2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．2．（2分）在平面直角坐标系内，点P（﹣5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（5，﹣2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（﹣5，﹣2）3．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（）A．50° B．40° C．30° D．20°4．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x2＝﹣1，x2＝15．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．80°6．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝27．（2分）某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A．300（1+x）＝363 B．300（1+x）2＝363 C．300（1+2x）＝363 D．363（1﹣x）2＝3008．（2分）如图，已知关于x的一元二次方程a（x﹣h）2﹣1＝0的两个根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则h的值可能是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标是．10．（2分）方程4x2＝1的根是．11．（2分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向上；②图象过原点，这个二次函数的解析式可以是．12．（2分）将抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线的解析式是．13．（2分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C．若OC＝3，则弦AB的长为．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是．16．（2分）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分；第23-26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．（5分）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣3m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取负整数时，求此时方程的根．20．（5分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：△ACE≌△BCD．21．（5分）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，2）和点（1，5），求此二次函数解析式．22．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；x…01234…y……（2）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．23．（6分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，请你计算AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和BC的长．25．（6分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据：x/米00.511.522.53y/米1.51.87521.8751.50.8750（1）根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式y＝ax2+x+c（a≠0）；（2）由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为B′，则OBOB′．（填“＞”，“＝”或“＜”）26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+b2﹣b（a≠0）．（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧，点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在抛物线上．若y1＞y3＞y2，求b的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；（2）在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：∠H＝90°．（3）在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中，是点A的“直角点”；（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．

2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2分）在平面直角坐标系内，点P（﹣5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（5，﹣2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（﹣5，﹣2）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【解答】解：由题意，得P（﹣5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（5，﹣2），故选：A．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．3．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（）A．50° B．40° C．30° D．20°【分析】根据圆的性质，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，则∠ACB＝90°，在△ACB中，运用内角和定理，结合∠ABC＝70°，可得∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝20°．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣90°﹣70°＝20°．故选：D．【点评】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，灵活运用该知识点是解题的关键．4．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x2＝﹣1，x2＝1【分析】根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤解出方程．【解答】解：x2﹣x＝0，因式分解，得x（x﹣1）＝0，于是，得x＝0，x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1，故选：A．【点评】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．5．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．80°【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得到（x﹣1）2＝2，从而可对各选项进行判断．【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．7．（2分）某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A．300（1+x）＝363 B．300（1+x）2＝363 C．300（1+2x）＝363 D．363（1﹣x）2＝300【分析】知道2004年的绿化面积经过两年变化到2006，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，300（1+x）2＝363．故选：B．【点评】本题考查的是个增长率问题，关键是知道增长前的面积经过两年变化增长后的面积可列出方程．8．（2分）如图，已知关于x的一元二次方程a（x﹣h）2﹣1＝0的两个根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则h的值可能是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由h和方程两根的关系，即可求解．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，﹣1≤x1≤0，2≤x2≤3，∴1≤x1+x2≤3，∵抛物线y＝a（x﹣h）2﹣1与x轴交点的横坐标是x1，x2，对称轴是直线x＝h，∴h＝（x1+x2），∴≤h≤，∴h的值是1，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的知识，关键是明白抛物线y＝a（x﹣h）2﹣1与x轴交点的横坐标是方程a（x﹣h）2﹣1＝0的两根．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y＝3（x﹣1）2+2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．10．（2分）方程4x2＝1的根是，．【分析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：4x2＝1，，，，．故答案为：，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解是解题的关键．11．（2分）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向上；②图象过原点，这个二次函数的解析式可以是y＝x2（答案不唯一）．【分析】根据题目中的条件和二次函数的性质，可以写出一个符合要求的函数解析式．【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，∵图象过原点，∴该函数过点（0，0），∴符合要求的二次函数解析式可以为y＝x2，故答案为：y＝x2（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，写出符合要求的函数解析式．12．（2分）将抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线的解析式是y＝3x2﹣2．【分析】直接根据函数图象平移的法则即可得出结论．【解答】解：将抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得到的抛物线的解析式是：y＝3x2﹣2，故答案为：y＝3x2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．13．（2分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C．若OC＝3，则弦AB的长为8．【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB＝2AC，进而可得出结论．【解答】解：连接OA．∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AB＝2AC．∵⊙O的直径为10，∴OA＝5．在Rt△OAC中，OA＝5，OC＝3，∴AC＝＝＝4，∴AB＝2AC＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理及推论、勾股定理，熟练的掌握垂径定理及推论、勾股定理是解题的关键．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），当﹣3＜x＜0时，y＞2，即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．故答案为：﹣3＜x＜0．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．16．（2分）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为36km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．【解答】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，∵15＞6+6，12＞6+5，∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，又∵第一天可选择“高强度”，∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+0+15+5+4＝36（km），方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+6+0+12+4＝34（km），综上，徒步的最远距离为36km．【点评】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分；第23-26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．18．（5分）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，∴2a2﹣7a﹣1＝0，∴2a2﹣7a＝1，∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣3m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取负整数时，求此时方程的根．【分析】（1）本题考查一元二次方程的根的判别式，当一元二次方程有两不相等的实数根时，Δ＞0，据此列不等式，即可求解，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键；（2）本题考查解一元二次方程，根据（1）中结论及当“m取负整数”确定m的值，再解方程即可，解题的关键是能够运用因式分解法解一元二次方程．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣3m）＝16+12m＞0，∴．（2）∵m取负整数，且，∴m＝﹣1，∴原方程化为x2+4x+3＝0，即（x+1）（x+3）＝0，∴x+1＝0或x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．20．（5分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：△ACE≌△BCD．【分析】由△ABC是等边三角形，可得AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转的性质可知，CD＝CE，∠DCE＝60°，则∠DCE＝∠ACB，∠BCD＝∠ACE，证明△ACE≌△BCD（SAS）即可．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转的性质可知，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠ACB，∴∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，EC＝DC，∴△ACE≌△BCD（SAS）．【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定．明确全等三角形的判定条件是解题的关键．21．（5分）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，2）和点（1，5），求此二次函数解析式．【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及方程组的解法，将点（0，2）和点（1，5）代入解析式中，求出b，c即可．【解答】解：将（0，2），（1，5）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴此二次函数解析式为y＝x2+2x+2．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标，解题的关键是灵活运用相关知识．22．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；x…01234…y…30﹣103…（2）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可；（2）根据函数图象写出y的取值范围即可．【解答】解：（1）列表：x…01234…y…30﹣103…描点、连线画出函数图象如图：；（2）0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．23．（6分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，请你计算AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．【分析】根据栅栏的总长度是6m，AB＝xm，则BC＝（6﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（6﹣2x）m，根据题意可得，x（6﹣2x）＝4，解得x1＝1，x2＝2（不合题意舍去）．答：AB的长为1m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和BC的长．【分析】（1）根据垂径定理得到＝，再根据圆周角定理证明结论；（2）根据垂径定理得到点E为BC的中点，再根据三角形中位线定理可得CG＝2OE＝6，然后根据圆周角定理得到∠BCG＝90°，再根据勾股定理，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：如图，∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴CG＝2OE＝2×3＝6．∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°．∵⊙O的半径为5，∴BG＝10，∴．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，勾股定理，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．25．（6分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据：x/米00.511.522.53y/米1.51.87521.8751.50.8750（1）根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式y＝ax2+x+c（a≠0）；（2）由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为B′，则OB＜OB′．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）分别求出点B（3，0），，即可求解．【解答】解：（1）水流喷出的最大高度为2米．由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），将上述两个点坐标代入y＝ax2+x+c（a≠0）中，得：，解得，∴函数关系式为；（2）对于，当y＝0时，，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B（3，0），即OB＝3，对于，当y＝0时，，解得：，∴点，即，∵，即OB＜OB′．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数的解析式的求法，顶点坐标的应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+b2﹣b（a≠0）．（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧，点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在抛物线上．若y1＞y3＞y2，求b的取值范围．【分析】（1）根据对称轴公式即可求得；（2）根据题意得出＜﹣＜，即可得到﹣2＜b＜0．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，∵b＝2a，∴x＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（2）当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，∴抛物线的对称轴为直线，∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，且y1＞y3＞y2，∴，∴﹣2＜b＜0．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据对称轴公式即可求得；（2）根据题意得出，即可得到﹣2＜b＜0．27．（7分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；（2）在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：∠H＝90°．（3）在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求画出图形，即可得出结论；（2）由旋转的性质可得AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，由“SAS”可证△AQD≌△APB，可得PB＝QD，∠AQD＝∠APB，由平角的性质和四边形内角和定理可得∠QHP＝90°，即可得出结论；（3）连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°，即可解决问题．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）如图1，延长BP，QD交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，∴∠QAD＝∠BAP，∴△AQD≌△APB（SAS），∴PB＝QD，∠AQD＝∠APB，∵∠APB+∠APH＝180°，∴∠AQD+∠APH＝180°，∵∠QAP+∠APH+∠AQD+∠H＝360°，∴∠H＝90°；（3）DP2+DQ2＝2AB2．证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠1＝∠2．∴△ADQ≌△ABP（SAS），∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，∴D