人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》示范教学设计

二次函数与一元二次方程教学目标1．通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一元二次方程的关系，从而提高学生分析问题、解决问题的能力以及归纳概括的能力．2．知道二次函数图象与x轴有三种位置关系，对应一元二次方程根的三种情况；能够应用二次函数的图象解决有关一元二次方程的根的问题．3．会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解，会用取平均数的方法不断缩小根所在的范围，并按要求取根的近似值，体会逼近的数学思想．4．通过对二次函数与一元二次方程之间关系的探究，以及利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的过程，使学生体会数形结合思想，激发学生学习数学的兴趣．教学重点1．探究并理解二次函数图象与x轴的公共点与一元二次方程的根之间的关系．2．利用函数图象求方程的近似解．教学难点1．理解二次函数图象与x轴的公共点与一元二次方程的根之间的关系．2．利用函数图象求方程的近似解．教学过程知识回顾1．关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝1，则当x＝1时，一次函数y＝kx＋b的函数值为0．2．一次函数y＝kx＋b的图象如图，则关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝2．3．一次函数与一元一次方程之间的关系．从数的角度：在函数y＝ax＋b(a≠0)中，当y＝0时，x的值与一元一次方程ax＋b＝0的解相等．从形的角度：函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程ax＋b＝0的解．【设计意图】通过复习已经学过的一次函数与一元一次方程的知识，为引出新课“二次函数与一元二次方程”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要飞行多少时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要飞行多少时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？【师生活动】教师分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．学生根据提示，分小组讨论，并派代表发言，教师板书．解：（1）解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．教师追问：你能结合上图指出为什么在两个时刻小球的高度为15m吗？学生观察图象，思考并回答，教师总结．（2）解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2．当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m．教师追问：你能结合上图指出为什么只在一个时刻小球的高度为20m吗？学生观察图象，思考并回答，教师总结．（3）解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0．因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m．（4）小球飞出时和落地时的高度都为0m，解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m，这表明小球从飞出到落地要用4s．从图来看，0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面．教师提问：通过对“小球飞行”问题的探究，你能发现二次函数与一元二次方程有什么关系？教师提示：可以类比之前学过的一次函数与一元一次方程间的关系进行分析．学生根据提示，分小组讨论，并派代表发言，教师作最后总结．【归纳】从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x＝3(即x2－4x＋3＝0)．反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4x＋3的值为0，求自变量x的值．【思考】下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－6x＋9；（3）y＝x²－x＋1．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考，并尝试作答．【答案】在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）．抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系．【问题】观看动图，思考二次函数图象与x轴的公共点与一元二次方程根之间的关系．【师生活动】师生共同观看动图，学生回答，教师给予提示和补充．【归纳】一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论．（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．【设计意图】通过问题串的形式，激发学生的求知欲，通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一元二次方程的关系．进一步借助问题思考，引出二次函数图象与x轴有三种位置关系，对应一元二次方程根的三种情况，通过探究讲解让学生体会数形结合思想，激发学生学习数学的兴趣．二、典例精讲【例题】利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．【师生活动】教师提出问题，学生思考并尝试独立作答．解：方法1：画出函数y＝x2－2x－2的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7．教师提示：我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．教师一边讲解，一边引导学生结合图象思考．方法2：当自变量x＝2时，y＜0，当自变量x＝3时，y＞0，即方程x2－2x－2＝0在2，3之间有根．取2，3的平均数2.5，当自变量x＝2.5时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在2.5，3之间有根．取2.5，3的平均数2.75，当自变量x＝2.75时，y＞0，即方程x2－2x－2＝0在2.5，2.75之间有根．取2.5，2.75的平均数2.625，当自变量x＝2.625时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在2.625，2.75之间有根．重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.6875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值．当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875－2.75|＝0.0625＜0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值．教师追问：你能用这种方法得出方程x2－2x－2＝0的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？学生根据提示，独立思考并作答．当自变量x＝－1时，y＞0，当自变量x＝0时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－1，0之间有根．取－1，0的平均数－0.5，当自变量x＝－0.5时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－0.5，－1之间有根．通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．由于|－0.75－(－0.6875)|＝0.0625＜0.1，我们可以将－0.6875作为另一个根的近似值．【归纳】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤：（1）画出函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；（2）确定抛物线与x轴的交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间；（3）列表，根据题目实际情况在两个数之间合理等分，并用计算器算出每个等分点所对应的函数值y，近似根在对应y值正负交换的地方；（4）根据精度要求写出方程根的近似值．