2024年山东省日照市金海岸中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年山东省日照市金海岸中学中考数学一模试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线2．（3分）据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（）A．82.6×107 B．8.26×108 C．0.826×109 D．8.26×1093．（3分）下列运算正确的是（）A．5a﹣4a＝1 B．（a﹣b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（﹣3a）2＝﹣9a2 D．（﹣2a）3（﹣a）2＝﹣8a54．（3分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x5．（3分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，y个人，根据题意（）A． B． C． D．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B． C．6 D．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，分别以点A，C为圆心AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程＝，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣139．（3分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，且点A，B，C，D，E在同一平面内（）A． B． C． D．40m10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n）（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）若使分式有意义，则x的取值范围．12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，以A为圆心，再以AD为直径作半圆，连接AC，则图中阴影部分的面积为．14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O在网格线的交点上．15．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别为反比例函数与，D在x轴上，BA，F，则阴影部分的面积为．16．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，F是AD上一动点，取AB中点E，若BD＝2，则△BEF周长的最小值是．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中x＝3．18．（8分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，7，7.5，7，7，10.5；②图1和图2是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．19．（8分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，乙种头盔30只，共花费2920元（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？20．（7分）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①），如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）21．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，证明你的结论．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．23．（11分）综合与实践．（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BD①∠BOC的度数是．②BD：CE＝．（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是；②AD：BE＝．（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，N为BE的中点．①说明△MND为等腰三角形．②求∠MND的度数．24．（12分）如图，抛物线与x轴分别交于A（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，2），连接AC（1）求A，B两点的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作x轴的垂线l，交线段BC于点E；（3）点P为抛物线上的一个动点，连接AP．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，请直接写出点P的坐标；若不存在

2024年山东省日照市金海岸中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．2．（3分）据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（）A．82.6×107 B．8.26×108 C．0.826×109 D．8.26×109【解答】解：数字826000000科学记数法可表示为8.26×108．故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．5a﹣4a＝1 B．（a﹣b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（﹣3a）2＝﹣9a2 D．（﹣2a）3（﹣a）2＝﹣8a5【解答】解：A、原式＝a；B、原式＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+8ab﹣b2，不符合题意；C、原式＝9a3，不符合题意；D、原式＝﹣8a3•a5＝﹣8a5，符合题意．故选：D．4．（3分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+6），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+3）＝x2+3x+8，故选：A．5．（3分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，y个人，根据题意（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意得：．故选：B．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B． C．6 D．【解答】解：连接BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，∴×7×PE+，∴PE+PF＝，故选：B．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，分别以点A，C为圆心AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝，∴AF＝5BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．8．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程＝，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x≤﹣2，∴＞﹣2，∴a＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y是负整数且y≠﹣1，∴是负整数且，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣6﹣5＝﹣13，故选：D．9．（3分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，且点A，B，C，D，E在同一平面内（）A． B． C． D．40m【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥BC，由题意得，BC＝30m，∠ADF＝30°，DF＝BG，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴，设DG＝xm，则CG＝，CD＝7xm，∴2x＝20，解得x＝10，∴DG＝BF＝10m，CG＝m）m，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得AF＝10+，∴AB＝AF+BF＝（20+）m．故选：A．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n）（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），∴b＝﹣2a，∵与x轴交于点A（﹣8，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣4a，∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），∵抛物线开口向下，∴不等式ax2++bx+c＜5的解集为x＜﹣1或x＞3，即不等式ax4+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，故①正确；∵3a2﹣b2＝2a2﹣（﹣2a）6＝5a2＞5，故②不正确；∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣7ax2﹣2ax+a＝2，即3x2+3x﹣1＝0，∴方程的根为x4＝，x7＝﹣1，故③正确；∵抛物线与y轴的交点在（0，5）和（0，∴2≤c≤8，∵顶点坐标为（1，n），∴n＝﹣4a，∵c＝﹣2a，∴n＝c，∴≤n≤4，∴3≤3n﹣2≤10；故④正确；故选：D．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）若使分式有意义，则x的取值范围x≥1且x≠2．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣8≠0，解得：x≥1且x≠6，故答案为：x≥1且x≠2．12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝53．【解答】解：由根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，∵α+2β＝3，∴α＝﹣1，β＝3，∴﹣m＝8×（﹣1）＝﹣3，∴m＝3，故答案为：3．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，以A为圆心，再以AD为直径作半圆，连接AC，则图中阴影部分的面积为2π﹣4．【解答】解：如图，设半圆与AC的交点为点E，连接OE，设以A为圆心，∴∠AED＝90°，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∴OE⊥AD，∴，故答案为：2π﹣4．14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O在网格线的交点上．【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别为反比例函数与，D在x轴上，BA，F，则阴影部分的面积为．【解答】解：设点a＞0，则，∴B的纵坐标为，∴，∴，∴B的横坐标为，∵AB∥CD，∴△BEF∽△DOF，∴，∴，∴，故答案为：．16．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，F是AD上一动点，取AB中点E，若BD＝2，则△BEF周长的最小值是．【解答】解：延长BD、AC交于点G、GF，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠BAD＝∠GAD，∠ADB＝∠ADG，在△BAD和△GAD中，，∴△BAD≌△GAD（ASA），∴BD＝DG，∴AD垂直平分BG，∴BF＝FG，∴BF+EF＝GF+EF≥GE，∵，∴，∵∠BAC＝60°，∴，∴AB＝4，∴，∴，∵E为AB中点，∴BE＝2，∴△BEF周长的最小值是，故答案为：．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中x＝3．【解答】解：（1）原式＝1+4﹣5+3﹣1＝4；（2）原式＝＝，将x＝3代入，原式＝．18．（8分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，7，7.5，7，7，10.5；②图1和图2是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，因此A档共有：12﹣4＝5人，8÷20%＝40人，则C档的人数有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），补全图形如下：（2）1200×＝480（人），答：估计全校B档的人数为480．（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，画树状图如下，因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是：＝．19．（8分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，乙种头盔30只，共花费2920元（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据题意，得，解得，答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据题意，得m≥，解得m≥，w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，∵4＞5，∴w随着m增大而增大，当m＝14时，w取得最小值，即购买14只甲种头盔时，总费用最小，答：购买14只甲种头盔时，总费用最小．20．（7分）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①），如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【解答】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM＝BH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan∠EAM＝，∴AM＝＝≈＝12米，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD﹣BH＝8米，∴CN＝2米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝，∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），即古槐的高度约为13米．21．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，证明你的结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴6∠1＝∠CAB．∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠6＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：过C作CH⊥BF于H，∵AB＝AC，⊙O的直径为4，∴AC＝8，∵CF＝6，∠ABF＝90°，∴BF＝＝＝5，∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，∴△CHF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴CH＝，∴HF＝＝＝，∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝，∴tan∠CBF＝＝＝．23．（11分）综合与实践．（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BD①∠BOC的度数是90°．②BD：CE＝1：1．（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是45°；②AD：BE＝1：．（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，N为BE的中点．①说明△MND为等腰三角形．②求∠MND的度数．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠OBC+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OBC+∠ACB＝90°，即：∠BCE+∠OBC＝90°，∴∠BOC＝90°．故∠BOC的度数是90°．②由①得△BAD≌△CAE，∴BD＝CE．故BD：CE＝1：1．（2）①∵AB＝AC，DE＝DC，∴，又∵∠BAC＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCB，．∴∠ACE+∠ECB＝∠DCA+∠ACE，∴∠ECB＝∠DCA．∴△ECB∽△DCA，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣