（b+a+b），∵a+b＝1，∴b7+b﹣1＝0，解得b＝或（负值舍去），∴等腰三角形的底边长为3b＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）单项式﹣2x3y的系数是﹣2．【解答】解：单项式﹣2x3y的系数为﹣4．故答案为：﹣2．8．（3分）3月5日，2024年春运落下帷幕，交通运输部数据显示，全社会跨区域人员流动量超84亿人次，将84亿用科学记数法表示应为8.4×109．【解答】解：84亿＝8400000000＝8.4×102，故答案为：8.4×108．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，在点C右侧作CD∥x轴，交抛物线于点D，则抛物线的对称轴为直线x＝4．【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝ax2+bx+3，∴令x＝7，y＝3．∴C（0，5）．在点C右侧作CD∥x轴，交抛物线于点D，∴D（8，3）．∴64a+3b+3＝3．∴b＝﹣3a．∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣．故答案为：直线x＝4．10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的两根分别是x1，x2，若，则m的值为﹣2．【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝4的两根分别是x1，x2那么a＝6，b＝﹣m∴，∴∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝，∠DAB的平分线交CD于点E．以E为圆心﹣．【解答】解：∵DE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAE，∴∠AED＝∠DAE＝45°，∴DE＝AD＝，∴AE＝＝，CE＝CD﹣DE＝，在Rt△BCE中，BC＝，∴tan∠BEC＝＝，∴∠BEC＝60°，∴∠AEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴S阴影＝S扇形AEF﹣S△ABE＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，将OB绕着点O向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜90°），得到OP，α的值为70°或55°或40°．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠OAC＝∠ACO＝35°，∠COB＝70°，①如图，当AC＝AP时，在△AOC和△AOP中，，∴△AOC≌△AOP（SSS），∴∠AOC＝∠AOP＝110°，∴α＝∠POB＝70°．②如图，当PC＝PA时，同理可证△OPA≌△OPC（SSS），∴，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝55°．③如图中，当CA＝CP时，同理可证△COA≌△COB（SSS），∴∠COP＝∠AOC＝110°，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝40°，故答案为：70°或55°或40°．三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）13．（3分）计算：﹣2cos60°．【解答】解：﹣2cos60°＝5﹣2+1﹣3×＝6﹣2+1﹣2＝1．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，求∠ADE的度数．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°，∴∠CAB＝40°．∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点E恰好在AB上，∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BED＝∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°．15．（6分）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步因此（x﹣2）2＝1．第四步由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步解得x1＝3，x2＝1．第六步（1）王明的解题过程从第二步开始出现了错误；（2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0．【解答】解：（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，故答案为：二；（2）2x7﹣8x+3＝2．移项，得：2x2﹣4x＝﹣3，二次项系数化为1，得：x8﹣4x＝﹣，配方，得：x2﹣4x+4＝﹣+5，因此（x﹣2）2＝，由此得：x﹣2＝或x﹣2＝﹣，解得：x2＝2+．16．（6分）如图，已知P是一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴的交点，将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数y＝（1）点P的坐标为（2，0）；（2）求反比例函数的表达式．【解答】解：（1）∵P是一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴的交点，∴P（2，6），故答案为：（2，0）．（2）∵将点P向下平移4个单位长度后所得的点Q，∴Q（2，﹣2），∵Q（2，﹣2）在反比例函数图象上，∴k＝﹣4．∴反比例函数解析式为y＝﹣．17．（6分）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙O经过A，B，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹；（1）在图1中，在圆上找一点D，使得BD＝AC；（2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧BP的中点．【解答】解：（1）连接BO并延长交圆于点D，点D即为所求；（2）找格点E连接BE交圆于点P，点P即为所求．18．（6分）李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，将长安城中的浪漫具象化，激发出无数中华儿女满满的自豪感，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，某班有1名男生和3名女生报名参加．（1）若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛，则选取的恰好是男生的概率为；（2）若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率．【解答】解：（1）∵某班有1名男生和3名女生报名参加，∴要从这6名学生中随机选取1名学生参加比赛，选取的恰好是男生的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：由图可知，共有12种等可能的结果、5名女生的结果有6种，∴选取的2名学生恰好是7名男生、1名女生的概率为：＝．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地．现计划购买甲，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．（1）求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元？（2）该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳动工具数量的一半【解答】解：（1）设甲型劳动工具的单价为x元，则乙型劳动工具的单价为（x+3）元．根据题意，得，解得x＝20．经检验，x＝20是原方程的解且符合题意，则x+6＝23，答：甲型劳动工具的单价为20元，乙型劳动工具的单价为23元；（2）设购买乙型劳动工具m个，则购买甲型劳动工具（90﹣m）个，设购买这批劳动工具的费用为w元．则w＝20（90﹣m）+23m＝3m+1800，∵3＞7，∴w随着m的增大而增大．根据题意，得，解得m≥30，∵m为整数，∴m的最小值为30，∴当m＝30时，w最小，答：购买这批劳动工具的最少费用为1890元．20．（8分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，点O，A，C在同一水平线上，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠DOC＝37°．（1）求BO的长；（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，∴BE＝AB•sin∠BAE＝3×sin53°≈3×＝，在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，∵sin∠BOE＝，∴OB＝＝＝4（m），答：OB＝4m；（2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，过点D′作D′G⊥OC于点G，在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝8+6＝10，∴DF＝OD•sin37°≈10×＝6（m），∴D′G＝D′H+HG＝3+3＝9（m），在Rt△D′OG中，OD′＝10m，∴sin∠D′OG＝＝，∴∠D′OG≈64°，∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°，即云梯OD大约旋转了27°．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AD的中点，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵点C是弧AD的中点，∴弧AC＝弧DC，∴∠ABC＝∠EBC．∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB．∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE．∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE．∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接AC，∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB，∴，∴，∴．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）教体局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x＜8；B组：8≤x＜8.5；C组：8.5≤x＜9；D组：9≤x＜9.5；E组：x≥9.5．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了100名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在C组；（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为144°，并请你补全条形统计图（两处）；（3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？【解答】解：（1）本次共调查了学生：20÷20%＝100（名），E组人数为：100×15%＝15（名），故A组人数为：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（名），∴这部分学生睡眠时间的中位数在C组，故答案为：100；C；（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为，补全条形统计图如下：故答案为：144；（3）7000×＝2450（人），答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有2450人．23．（9分）【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片ABCD和EBGF，其中AB＝6，将它们按如图1所示的方式放置，点E，BC边上时，点E，BC的中点．然后将矩形纸片EBGF绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α【观察发现】（1）如图2所示，当α＝90°时，小组成员发现AE与CG存在的数量关系为；位置关系为AE⊥CG；【探索猜想】（2）如图3所示，当90°＜α＜180°时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展延伸】（3）在矩形EBGF的旋转过程中，AE交BC于点P，CG交AE于点O，CE，AG2+CE2是否为定值；如果是，请直接写出此定值，请你说明理由．【解答】解：（1）如图2，延长AE交CG于点H．∵点E，G恰好为边AB，∴，，∵四边形ABCD和EBGF是矩形，α＝90°，∴∠ABE＝∠CBG＝90°，∵，∠ABE＝∠CBG，∴△ABE∽△CBG，∴，∠BAE＝∠BCG，∵∠AEB＝∠CEH，∴∠EHC＝∠ABE＝90°，∴AE⊥CG．故答案为：；AE⊥CG；（2）当90°＜α＜180°时，（1）中发现的结论仍然成立如图3，连接AC，∵四边形ABCD和EBGF是矩形，∴∠ABC＝∠EBG＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝∠EBG+∠CBE，即∠ABE＝∠CBG，∵，∠ABE＝∠CBG，∴△ABE∽△CBG，∴，∠BAE＝∠BCG，设BC与AE交于点P，AE与CG交于点O，∴∠ABP＝∠POC＝90°，∴AE⊥CG；∴当90°＜α＜180°时，AE与CG的数量关系是；（3）AG3+CE2