上海市金山区2024年高考数学一模试卷2（解析版）

2024年上海市金山区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.若集合M={x|x2-2x<0},N={x||x|>1},则MnN=.

2.若复数z满意2z+9=3-2i,其中i为虚数单位，则2=.

3.若sina=-得，且a为第四象限角，则tana的值等于—.

4.函数f（x）=c,sxsinx的最小正周期丁=.

sinxcosx

5.函数f（x）=2x+m的反函数为y=f-1（x）,且y=「i（x）的图象过点Q（5,2）,那么

6.点（1,0）到双曲线工_-y2=i的渐近线的距离是

2x-y<0|

7.若x,y满意x+y<3，则2x+y的最大值为.

x》0

8.从5名学生中任选3人分别担当语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担当数学课

代表，共有一种不同的选法（结果用数值表示）.

9.方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是—（结果化

为一般方程）

10.若如是（2+x）n（nGN*,n22,xGR）绽开式中x2项的二项式系数，则

lira（―+-^-+-+^-）=.

n-8沁%

11.设数列{a»是集合{x|x=3，+3t,s<t且s,tGN}中全部的数从小到大排列成的数列，即

ai=4,a2=10,a3=12,皿=28,a5=30,a6=36,将数列{aj中各项依据上小下大，左小右

大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则ai5的值为—.

pI

1012

283036

12.曲线C是平面内到直线h：x=-1和直线12：y=l的距离之积等于常数k2（k>0）的点

的轨迹，下列四个结论：

①曲线C过点（-1,1）；

②曲线C关于点（-1,1）成中心对称；

③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线11、12上，则|PA|+|PB|不小于2k；

④设Po为曲线C上随意一点，则点P（）关于直线h：x=-1,点（-1,1）及直线f（x）对

称的点分别为Pl、P2、P3，则四边形PoPiP2P3的面积为定值4k2；其中，

全部正确结论的序号是—.

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.给定空间中的直线1与平面a,则“直线1与平面a垂直”是"直线1垂直于平面a上多数

条直线”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

14.己知x、ydR,且x>y>0,贝！|（）

A.B-耳）

|xy122

C.Iog2x+log2y>OD.sinx-siny>0

15.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）

二,,Ix"+(4a-3)x+3a,x<0一，"、“③

16.己知函数f(x)=1、(a>0,且aWl)在R上单调递减，且

]loga(x+l)+l,x》0

关于X的方程If（x）1=2-X恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）

D._2u

1a

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PB、PD与

TT71

平面ABCD所成的角依次是石和arctanj，AP=2,E、F依次是PB、PC的中点；

（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）求三棱锥P-AFD的体积.

18.已知AABC中，AC=1,/研，=等，设/BAC=X,记|《）二疝位;

。

（1）求函数f（X）的解析式及定义域；

（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程f（x）=5的解.

______6

19.已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（-1,0）,长轴长是短轴长的近倍,

直线1与椭圆C交于点A与B,且A、B都在x轴上方，满意NOFA+NOFB=180。；

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)对于动直线1,是否存在一个定点，无论NOFA如何改变，直线1总经过此定点？若存

在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

20.已知函数g(x)=ax2-2ax+l+b(a>0)在区间［2,3］上的最大值为4,最小值为1,记

f(x)=g(|x|),x£R；

(1)求实数a、b的值；

(2)若不等式［f(x)+g(x)>log4-210g2k-刎随意xGR恒成立，求实数k的范围；

(3)对于定义在［p,q］上的函数m(x),设x()=p,xn=q,用随意Xi(i=l,2,n-1)

将［p,q］划分成n个小区间，其中Xi」<Xi<Xi+i，若存在一个常数M>0,使得不等式|m(xo)

-m(xi)+|m(xi)-m(X2)+-+|m(xn-i)-m(xn)|WM恒成立，则称函数m(x)

为在［p,q］上的有界变差函数，试证明函数f(x)是在［1,3］上的有界变差函数，并求出

M的最小值.

21.数列{bj的前n项和为Sn，且对随意正整数n,都有SF嗖)；

(1)试证明数列{、}是等差数列，并求其通项公式；

(2)假如等比数列w共有2024项，其首项与公比均为2,在数列{aj的每相邻两项电与

用+1之间插入i个(-1)%(iGN*)后，得到一个新数列{7},求数列{/}中全部项的和；

(3)假如存在neN*,使不等式(n+l)(bn+『)<(n+l)入<bn+iy—成立，若存在,

求实数人的范围，若不存在，请说明理由.

2024年上海市金山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.若集合M={X|X2-2X<0},N={X||x|>1},则McN=(1,2).

【考点】交集及其运算.

【分析】解x2-2x<0可得集合乂=反|0<*<2},解团>1可得集合N,由交集的定义,

分析可得答案.

【解答】解：x2-2x<0«0<x<2,则集合M={x|0<x<2}=(0,2)

x|>lox<-1或X<>1,则集合N={x|-1<X<1}=(-8,-1)u(i,+8),

则MnN=(1,2),

故答案为：(1,2)

2.若复数z满意2z+W=3-2i,其中i为虚数单位，则z=1-2i.

【考点】复数代数形式的加减运算._

【分析】设复数z=a+bi,(a、b是实数)，则值=a-bi,代入已知等式，再依据复数相等的含

义可得a、b的值，从而得到复数z的值._

【解答】解：设2=2+历，(a、b是实数)，则占a-bi,

,.•2Z+Q=3-2i,

2a+2bi+a-bi=3-2i,

/.3a=3,b=-2,

解得a=l,b=-2,

则z=l-2i

故答案为：l-2i.

3.若sina=-*,且a为第四象限角，则tana的值等于

【考点】同角三角函数基本关系的运用.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa,进而可求tana的值.

【解答】解：：sina=-2，且a为第四象限角,

■L0

cosxsinx

4.函数f(x)二的最小正周期T=n

sinxcosx

【考点】二阶行列式与逆矩阵；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法.

【分析】利用行列式的计算方法化简f(x)解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一

个角的余弦函数，找出3的值，即可求出最小正周期.

【解答】解：f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,

Vco=2,

/.T=H.

故答案为：n

5.函数f(x)=2x+m的反函数为y=11(x),且丫=11(x)的图象过点Q(5,2),那么

m二1.

【考点】反函数.

【分析】依据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可

得答案.

【解答】解：f(X)=2x+m的反函数丫=11(x),

・.•函数y=f-i(x)的图象经过Q(5,2),原函数与反函数的图象关于y=x对称，

Af（x）=2x+m的图象经过Q，（2,5）,

即4+m=5,

解得：m=l.

故答案为：1.

【考点】双曲线的简洁性质.

【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.

~~2~

【解答】解：双曲线三丫2二1的一条渐近线方程为：x+2y=0,

4

2_

点（1,0）到双曲线三-丫2=1的渐近线的距离是:

14yI

故答案为：点.

If2x-y<0|

7.若x,y满意（x+y43，则2x+y的最大值为4.

hiI

【考点】简洁线性规划.

【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数

得答案.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.

设z=2x+y得y=-2x+z,

平移直线y=-2x+z,

由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，

此时z最大.

f2x-y=0|,Ifx=l|

由1，解得H,即A（1,2）,

x+尸3

代入目标函数z=2x+y得z=1X2+2=4.

即目标函数z=2x+y的最大值为4.

故答案为：4.

8.从5名学生中任选3人分别担当语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担当数学课

代表，共有48种不同的选法（结果用数值表示）.

【考点】排列、组合的实际应用.

【分析】依据分步计数原理，先支配数学课代表，再支配语文、英语课代表.

【解答】解：先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表，再从包含甲在内的4人中选2

人为语文、英语课代表，依据分步计数原理可得，共有A41A42=48种，

故学生甲不能担当数学课代表，共有48种不同的选法.

故答案为48.

9.方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x-2y=0（结

果化为一般方程）

【考点】轨迹方程.

【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x=2t,y=t,消去t即可得到y与x的解

析式.

【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x-2t）2+（y-t）2=t2+4,圆心（2t,t）

则圆心坐标为所以消去t可得x=2y,即x-2y=0.

故答案为:x-2y=0

10.若an是（2+x）n（nGN*,n22,xGR）绽开式中x2项的二项式系数，则

lim(4+…4)=2

n-8a?a?

【考点】数列的极限；二项式定理的应用.

【分析】（2+x）n（其中n=2,3,4,...）的绽开式，Tr+i,令r=2,可得时,再利用求和公

式化简，利用数列的极限即可得出.

【解答】解：（2+x）n（其中产2,3,4,...）的绽开式，.闻引…朗,令r=2,可得:

n

T3=2

；.an是二项式（2+x）11（其中n=2,3,4,...）的绽开式中x的二项式系数,

n(n-1)

•an二

a2

则

9七*+…均芝14(1-匆■-另号+…年思

(2--)=2.

n

故答案为：2.

11.设数列凡)是集合集合=3，+竽，s<t且s,tGN｝中全部的数从小到大排列成的数列，即

ai=4,ai=10,aa=12,a4=28,a5=30,a6=36,将数列｛%｝中各项依据上小下大,左小右

大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则ai5的值为324.

【考点】归纳推理.

【分析】假如用(t,s)表示3s+乎，则4=(0,1)=3°+31,10=(0,2)=3°+32,12=(1,2)

=31+32,....利用归纳推理即可得出.

【解答】解:假如用(3s)表示3s+乎,

则4=(0,1)=3°+31,

10=(0,2)=3°+32,

12=(1,2)=31+32,

28=(0,3)=30+33,

30=(1,3)=31+33,

36=(2,3)=32+33,....

利用归纳推理即可得：ai5=(4,5),则的5=34+35=324.

故答案为：324.

12.曲线C是平面内到直线h：x=-1和直线12：y=l的距离之积等于常数k2(k>0)的点

的轨迹，下列四个结论：

①曲线C过点(-1,1)；

②曲线C关于点(-1,1)成中心对称；

③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线11、12上，则|PA|+|PB|不小于2k；

④设Po为曲线C上随意一点，则点Po关于直线h：x=-1,点(-1,1)及直线f(x)对

称的点分别为Pi、P2、P3，则四边形PoPiP2P3的面积为定值4k2；其中，

全部正确结论的序号是②③④.

【考点】命题的真假推断与应用.

【分析】由题意曲线C是平面内到直线h：x=-1和直线12：丫=1的距离之积等于常数卜2

(k>0)的点的轨迹.利用干脆法，设动点坐标为(x,y),及可得到动点的轨迹方程，然

后由方程特点即可加以推断.

【解答】解：由题意设动点坐标为（x,y）,则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+l||y

-11=k2,

对于①，将（-1,1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；

对于②，把方程中的x被-2-x代换，y被2-y代换，方程不变，故此曲线关于（-1,1）

对称.所以②正确；

对于③，由题意知点P在曲线C上，点A,B分别在直线小｝上，则|PA|N|x+l|,|PB

ly-1一

A|PA|+|PB|N20PA||PBk2k,所以③正确；

对于④，由题意知点P在曲线C上，依据对称性，

则四边形P（）P1P2P3的面积=2|x+l|X2|y-l|=4|x+l||y-l|=4k2.所以④正确.

故答案为：②③④.

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.给定空间中的直线1与平面a,贝!T直线1与平面a垂直"是"直线1垂直于平面a上多数

条直线”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的推断.

【分析】依据充分必要条件的定义推断即可.

【解答】解：若：直线1与平面a垂直"，则"直线1垂直于平面a上多数条直线”，是充分条

件；

若直线1垂直于平面a上多数条直线，则直线1与平面a不肯定垂直，不是必要条件，

故选：A.

14.已知x、yER,且x>y>0,贝!|（）

A.k-^->dB.|4）x-（i）y<0

Ky22_______

C.Iog2x+log2y>0D.sinx-siny>0

【考点】不等式比较大小.

【分析】依据不等式的性质推断A,依据特别值，推断C,D,依据指数函数的性质推断B

【解答】解：因为x>y>0,所以田书故A错误，

因为丫=W*为减函数，故B正确，

因为当l>x>y>0时，log2x+log2y=log2xy<0,故C错误，

因为当XF,y=q-时，sinx-siny<0,故D错误，

故选：B.

15.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建

直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥.

【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，

正方体的边长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,

则正方体的体积为VI=23=8,圆锥的体积为V2餐02・2=图

则该几何体的体积为V=8-图,

故选A.

x2+(4a-3)x+3a,x<CO

16.已知函数f(x)(a>0,且aWl)在R上单调递减，且

loga(x+l)+l,x>0

关于X的方程If(x)I=2-X恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()

【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数推断.

【分析】利用函数是减函数，依据对数的图象和性质推断出a的大致范围，再依据f(x)为

减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围.

【解答】解:y=loga(x+1)+1在［0,+8)递减,则OVaVL

函数f(x)在R上单调递减，贝IJ：

(3-4a、

—2—>0

02+(4a-3)・0+3a〉log(0+1)+1

a________

解得,

由图象可知，在［0,+8)上，|f(x)|=2-x有且仅有一个解,

故在(-8,0)上，|f(x)|=2-x同样有且仅有一个解，

9

当3a>2即a>一时,联立|x?+(4a-3)x+3a|=2-x,

3

则△二(4a-2)2-4(3a-2)=0,

解得a=^或1(舍去),

当lW3aW2时，由图象可知，符合条件,

三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PB、PD与

TT

平面ABCD所成的角依次是石和arctar专，AP=2,E、F依次是PB、PC的中点；

(1)求异面直线EC与PD所成角的大小；(结果用反三角函数值表示)

(2)求三棱锥P-AFD的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.

【分析】(1)分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.利用向量

局与同所成角求得异面直线EC与PD所成角的大小；

(2)干脆利用Vp.AFD=Vp.ACD-VF-ADC求解.

【解答】解：(1)分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

ITFIf

VAP=2,ZPBA=—»ZPDA=arctan—,

・・・AB=2,AD=4,贝!JP(0,0,2),D(0,4,0),E(1,0,1),C(2,4,0),

EC=(1,4,-1)1.|PD=(0,4,-2).

EC>PD183710

.cos<EC,PD>=

IECIIPDI而X2浜「F

3V10

异面直线EC与PD所成角的大小为arccos—-—

(2)VP_AFD=VP_ACD-VF-ACD=J义1"义4X2X2-：X-^-X4X2X1=4.

。乙。乙।J।

18.已知AABC中，AC=1,/研，=等，设NBAC=x,记|f(x)二标•前;

____________O

(1)求函数f(X)的解析式及定义域；

(2)试写出函数f(x)的单调递增区间，并求方程f(x)=《的解.

______6

【考点】平面对量数量积的运算.

【分析】(1)由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f(x)

的解析式.

(2)利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调区间，并求出x的值.

AD

【解答】解：(1)由正弦定理有聿-

/兀7

Isinxsin(-^--x)

—sinx)sinx=-sin(2x+—)

回0E

JT

其定义域为(0,彳)

7171JT

(2)*.*-——+2knW2x，——+2kn,k£Z,

2I6I2

解得

19.已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是(-1,0),长轴长是短轴长的近倍，

直线1与椭圆C交于点A与B,且A、B都在x轴上方，满意NOFA+NOFB=180。；

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)对于动直线1,是否存在一个定点，无论NOFA如何改变，直线1总经过此定点？若存

在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程.

~2~~2~

【分析】(1)由题意可知设椭圆的标准方程为：%+\=l(a>b>0),2a=^・2b,即a=®b,

a'/—―-

代入求得：a2=2,b2=l,即可求得椭圆C的标准方程；

(2)B关于x轴的对称点刷在直线AF上.设直线AF方程：y=k(x+1),代入椭圆方程,

由韦达定理及直线的斜率公式，代入由

x2y1-XJ2Xk(x[+1)+X]Xk(x2+1)

，此能证明直线1总经过定点M(-2,

k(xj+l)+k(x2+l)

22

【解答】解：(1)设椭圆的标准方程为：巳+%=1(a>b>0),

a?b?

由题意可知：2a=|^»2b,即a=|V^b,

由c=l,则a2=b2+c2=b2+l,

代入求得：a2=2,b2=l,

(2)存在一个定点M(-2,0),无论/OFA如何改变，直线1总经过此定点

证明：由OFA+NOFB=180。，则B关于x轴的对称点Bi在直线AF上.

设ACxi，yi),B(X2，y2).Bi(X2，72

|fy=k(x+l)I

设直线AF方程：y=k(x+1),代入122J

Yi-y

AB的方程：y-yi=—i――-9(x-xQ,

X]-x.

-

Yiy9

令y=0,得：Xi-yi*——----

X]-x.

yi=k(xi+1),y2=k(X2+I),

x-yx><k(x|+l)+xXk(x+l)2xjx+x|+x

x:2yiX1221222

yk(x|+l)+k(x2+l)x]+x2+2

ry2

-2,

20.已知函数g(x)=ax2-2ax+l+b(a>0)在区间［2,3］上的最大值为4,最小值为1,记

f(x)=g(|x|),x£R；

(1)求实数a、b的值;

(2)若不等式归位的史超匚^叱比二^对随意xGR恒成立，求实数k的范围；

(3)对于定义在［p,q］上的函数m(x),设x()=p,xn=q,用随意Xi(i=l,2,n-1)

将［p，q］划分成n个小区间，其中xp<xi<xi+i，若存在一个常数M>0,使得不等式|m(x。)

-m(xi)+|m(xi)-m(X2)+-+|m(xn_i)-m(xn)|WM恒成立，则称函数m(x)

为在［p,q］上的有界变差函数，试证明函数f(x)是在［1,3］上的有界变差函数，并求出

M的最小值.

【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义.

【分析】(1)由已知中g(X)在区间［2,3］的最大值为4,最小值为1,结合函数的单调性

及最值，我们易构造出关于a,b的方程组，解得a,b的值；

(2)求出f(x),f(x)+g(x)》logjk-21og2k-3对随意xGR恒成立等价于F(x)

iin=f(X)+g(X)恒成立，求实数k的范围；

依据有界变差函数的定义，我们先将区间［1,3］进行划分，进而推断£m(xi)-m(xi

1=1

-1)|WM是否恒成立，进而得到结论.

【解答】解：(1),函数g(x)=ax2-2ax+l+b,

Va>0,对称轴x=l,

Ag(x)在区间［2,3］上是增函数，

又：函数g(x)故在区间［2,3］上的最大值为4,最小值为1,

JaX22-2aX2+l+b=l

aX32-2aX3+l+b=4'

解得：a=l,b=0.

.*.g(x)=x2-2x+l

故实数a的值为1,b的值为0.

(2)由(1)可知g(x)=x2-2x+l,

Vf(x)=g(|x|),

.*.f(x)=x2-21xI+1,

f(x)+g(x)》log：k-21og2k-3对随意xWR恒成立,

令F(x)=f(x)+g(x)=x2-2x+l+x2-21xI+l=i

［2x2+2,(x<0)

依据二次函数的图象及性质可得F(x)^n=f(1)=0

则F(x)min》(logzk)2-21og2k-3恒成立，即：(log2k)2-21。g2kljwo

令log2k=t,

则有：t2-2t-3W0,

解得：-lWtW3,

即既*'

得：^<k<8

故得实数k的范围为由，8］.

(3)函数f(x)为［1,3］上的有界变差函数.

因为函数f(x)为［1,3］上的单调递增函数,且对随意划分T:l=X0<Xi<...<Xi<...<Xn=3

有f(1)=f(XQ)<f(xi)<...<f(xi)<...<f(xn)=f(3)

所以£|m(xi)-m(xi-1)|=f(xi)-f(xo)+f(X2)-f(xi)<...<f(xn)-f(xn

i=l

-1)

=f(xn)-f(XQ)=f(3)-f(1)=4恒成立,

所以存在常数M,使得£|m(xi)-m(xi-1)|WM是恒成立.

i=l

M的最小值为4,即乂向F4；

21.数列出口的前n项和为Sn，且对随意正整数n,都有Sfn(非；

(1)试证明数列｛bj是等差数列，并求其通项公式；

(2)假如等比数列W共有2024项，其首项与公比均为2,在数列｛aj的每相邻两项组与

组+1之间插入i个(-1)%(iGN*)后，得到一个新数列｛cj,求数列｛cj中全部项的和；

220

(3)假如存在nGN*,使不等式(n+l)(bnk)<(n+l)入<%+1+^—成立，若存在，

14+i

求实数人的范围，若不存在，请说明理由.

【考点】数列的应用；数列与函数的综合.

【分析】(1)n=l