人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质（第7课时）》示范教学设计

二次函数的图象和性质（第7课时）教学目标1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．能灵活地根据条件恰当地选取方法求二次函数的解析式，体会二次函数解析式之间的转化．3．通过观察、思考、归纳等探究活动，从多角度看问题，丰富解决问题的策略，为进一步学习函数，体会函数思想积累经验．教学重点用待定系数法求二次函数的解析式．教学难点灵活地根据条件恰当选取方法求二次函数的解析式．教学过程知识回顾1．先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的方法，叫做待定系数法．2．用待定系数法求一次函数解析式的步骤：（1）设：设出函数解析式；（2）代：将坐标代入解析式；（3）解：解方程组；（4）写：写出解析式．3．二次函数常用的解析式形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．【设计意图】通过复习已经学过的函数知识，为引出新课“用待定系数法求二次函数的解析式”作铺垫．新课导入【思考】我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？【师生活动】教师提出问题，学生小组交流，并派代表发言，教师总结．【设计意图】通过问题的形式，引出本节课要讲解的知识，激发学生的求知欲．新知探究一、探究新知【问题】下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，根据表格信息，恰当选择条件求出这个二次函数的解析式．x－3－2－1012y010－3－8－15【师生活动】教师提示：可以结合已学过的求一次函数解析式的方法来思考．学生组内讨论，教师提问：可以设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c吗？学生思考并回答：可以设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，此时解析式中有a，b，c三个待定系数，因此需要选择三个不同点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，列出关于a，b，c的三元一次方程组来解答．方法一：选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)．设这个二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c中，得解得∴所求的二次函数的解析式是y＝－x2－4x－3．教师归纳：已知三个点，可以设二次函数的一般式，利用待定系数法求出解析式，其步骤是：（1）设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；（2）代入后得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得到a，b，c的值；（4）把待定系数用数值换掉，写出函数解析式．这三个点应满足的条件：（1）不在同一直线上；（2）任意两点的连线不与y轴平行．教师提问：还有其他方法求这个二次函数的解析式吗？学生组内交流，思考并回答：也可以设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k，此时解析式中有a，h，k三个待定系数，如果题目中已知二次函数的顶点坐标，则可求出h，k的值，再代入二次函数图象上一点的坐标，列出关于a的一元一次方程求出a的值，便可以得到所求的二次函数的解析式．方法二：选取顶点(－2，1)和点(1，－8)．设这个二次函数的解析式是y＝a(x－h)2＋k，把顶点(－2，1)代入y＝a(x－h)2＋k，得y＝a(x＋2)2＋1．再把点(1，－8)代入上式，得a(1＋2)2＋1＝－8．解得a＝－1．∴所求的二次函数的解析式是y＝－(x＋2)2＋1或y＝－x2－4x－3．教师归纳：已知抛物线的顶点坐标，可设二次函数的顶点式，利用待定系数法求出解析式，其步骤是：（1）设函数解析式为y＝a(x－h)2＋k；（2）先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；（3）将另一点的坐标代入原方程求出a值；（3）将a用数值换掉，写出函数解析式．【设计意图】通过问题串的形式，激发学生的求知欲，引导学生用已学过的待定系数法来解决求二次函数的解析式问题，通过观察、思考、归纳等探究活动，让学生体会二次函数解析式之间的转化，从而能灵活地根据条件恰当地选取解决方法，丰富学生解决问题的策略，锻炼学生举一反三的能力．二、典例精讲【例1】一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求出这个二次函数的解析式．【师生活动】教师提出问题，学生思考并独立作答．【答案】解：设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c．由已知，函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，将这三点的坐标代入二次函数解析式，得关于a，b，c的三元一次方程组解这个方程组，得a＝2，b＝－3，c＝5．所求二次函数是y＝2x2－3x＋5．【例2】一个二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，图象过点(2，2)，求这个二次函数的解析式．【师生活动】教师提出问题，学生思考并独立作答．【答案】解：设所求二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k．∵图象的顶点坐标为(1，－1)，∴h＝1，k＝－1．∴y＝a(x－1)2－1．∵函数图象经过点(2，2)，∴a(2－1)2－1＝2．解得a＝3．∴这个二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．【例3】已知二次函数的图象与x轴交于(－2，0)，(2，0)，并经过点M(0，1)，求二次函数的解析式．【师生活动】教师提示：当已知二次函数的图象与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可以设二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入二次函数图象上另一点的坐标，列出关于a的一元一次方程，求出a的值，进而得出二次函数的解析式．【答案】解：设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－2)．由已知，图象过点M(0，1)，得1＝a(0＋2)(0－2)．解得．所求二次函数是或．【归纳】已知抛物线与x轴两个交点的坐标(x1，0)，(x2，0)，可设二次函数的交点式，利用待定系数法求出解析式，其步骤是：（1）设函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；（2）将另一点的坐标代入求出a的值；（3）将a用数值换掉，写出函数解析式．【设计意图】通过例题1和例题2的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用；