2023年高考数学二模试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年高考数学二模试卷1.已知集合A={x|ax2−3x+2=0}的元素只有一个，则实数a的值为A.98 B.0 C.98或0 2.已知复数z满足(i−1)z=2，给出下列四个命题其中正确的是(

)A.z的虚部为−1 B.|z|=2 C.z−=1+i 3.已知向量a=(−1,1),b=(3,1)，则a在b上的投影向量为A.(1,0) B.(−31010,−4.某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”.在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书.某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为(

)A.38 B.59 C.345.放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为M0，质量M与时间t(单位：天)的函数关系为M=M0⋅(12)t50，若锶89的质量从M0衰减至12M0，A.t3=2t1+t2 B.6.经过P(2,3)向圆x2+y2A.5x−12y+26=0 B.13x−12y+10=0

C.5x−12y+26=0或x=2 D.13x−12y+10=0或x=27.正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为CC1，AB的中点，若P是侧面BCC1A.392 B.3265 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递增．记a=f(2021)，b=f(e−1)，c=f(ln2)，则a，b，c的大小关系为A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c9.下列化简正确的是(

)A.cos82°sin52°−sin82°cos52°=−12 B.sin15°sin30°sin75°=18

C.10.已知函数f(x)的定义域为R，且f′(x)>1，f(3)=4，则下列结论中正确的有(

)A.f(x)为增函数 B.g(x)=f(x)−x为增函数

C.f(2x−1)>4的解集为(−∞,2) D.f(2x−1)>2x的解集为(2,+∞)11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则(

)A.OA⋅OB=−3p24

B.若|AF|⋅|BF|=4p2，则直线AB的斜率为3

C.若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于312.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD=DE=4，G为线段AE上的动点，则(

)A.若G为线段AE的中点，则GB//平面CEF

B.AE⊥CF

C.BG2+CG2的最小值为48

D.点B13.在(x−2x)7的展开式中，含1x14.设a>0，b>1，若a+b=2，则9a+1b−1取最小值时a的值为15.若函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极小值，则c的值为______．16.已知坐标平面xOy中，点F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2bcosB，C=2π3．

(1)求B；

(2)在下面两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．

①△ABC的周长为4+23；②面积为18.已知等差数列{an}中，公差d>0，S11=77，且a2，a6−1，a11成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Tn19.如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=25，BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．

(Ⅰ)求证：A1O⊥BD．

(Ⅱ)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．

(Ⅲ)线段A20.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.该企业为了了解研发资金的投入额x(单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)的影响，对往年研发资金投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下：投入额x234568911年收入的附加额y3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程；

(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．

【参考数据】i=18xiyi=334.1，i=18yi=48.6，i=121.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F1且斜率为24的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，下顶点为A，过点B(0,2)作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.22.已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax，其中a>0．

(1)若F(x)=1g(sin(x−1))−f(x)在(0,1)上单调递减，求a的取值范围．

(2)证明：k=1n答案和解析1.【答案】C

【解析】解：集合A有一个元素，即方程ax2−3x+2=0有一解，

当a=0时，A={x|ax2−3x+2=0}={x|−3x+2=0}={23}，符合题意，

当a≠0时，ax2−3x+2=0有一解，

则Δ=9−8a=0，解得：a=98，

综上可得：a=0或a=98，

2.【答案】AD

【解析】解：∵(i−1)z=2，

∴z=2−1+i=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，

对于A，z的虚部为−1，故A正确，

对于B，|z|=(−1)2+(−1)2=2，故B错误，

对于C，z−=−1+i，故C错误，

3.【答案】D

【解析】解：向量a=(−1,1),b=(3,1)，设θ=<a,b>，

cosθ=a⋅b|a||b|=−24.【答案】D

【解析】解：三人挑四种书，每人有4种选法，共有43=64种方法，

恰有2人选同一种书的方法有C32C41C31种，即36种方法，

故恰有2人选同一种的概率P=36645.【答案】A

【解析】解：由题可得12M0=M0⋅(12)t15013M0=M0⋅(12)6.【答案】C

【解析】解：(1)当切线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线；

(2)当切线斜率存在时，设切线方程为l：y−3=k(x−2)，

由(0,0)到切线距离为d=|2k−3|k2+1=2，得k=512，

此时切线方程为y−3=512(x−2)，即7.【答案】C

【解析】解：如图，

取BB1的中点为D，连接CD，ND，

∵ND//AB1，ND不包含于平面AB1M，AB1包含于平面AB1M，∴ND//平面AB1M，

同理CD//平面AB1M，∵CD∩ND=D，

∴平面CND//平面AB1M，

∵PN//平面AB1M，

∴点P在线段CD上，

当PN⊥CD时，线段PN最短，

∵|ND|=22+32=13，|CD|=48.【答案】A

【解析】解：f(x)满足f(x+6)=f(x)，y=f(x+3)为偶函数，

所以函数的周期T=6，且关于x=3对称，

因为f(x)在(0,3)内单调递增，a=f(2021)=f(5)=f(1)，b=f(e−1)，c=f(ln2)，

又1>ln2>lne>e−1，

则a>c>b．9.【答案】ABD

【解析】解：A：cos82°sin52°−sin82°cos52°=sin(52°−82°)=sin(−30°)=−12，正确；

B：sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°cos15°=12sin230°=18，正确；

C：tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘=tan(48°+72°)=10.【答案】ABD

【解析】解：对于A，因为f′(x)>1，所以f(x)为增函数，故A正确；

对于B，由g(x)=f(x)−x，g′(x)=f′(x)−1>0，所以g(x)为增函数，故B正确；

对于C，f(3)=4，则f(2x−1)>4等价于f(2x−1)>f(3)，又f(x)为增函数，所以2x−1>3，解得x>2，所以f(2x−1)>4的解集为(2,+∞)，故C错误；

对于D，f(2x−1)>2x等价于f(2x−1)−(2x−1)>1=f(3)−3．

即g(2x−1)>g(3)，又g(x)为增函数，所以2x−1>3，解得x>2，所以f(2x−1)>2x的解集为(2,+∞)，故D正确；

故选：ABD．

利用导数与函数的单调性的关系可判断AB，利用函数的单调性解不等式判断CD．

本题考查导数与函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题，构造新函数是解题关键．

11.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查抛物线的焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算，考查方程思想和运算能力，是直线与抛物线的综合问题，属于难题．

设直线l的方程为x=my+p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示可判断A；由抛物线的定义，结合韦达定理，解方程可得m，可得直线AB的斜率，可判断B；由抛物线的定义求得p，可得抛物线的方程，可判断C；设直线【解答】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，

准线方程为x=−p2，对于A，可设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my+p2，与抛物线y2=2px联立，消去x，可得y2−2pmy−p2=0，

可得y1+y2=2pm，y1y2=−p2，

则OA⋅OB=x1x2+y1y2=(y1y2)24p2+y1y2=p44p2−p2=−3p24，故A正确；

对于B

12.【答案】ABD

【解析】解：因为BDEF是矩形，所以DE⊥DB，

又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，

且DE⊂平面BDEF，所以DE⊥平面ABCD，

而AD，DC⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，DC⊥DE，

而ABCD是正方形，所以AD⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，E(0,0,4)，F(4,4,4)，

对于A，CE=(0,−4,4)，CF=(4,0,4)，

当G为线段AE的中点时，G(2,0,2)，得GB=(2,4,−2)，

设平面CEF的一个法向量为m=(x,y,z)，

有m⋅CE=−4y+4z=0m⋅CF=4x+4z=0，则可取m=(1,−1,−1)，

因为GB⋅m=2×1+4×(−1)+(−2)×(−1)=0，GB⊄平面CEF，则GB//平面CEF，故A正确；

对于B，AE=(−4,0,4)，CF=(4,0,4)，

所以AE⋅CF=−16+16=0⇒AE⊥CF，故B正确；

对于C，设G=(x1,y1,z1)，则(x1−4,y1,z1)=λ(−4,0,4)(λ∈[0,1])⇒G(4−4λ，0，4λ)，

得BG2+CG13.【答案】560

【解析】解：二项式(x−2x)7展开式的通项公式为C7r⋅x7−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅C7r⋅x7−2r，

令7−2r=−1⇒r=414.【答案】34【解析】解：a>0，b>1，得b−1>0，

由a+b=2，得a+(b−1)=1，

∴9a+1b−1=(9a+1b−1)[a+(b−1)]=10+9(b−1)a+ab−1≥10+29(b−1)a×ab−1=16，

当且仅当9(b−1)a=ab−1，即a=315.【答案】3

【解析】解：因为f(x)=x(x−c)2，所以f′(x)=(x−c)(3x−c)，

又因为函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极小值，

所以f′(3)=(3−c)(9−c)=0，解得c=3或c=9，

当c=3时，f′(x)=(x−3)(3x−3)，

所以x>3时，f′(x)>0，1<x<3时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在x=3处取得极小值；

当c=9时，f′(x)=(x−9)(3x−9)，

所以3<x<9时，f′(x)<0，x<3时，f′(x)>0，

所以函数f(x)在x=3处取得极大值，不合题意，舍去．

故答案为：3．

利用导数在x=x0处取到极值的必要不充分条件f′(x016.【答案】5【解析】解：由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±1ax，F2(c,0)，

不妨设点M(m,n)在第二象限，则kMF2=nm−c，

由D为MF2的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分MF2，

则OD：y=1ax，有nm−c=−a，且12⋅n=1a⋅m+c2，

解得m=a2−1c，n=2ac，所以M(a2−1c,2ac)，

将M(a2−1c,2ac17.【答案】解：(1)∵c=2bcosB，C=2π3，

在△ABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosB，sin2B=32，

又0<B<π3，则0<2B<2π3，∴2B=π3，解得B=π6；

(2)如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线．

若选①：由(1)得B=π6，A=π6，设BC=AC=2x，

由余弦定理得cos2π3=4x2+4x2−AB22⋅2x⋅2x，则AB=23x，

故周长为(4+23)x=4+23，解得x=1，则BC=AC=2【解析】(1)利用正弦定理将条件中的边转化成角，将C=2π3代入，即可求出sin2B，即可得出答案；

(2)若选①，首先根据△ABC的周长求出三角形三边长度，然后在△ABD中使用余弦定理即可求出中线AD的长度；若选②，首先根据△ABC的面积求出AC与BC的长度，可得CD的长度，然后在△ACD中使用余弦定理即可求出中线AD的长度．

18.【答案】解：(1)由题意可得11a1+11×102d=77(a1+5d−1)2=(a1+d)(a1+10d)即a1+5d=7,(7−4d)⋅(7+5d)=36

又因为d>0，所以a1=2,d=1.所以an=n+1.

………(5分)

(2)∵1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1【解析】(1)利用等差数列的和以及等比数列的通项公式，求解数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式．

(2)数列{1anan+1}的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，通过Tn−λan−119.【答案】(Ⅰ)证明：因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，

所以DE//BC，AD=AE．

所以A1D=A1E，又O为DE的中点，所以A1O⊥DE．

因为平面A1DE⊥平面BCED，

平面A1DE∩平面BCED=DE，且A1O⊂平面A1DE，

所以A1O⊥平面BCED，

因为BD⊂平面BCED，

所以A1O⊥BD．

(Ⅱ)解：取BC的中点G，连接OG，所以OE⊥OG．

由(Ⅰ)得A1O⊥OE，A1O⊥OG．

如图建立空间直角坐标系O−xyz．

由题意得，A1(0,0,2)，B(2,−2,0)，C(2,2,0)，D(0,−1,0)．

所以A1B=(2,−2,−2)，A1D=(0,−1,−2)，A1C=(2,2,−2)．

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z)．

则n⋅A1B=0,n⋅A1D=0,

即2x−2y−2z=0,−y−2z=0.

令x=1，则y=2，z=−1，所以n=(1,2,−1)．

设直线A1C和平面A1BD所成的角为θ，

则sinθ=|cos⟨n,A1C⟩|=|n⋅【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属于中档题．

(Ⅰ)证明A1O⊥DE.结合平面A1DE⊥平面BCED，推出A1O⊥平面BCED，即可证明A1O⊥BD；

(Ⅱ)取BC的中点G，连接OG，推出OE⊥OG.A1O⊥OE，A1O⊥OG.建立空间直角坐标系O−xyz.求出平面A1BD的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线A1C20.【答案】解：(1)x−=2+3+4+5+6+8+9+118=6，y−=18i=18yi=48.68=6.075，

所以b=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2=334.1−8×6×6.075356−8×36X0123P115155EX=0×156【解析】(1)根据已知数据和参考公式，即可求出y与投入额x的经验回归方程；

(2)求出X的所有可能取值和对应的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案．

本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．

21.【答案】解：(1)过F1且斜率为24的直线的方程为y=24(x+1)，

令x=1，得y=22，

由题意可得a2−b2=11a2+12b2=1，解得a2=2，b2=1．

∴求椭圆E的方程为x22+y2=1；

证明：(2)由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：y=kx+2，

D(x1,y1)，C(