2024高考数学模拟试卷含答案

8.已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为且每个人射

击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为

高三数学考试AiBic-nDn

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合陋目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

9.%数z=cos(。用+isin。，其中0“</,设z在复平面内的对应点为尸，则下列说法正确的是

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。A.当6=孑口寸，回=当

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮湃干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，招答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.潺试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。B.当。吟时，z=

C.对任意仇点P均在第一象限

一、选择题本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/={12,3,4,5},8={x|—14lg(x-l)4：},贝口408=D,存在凡使得点尸在第二象限

10.已知函数/(切=，-""2,x=2是函数/(x)的一个极值点.则下列说法正确的是

A,卜和x*}B.{2,3,4)C.(2,3}D.卜*乂=}

A.m=3

2.巳知函数/(x)=(2、+m-2-4sinx,则“川=1，是“函数/(*)是奇函数”的B.函数/(x)在区间(-1,2)上单调递减

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C.过点(1,-2)能作两条不同直线与y=/(x)相切

3.巳知晟之是单位向量，则，+2鼻与之的夹角为

D.函数、=/[/(x)]+2有5个零点

2%

11.已知在正方体/BCD-4MG2中，必=2,点”为的中点，点尸为正方形《乌GR内一点(包

4.艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一.一个“小神童”近似为含边界)，且BP〃平面/耳球。为正方体488-48|GA的内切球，下列说法正确的是

一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为WWW

12cm,则该圆锥的{^为WWWA.球。的体积为竽

A.96rem'B.124/rcm5C.72后而D.168^cm3***B.点尸的轨迹长度为20

C.异面直线CG与8P所成角的余弦值取值范围为[乎，半]

5.已知数列{凡},也}均为等差数列，其前〃项和分别为工工，满足(2”+3)S“=(3"-1)7；,则

%+4+q一

D.三棱锥M-外接球与球。内切

2+九

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

A.2B.3C.5D.6

12.(x2+2力卜2的展开式中X*/的系数为.(用数字作答)

6.已知双曲线C：，一方=l(a>0力>0),圆O,：(x-2y+，=4与圆。②：，+(k1『=1的公共弦所

13.已知x4是函数/(x)=sin(3c+0)(0〈户闻的一条对称轴，，(x)在区间(一0)。>0)内恰好存在

在的直线是C的一条渐近线，则C的离心率为

A.拒B.2C.75D.763个对称中心，则t的取值范围为___.

7.巳知sin（3a-夕）=msin（a-7?）,tan（2a-/3）=Mtana,则m,”的关系为14.巳知椭圆C：£+3=l(a>b>0)的左、右焦点分别为好,6,焦距为6,点Af(Ll),直线与C

.cm+\_m_ffi+1

A.m=2nB.n=----C.«=----D.n=------

mm-lm-\交于4B两点，且M为中点,则的周艮为.

,数学第l页(共4页)・数学第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分17分)已知/(x)=e*-x.

15.(本小题满分13分)某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子

(I)求/(x)的单调区间和殿值；

公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下

2x2列联表：(2)定理：若次数/(x)在(2)上可导，在［a,b］上连续，则存在"(。，)使得/«)=坦三⑷，

满意惆况

性别合计该定理称为“拉格朗日中值定理”.道利用该定理解决下面问题:

涧意不满意•

男职工252550若0</n<",求证:

女职工25530

合计503080

(1)根据表中数据，依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的酒意度

是否与性别有关；

(2)若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体眈E憎况，频率近似概率.若使企业

为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助.求企业本次发

放总费用X数学期望.

(a+b)(c+d)(a+c)(d+d)

a0.10.050.010.0050.001

-q2.7063.8416.6357.87910.828

19.(本小题满分17分)已知抛物线C：必=2砂(P>0)的焦点为尸，过广且倾斜角为3的直线,与C交

于48两点.直线与C相切，切点分别为4氏/$与x轴的交点分别为两点，且|。同=苧.

16.(本小题满分15分)如图，在三梭柱X5C-48G中，四边形#是矩形，8瓦=30=2/8=2,(1)求C的方程；

(2)若点尸为C上一动点(与48及坐标原点均不富合)，直线4与C相切，切点为P,h与h

Z5CC；=60°,AC,=4S.

I,的交点分别为G.H.记ADFGAEFH的面积分别为St,S3.

(i)求证：且CJ■平面"G：①请问：以G户为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，i酉说明理由；

(2)求平面ABtC与平面4BG所成角的余弦值.②iE明：g•为定值.

J2

17.(本小题满分15分)已知数列｛(｝满足：4=1,%=2,4+k=.

(1)请写出勺-小，4-%，的值，给出一个你的猜想，并证明；

(2)设6“=3"j,求数列｛，｝的前”项和，.

■数学第4页(共4页)

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数学参考答案

1.B解析：S=<jA：|-l<lg(x-l)<||=jx|^<x<Vw+l1,故/口8={2,3,4},故选B.

2.B解析：若函数/(x)是奇函数，

则/(%)+/(—%)=(2"+冽,2一"卜inx-(2一"+冽2卜inx=(l-机)(2"-2一”卜出、=0恒成立，即冽二1,

而加2=1,得加=±1.故"/=1”是“函数/(X)是奇函数”的必要不充分条件，故选B.

3.A解析：何+2力=1-2+4=3,故国+2引=6.设与9的夹角为

（.+2可g_|

贝!jcos0=故。=工，故选A.

届+2可同=7F26

侧面面积为邑=；疗

4.C解析：设圆锥的底面圆的半径为r,则底面圆的面积为H="产•2•12=124,

由题意知2sLs2,解得r=6,因此该圆锥的高公而*=66,

故该圆锥的体积产=；4-62.66=726万，故选C.

5.A解析:因为数列{%},也}均为等差数列,

贝U%+〃8+。9=3%=:X15Q8=；S15,4+狐=4+九,

而几=15（4;砥）,故%+篇=［几・

%

因此3S34

--^r-=-xy=2,故选A.

4+blO_Z_T

1515

（x-2）2+）2=4

作差得由题意知的一条渐近线为即的离心

6.C解析:V=2x,Cy=2x,2=2,C

x2+（y-1）2=1a

7.D解析：sin（3a-p）=sin［（2a-/?）+a］=sin（2a-夕）cosa+cos（2a-夕）sina,

sin（a-p）=sin［（2a—£）-a］=sin（2a-p）cosa-cos（2a-/7）sina,

sin（2cr-yS）cosa+cos^a-/3）sina=msin（2a-£）cosa一机cos（2a-p）sina,

即sin（2c_£）cosa=丝里即tan（2a—夕）=加+1

故选D.

cos（2a-^）sinam-1'—嬴｝—~m-l

8.D解析：设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件4民C,每人各射击一次，在三人中恰有两

人命中为事件D,贝I」P(ABC}+P(ABC}+p{ABC}=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

''''''32532532530

1

P(^)=P(^C)+P(/15C)=|xlx|+|x|x|=l,则尸(4⑼=3^=含4,故选D.

J乙JJ乙JJ\/---

30

9.AC解析：当0=工时，z=l+交i,故|z|=^,』=l-交i,故A选项正确，B选项错误；当0<。〈工时,

4211222

^<cos^-^<l,O<sin0<l,故对任意仇点P均在第一象限，不存在凡使得点P在第二象限,

故C选项正确，D选项错误.故选AC.

10.AD解析：f'(x)=3x2-2mx,由题意知八2)=0,解得加=3,

/'(x)=3x(x-2),令/[x)=0,解得再=0,%=2,

故/(x)在区间(-叫0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+8)上单调递增，故A选项正确,

B选项错误；

设过点(1,-2)且与函数歹=/(x)相切的切点为(x0,y0),

则该切线方程为y=f'(x0)(x-l)-2=(3片-6x0)(x-l)-2,

由于切点(x0,y0)满足直线方程，贝U/(x0)=(3年一6%)伉-1)-2=片-3只

整理得2(%-1)(%-2%+1)=0,解得％=1,

故只能作一条切线，故C选项错误；

令〃x)=f,则/⑴7的根有三个,如图，-y<0u，

故方程/卜)=(有3个不同根，方程/卜)=4和/(x)=4均有1个根,

故>=/[/(x)]+2有5个零点，故D选项正确.综上，故选AD.

11.ACD解析：由题意知球。的半径为1,故其体积为3故A选项正确；取4G的中点为N,

连结BN,D、N,易知D、NUB、M,故。户//平面/片初，

因为BN//AM,所以8N//平面,又因为BNCD、N=N,

故平面BNDJ1平面ABM,故点P的轨迹为线段D、N=M、故B选项错误;

因为CCJ/BB、,故异面直线CQ与2P所成角等于组BP或其补角，

易得NqBN取得最小，cosN耳8N=亭，NBfR取得最大,cosNq8N=辛，故C选项正确；

易知=朋'=/仍阳=90°,故W为三棱锥赫-44£外接球的直径，取。'为2M的中点,

即。'为三棱锥444外接球的球心，由题意知。为8。的中点，故。。'=；〃2=；,

13

因为球。的半径为外=1,球。'的半径为4=-BM=|,r2-r^OO',

故三棱锥M-44内外接球与球O内切.故选ACD.

12.答案：-35

解析：1+2川/7丫的展开式中含有力6的项为YCY.（_a+2yC（x]（-y）5=-35X>6,故

//的系数为-35.

57

13.答案:——

<J/TTCTC

解析：由题意知石■+0=3+版"（左eZ）,解得0=彳+左乃，因为0<°<3，故夕=],

故/（x）=sin[3"x+?J,令3%x+?=左"（左eZ）,解得》=一2+|"，

原点附近的5个对称中心分别为'故当《<云（时’符合题意.

14.答案：1272

2222

解析：设42两点坐标分别为国必）,优,%）,■+普=i,与+等=i,

abab

两式相减得a+%）9_X?）+（1+%），「%）=o,由题意"为中点，

ab

则占+马=2,%+%=2,代入整理得直》=一R.即由题意知《」=-:，

xx-x2a1-32

22

因此所以/=2火c=b,由焦距为6,解得a=3亚.

a22

由椭圆定义知史片3的周长为|司|+|期|+|4同=（|皿|+|4阊）+（|即|+|典|）=4a=12元.

15.解析：（1）零假设为Ho:满意度与性别无关.

80x(25x5-25x25)2_80

经计算得/=»8.889>7.879（4分）

50x30x50x30—~~9

依据小概率值a=0.005的独立性检验，推断/不成立，即认为满意度与性别有关，此推断犯错误的概

率不大于0.005；..............................................................................................................................................（6分）

（2）根据题意，全企业职工每人满意概率为p=3,设满意的人数为Y,则不满意的为10000-y,由

8

题意知y〜《10000,11,E(Y)=6250

（9分）

x=20卜+30(10000-y)=300000-IOK,

则E(x)=£(300000-1OK)=300000-10£(7)=237500.（13分）

16.解析：（1）在四边形3CC4中，因为,所以该四边形为菱形，故BCJ4c.（2分）

又因为N3CC1=60°,故A5CG为等边三角形，

2

故3G=2.在AABQ中，AC；=AB+BC[,^ABVBCX..................................（4分）

又因为N8L84，BB、nBG=B,所以N2，平面8CC4,因此NBLqC.

又因为所以8。，平面N8G;............................................（6分）

取CG的中点M,连结2M,由（1）知3/，，故/民两两垂直，

建立如图空间直角坐标系，5（0,0,0）,^（0,0,1）,C^,-1,0）,瓦（020）,4（0,2,1）,G（省,1,0）,

^C=（V3,-1,-1）,函=（02-1）,蓝=回,0）,萩=（0,2,1）,

—n,■AC=0，即（G—o,

设平面N8C的法向量为4=（x,y,z）,由_____

“网=0（2y-z=0

令丁T,得名一（百,1,2）；.................................................................（9分）

C—»»

_%奴=0，即产+k°,

设平面45G的法向量为〃2=（%J，Z）,由《一——►

n2•BA1=0［2y+z=0

令y=T,得"=［，,一1,2）......................

......................................（12分）

设平面ABXC与平面42G所成角为。，则COS8=....................（15分）

\nm2^2—‘

1311/、71

17.解析：（1）%=/（。2+。1）=-。2=—5；%=5（。3+〃2）=］，%—。3=W，

_1/x_13_1

%-2（2+%）-§，%%.§，......................................................（3分）

因此猜想｛。向-｝是以1为首项，-《为公比的等比数列；.................................（5分）

下面证明:

因为%+2+*)-*-?)，。2-4=1，故｛。“+1-%｝是以1为首项，为公比

的等比数列，故(7分)

a=a

（2）由（]）知，当几22时，〃2_〃]=1，〃3~2_]，。4-%=—J，,••，〃“_n-\=-J，

累力口得a__l=l+f+-+[-』]=―।j=2一2/一口,^an

"I2厂I2）I2；-1+1.33I2），33I2J.

2

当〃=1时，％=1满足题意，故"〃=g—对成立；....................（10分）

故，=5",S〃=5（1+2+3+-+〃）—20+1+-+,,

其中1+2+3+…+〃=................................................................................................................（12分）

2

（14分）

（15分）

18.解析：（1）/■'（x）=e—,令小）=0,解得x=0,..........................................................................（2分）

当xe(-s,0)时，r(x)＜0,〃x)单调递减;

当xe(0,+⑹时，f(x)>0,单调递增..............................................(5分)

当x=0时，/(x)取得最小值1,无最大值；.............................................(7分)

（2）要证^--—＜（m+iy[—-—\,me"-nen＜（m+1）2（m-n）,因为0＜小＜〃,

nm\nm）

故只需证型士£＞（W+1）2.....................................................................................................................（9分）

m-n

令g(x)=xe*(x>0),显然g(x)在(%”)上可导,在［加,"］上连续,

故由拉格朗日中值定理知存在Je(机用，使得g'(O="e"'ie”’........................................(11分)

m—n

而g'(x)=(x+1僻>0,g'(X)在(0,y)上单调递增，

因为加<自<〃，故