人教版九年级数学上册《圆的有关性质（第4课时）》示范教学设计

圆的有关性质（第4课时）教学目标1．理解圆周角的概念，知道圆周角与圆心角的异同．2．掌握圆周角定理及其推论，能灵活运用定理及其推论解决有关的证明与计算问题．3．经历探索圆周角与圆心角的关系的过程，发展逻辑推理能力，进一步体会分类讨论和转化的数学思想．教学重点探索圆周角定理及其推论，并利用其解决问题．教学难点圆周角定理的证明中的分类讨论．教学过程新课导入如图，教练让甲、乙、丙三人分别在C，D，E三处射门，仅从射门角度大小考虑，教练的做法公平吗？为什么？【师生活动】教师给出分析：这个问题实际上就是比较∠C，∠D，∠E的大小，如果∠C＝∠D＝∠E，那么教练的做法是公平的．【设计意图】从生活中的实际问题入手，将实际问题数学化，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．利用简单的实例，引出本节课的学习内容——圆周角．新知探究一、探究学习【问题】如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点？【师生活动】学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB的顶点在⊙O上，角的两边分别交⊙O于A，B两点．【答案】（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交（指除顶点外，角的两边分别与圆还有另外一个交点）．【新知】如图中的∠ACB，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角．【设计意图】让学生结合图形，获得圆周角的定义，初步理解圆周角．【练习】结合下面的动图，巩固圆周角的特征．【师生活动】教师展示动图，学生独立思考总结．【设计意图】同时呈现有关圆周角的正例和反例，加深学生对圆周角概念的理解．【问题】如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB．可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧，它们之间存在什么关系呢？【师生活动】教师提出问题：分别测量图中所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，你发现了什么？学生通过观察、度量，猜想∠ACB＝∠AOB．教师追问：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？学生动手画图、度量并验证猜想．【答案】∠ACB＝∠AOB，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【设计意图】引导学生经历观察、操作、猜想、分析等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【问题】你能证明上面发现的结论吗？【思考】在圆上任取，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心与圆周角有几种位置关系？结合动图进行分析．【师生活动】教师展示动图，学生观察动图，小组交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系．【分析】根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心O在∠BAC的一条边上，如图①；（2）圆心O在∠BAC的内部，如图②；（3）圆心O在∠BAC的外部，如图③． 【师生活动】教师提问：在第（1）种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？学生结合三种位置的图形，认识到：第（1）种情况属于特殊情况，另外两种情况比第（1）种情况复杂．师生结合图①，分析第（1）种情况，教师给出第（1）种情况的证明．【答案】（1）圆心O在∠BAC的一条边上，如图①．．【归纳】符号“⇒”读作“推出”，“A⇒B”表示由条件A推出结论B．【设计意图】从特殊情况入手，证明猜想，既便于学生的学习，又为其他两种情况的证明提供了转化的方向．【思考】在第（2）（3）种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？【师生活动】学生思考，尝试解决．如果学生有困难，教师可提示学生：通过添加辅助线将第（2）（3）种情况转化成第（1）种情况．根据学生的情况，师生共同完成第（2）种情况的证明．学生独立完成第（3）种情况的证明．【答案】（2）圆心O在∠BAC的内部，如图．证明：连接AO并延长交⊙O于点D．．同理，∠CAD＝∠COD．∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝(∠BOD＋∠COD)＝∠BOC．（3）圆心O在∠BAC的外部，如图．证明：连接AO并延长交⊙O于点D．由（1）可知∠CAD＝∠COD，∠BAD＝∠BOD，∴∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝(∠COD－∠BOD)＝∠BOC．【新知】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．符号语言：∠BAC，∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，那么∠BAC＝∠BOC．【设计意图】将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想．学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，提升逻辑推理的能力．【问题】一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？结合下面的动图，你能说出同弧或等弧所对的圆周角的关系吗？【师生活动】教师展示动图，学生观察、猜想，根据定理得到结论．【推论1】同弧或等弧所对的圆周角相等．符号语言：如图，∠ACB，∠ADB是所对的圆周角，那么∠ACB＝∠ADB．【思考】你能证明推论1吗？（1）如图，在⊙O中，∠C1，∠C2，∠C3都是所对的圆周角，它们的大小有什么关系？由此你能得到什么结论？（2）如图，在⊙O中，如果＝，那么它们所对的圆周角∠C1和∠C2的大小有什么关系？由此你能得到什么结论？【师生活动】教师可根据情况提示学生：用圆周角与圆心角之间的关系，弧与圆心角、圆周角之间的关系证明结论．学生小组交流，得出答案．【答案】（1）连接OA，OB．根据圆周角定理，得∠C1＝∠AOB，∠C2＝∠AOB，∠C3＝∠AOB，∴∠C1＝∠C2＝∠C3．由此可得，同弧所对的圆周角相等．（2）连接OA，OB，OD，OE，则∠AOB＝∠DOE．根据圆周角定理，得∠C1＝∠AOB，∠C2＝∠DOE，∴∠C1＝∠C2．由此可得，等弧所对的圆周角相等．【思考】在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？【归纳】在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．理由：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的圆心角相等，因此它们所对的弧也相等．【设计意图】让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系．【问题】仔细观察下面的动图，想一想直径所对的圆周角的度数确定吗？如果确定，它是多少度？【师生活动】学生通过观察动图、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角．【答案】直径所对的圆周角的度数为90°．理由如下：如图，AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝180°．根据圆周角定理知，∠AC1B＝∠AC2B＝∠AC3B＝…＝∠ACnB＝∠AOB＝90°，∴直径所对的圆周角的度数为90°．【思考】反过来，90°的圆周角所对的弦是直径吗？【答案】如图，∠C＝90°，根据圆周角定理：圆周角∠C的度数等于它所对的圆心角∠AOB度数的一半，∴∠AOB＝180°．故90°的圆周角所对的弦是直径．【推论2】半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．符号语言：若AB为⊙O的直径，则∠ACB＝∠ADB＝90°；若∠ACB＝90°或∠ADB＝90°，则AB为⊙O的直径．【设计意图】由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论2．二、典例精讲【例题】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．【师生活动】师生共同分析已知条件、所求和解题思路．学生独立完成解答，一名学生板书，教师给予指导．【答案】如图，连接OD，CD．∵AB是圆O直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．在Rt△ABC中，BC＝＝8（cm）．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．∴∠AOD＝∠BOD．∴AD＝BD．又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝AB＝5（cm）．【归纳】巧用圆周角定理及其推论解决两类问题：（1）解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解．（2）在圆中有直径即可连接圆上一