河北省邯郸市2024届高三下学期第四次调研检测数学试卷

河北省邯郸市2024届高三下学期第四次调研检测数学试卷1．已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x|y=A．(0,1] B．[0,4] C．2．已知复数z满足z2=−1，则A．1 B．3 C．3 D．53．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β⋅m⊂α，n⊂β.则“m⊥n”是"m⊥β”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设函数f(x)=x+1x+2的图像与x种相交于点P，则该曲线在点A．y=−x B．y=−x−1 C．y=0 D．y=x−15．由动点P向圆M:(x+2)2+(y+3)2A．(x+2)2C．(x−2)26．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A．12 B．18 C．20 D．607．已知O为坐标原点.F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0A．3 B．5 C．2 D．78．对任意两个非零的平面向量 a →和b→，定义：a→⊕b→=a→⋅b→|a→|2A．1 B．32 C．1或54 9．已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，A,B为f(x)的图像与xA．f(0)=B．直线x=136是C．f(x)的单调递减区间为(D．f(x)的单调递增区间为(−10．设拋物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，过点P(0,3)A．E的准线方程为y=−2B．p的值为2C．|AB|=4D．△BFC的面积与△AFC的面积之比为911．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，若函数fA．f(x)的图像关于点(1C．f'(102612．已知b>0，函数f(x)=a+4bx13．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=414．正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，设15．如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，设平面PAD与平面PBC相交于直线l.（1）证明：l//AD.（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=5，AB=2，求直线PC与平面PAD16．已知正项数列{an}的前n项和为S（1）求{a（2）若bn=4Snan17．假设某同学每次投篮命中的概率均为12（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.（2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投n（n∈N+，n≤33）个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投100−3n个.试问18．已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过M(2,0)，（1）求C的方程.（2）A，B是C上两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.19．已知函数f(x)=e（1）是否存在实数m，使得f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同？若存在，求出（2）已知x1,x2是f(x)的零点，①证明：m>e.②证明：1<x

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B,C10．【答案】B,D11．【答案】A,C,D12．【答案】-1；113．【答案】1014．【答案】0；115．【答案】（1）证明：因为四棱锥P−ABCD的底面是正方形，所以BC//又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD//平面PBC因为AD⊂平面PAD，平面PBC∩平面PAD=l，所以l//（2）解：因为PA=PB，取AB的中点O，连接PO，则PO⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，则PO⊥平面ABCD，所以以O坐标原点建立如图坐标系，如图所示：因为PA=PB=5,AB=2，ABCD则P(0,0,2)，A(1,AP=(−1,0,2)设平面PAD的法向量为n=(x则n⋅AP=−x+2z=0取x=2，y=0，z=1，即n=(2设直线PC与平面PAD所成角为θ，则sinθ=|所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为4516．【答案】（1）解：当n=1时，S2=S1+所以Sn+1=S则Sn=1+(n−1)×1=n，即当n⩾2时，an又a1=1满足an=2n−1，所以（2）解：bn所以Tn17．【答案】（1）解：依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率p=C（2）解：设该同学投篮的次数为X，则X的可能值为n，n+100−3n=100−2n，n∈N+，于是P(X=n)数学期望E(令f(n)=3n−100f(n+1)当n≤4时，103−3n−2n+2>0，f(n+1)>f即有f(1)所以当n=5时，该同学投篮次数的期望值最大.18．【答案】（1）解：由题设椭圆C的方程为mx2+ny2=1（因为椭圆过M(2,0)，所以4m=1m+34n=1，得到m=14，（2）解：由（1）知D(0,1)，易知直线DA不妨设kDA=k(k>0)，kDB=−1k由椭圆的对称性知，当k=1时，显然有|DA|=|DB|，满足题意，当k2≠1时，由y=kx+1x所以xA=−8k1+4k同理可得B(所以kAB设AB中点坐标为(x0,y0所以AB中垂线方程为y+15要使△ADB为AB为底边的等腰直角三角形，则直AB中垂线方程过点(0所以1+15k2令t=k2，则t2所以t有两根t1，t2，且t1+t故有2个不同的k2值，满足k所以由椭圆的对称性知，当k2综上所述，存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.19．【答案】（1）解：由题意得x∈(0,当m⩽0时，f'(x)⩾0,g'(x)⩾0，所以当m>0时，若f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同，则f(x)和g(x)有相同的极值点，即lnm=m.令ℎ(m)=lnm−m，

则ℎ'(m)=1m−1=1−mm，所以ℎ(m)综上，当m∈(−∞,0]时，f(x)和g(x)在（2）证明：①由题意，f(x)有两个零点，f'若m⩽0，则f'(x)⩾0，所以f(x)在若m>0，则当x∈(−∞,lnm)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(lnm,+∞)时，f'所以f(lnm)=m−mlnm<0，解得m>e，得证.②