12.3 角的平分线的性质 人教版数学八年级上册课件

12.3角的平分线的性质1.掌握角平分线的做法和角平分线的性质;2.掌握角平分线在实际生活中的应用；学习目标3.提高综合运用全等知识解决问题的能力.1.角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OBCA12预习反馈

P

ABCD3.用尺规作已知角的平分线的理论依据是()A.SASB.AASC.SSSD.ASAC4.如图，MP⊥NP，MQ为△NMP的角平分线，MT＝MP，连结TQ，则下列结论中，不正确的是()A.TQ＝PQ．B.∠MQT＝∠MQPC.∠QTN＝90o

D.∠NQT＝∠MQTD

如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,

和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道AB理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?E证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）

∴△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）

∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）问题导入观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．

３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）课堂探究AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一写）

Ｏ已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC,即：OC平分∠AOB1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）思考已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DPEAOBC2.角平分线的性质课堂探究证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOC

OP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）DPEAOBC2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2

PD⊥OA

，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。文字语言：图形语言定理2.角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：

（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；

（3）垂直距离。定理的作用：

证明线段相等。1.∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD

CD（×）3.角平分线的性质运用判断只有角平分线，没有垂直,不能用角平分线性质定理练一练2.∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BD

CD（×）只有垂直，没有角平分线,不能用角平分线性质定理3.∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（√）不必再证全等证明一个几何命题的一般步骤：1.明确命题中的已知和求证。2.根据题意画出图形，并用数学符号表示出已知和求证。3.经过分析，找出由已知推出要证结论的途径，写出证明过程。方法总结例1在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.OABECD分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF.例题解析ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。EDCBA解：∵AD为∠BAC的平分线，∠C=90°,DE⊥AB,∴DC=DE=3.∵BC=7∴BD=BC-CD=7-3=4.ABCP如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,

AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长.D4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用变式训练ABCP如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.D（3）求∆PDB的周长.·AB·PD=28.由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，=1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解方法总结1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

。60BF2如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的

，AE+DE=

。角平分线6cm随堂检测3.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.ABCD34.如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB于E，∴DE=DC，∠DEB=∠C=90°.在△Rt△BED和Rt△FCD中BD=FDED=CD∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL）∴CF=BE5.如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．

求证：BM＝CN．证明：连接EB，EC，∵DE⊥BC∴∠EDB=∠EDC=90°.在△EDB和△EDC中，DB=DC∠EDB=∠EDCED=ED∴△EDB≌△EDC（SAS）∴EB=EC∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC∴EM=EN∴Rt△EBM≌Rt△ECN∴BM=CN6.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于点FF∵AD⊥BE，∠ADB=∠FDB=90°.∵BE是