矩阵的初等变换与线性方程组习题

矩阵的初等变换与线性方程组习题习题课一、初等变换初等变换逆变换换法变换倍法变换消法变换三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换.二、矩阵的等价

如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价.记作A

B.三、初等矩阵

定义:由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.

三种初等变换对应着三种初等方阵.对调两行或两列对调E中第i,j两行,即ri

rj,得初等方阵:

用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘A=(aij)m

n,相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第i行与第j行对调(ri

rj).

用n阶初等矩阵En(i,j)右乘A=(aij)m

n,相当于对矩阵A施行第一种初等列变换:把A的第i列与第j列对调(ci

cj).以非零数k乘某行或某列以数k

0乘单位矩阵的第i行得初等矩阵E(i(k)).以数k

0乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j

行加到第i行上(ri+krj),或以k乘E的第i列加到第j列上(cj+kci).

以Em(i(k))左乘矩阵A=(aij)m

n,相当于以数k乘A的第i行(ri

k).

以En(i(k))右乘矩阵A=(aij)m

n,相当于以数k乘A的第i列(ci

k).

以Em(ij(k))左乘矩阵A=(aij)m

n,相当于把A的第j

行乘数k加到A的第i行上(ri+krj).

以En(ij(k))右乘矩阵A=(aij)m

n,相当于把A的第i列乘数k加到A的第j列上(cj+kci).四、初等矩阵与初等变换的关系

定理:设A为可逆方阵,则存在有限个初等方阵P1,P2,···,Pl,使A=P1,P2,···,Pl.

推论:m

n矩阵A

B的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q,使PAQ=B.利用初等变换求逆阵的方法:即对n

2n矩阵(A|E),施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就变成了A-1.五、行阶梯形矩阵特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.六、行最简形矩阵行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的非零首元为1,且这些非零元所在列的其它元素都为0.

七、矩阵的标准形

所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.任一个矩阵Am

n总可经过初等变换化为标准形

标准形由m,n,r三个数唯一确定,其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.八、矩阵的秩

若在矩阵A中有一个r阶子式D非零,且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式,称数r为矩阵A的秩,记作R(A).矩阵秩的性质及定理R(AT)=R(A).定理:若A

B,则R(A)=R(B).如果A中有一个r阶子式非零,则R(A)

r.如果A的所有的r+1阶子式都为零,则R(A)

r.行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.若A为n阶可逆矩阵,则(1)A的最高阶非零子式为|A|;(2)R(A)=n;(3)A的标准形为单位矩阵E;(4)A

E.九、线性方程组有解判别定理及解法

齐次线性方程组的解法:系数矩阵化成行最简形矩阵,便可写出其通解.

非齐次线性方程组的解法:增广矩阵化成行阶梯忢矩阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最简形矩阵,便可写出其通解;

定理1:n元线性方程组Am

nx=b

(1)无解的充分必要条件是R(A)<R(B);(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n;(3)有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)<n.典型例题例1:求下列矩阵的秩解:对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵,A因此,R(A)=R(B)=2.注意:在求矩阵的秩时,初等行,列变换可以同时兼用,但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形.例2:求非齐次线性方程组的通解.

解:对方程组的增广矩阵B行初等行变换,使其成为行最简单形.r2–3r1r3–2r1r4–2r1r5–5r1r2–2r4r3

(-1)r2

r3r4+2r2r5+5r2r5–2r4r4

6r4

r3r2–5r3r1–3r3r1–2r2r1+r3r2+r3r4+r3r5–r2由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程组(1)中未知量的个数是n=4,故有一个自由未知量.在此选x4.令x4=6k(为任意常数).得方程组(1)的通解为:r1–r2r4–r2r1–2r4r4

r1另解:r2+5r1r3+2r1r2

5r3-3r2r1

(-1)由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程组(1)中未知量的个数是n=4,故有一个自由未知量.在此选x3.令x3=5k(为任意常数).得方程组(1)的通解为:

例3:当a取何值时,下述齐次线性方程组有非零解,并且求出它的通解.解法一:系数矩阵A的行列式为当a=-1时,把系数矩阵A化成最简形:从而得到方程组的通解:k为任意常数.当a=-1或者a=2时,|A|=0,方程组有非零解.当a=2时,把系数矩阵A化成最简形:从而得到方程组的通解:k为任意常数.解法二:用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形

当a=–1或者a=2时,R(A)<4,此时方程组有非零解.可仿照解法一求出它的解.例4:求矩阵解:作分块矩阵(A|E),施行初等行变换.的逆矩阵.所以

注意:用初等行变换求逆矩阵时,必须始终用行变换,其间不能作任何列变换.初等变换法解矩阵方程(1)AX=B(2)XA=B例5:设且AX=A+2X,求矩阵X.解:因为AX=A+2X,所以(A–2E)=A,而又所以填空题1.若n元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当

时,方程组有唯一解;当

时,方程组有无穷多解.2.齐次线性方程组只有零解,则k应