2024年中考数学试题分类汇编：分式方程及其应用（32题）（解析版）

专题08分式方程及其应用（32题）

一、单选题

1.（2024.四川德阳・中考真题）分式方程1=三的解是（）

xx+3

33

A.3B.2C.—D.—

24

【答案】D

【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键.先去分母化分式方程为整式

方程，求出方程的解后再检验即可.

【详解】解：工=三，

去分母，得％+3=5%,

3

解得X=

4

3

当了=1时，x（尤+3）工0,

3一

=■是原方程的解.

4

故选D

2.（2024.甘肃临夏.中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细

心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子

的原价是x元，所得方程正确的是（）

240240240240

A.=10B.=10

Xx+2Xx-2

240240240240

C.=10D.=10

x—2Xx+2X

【答案】C

【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程.根据

降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程.

【详解】解：由题意可得，

240240

--------------=10,

x-2x

故选：C.

3.（2024.四川广元・中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023

年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买48两种绿植，

已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50

株.设B种绿植单价是x元，则可列方程是（）

6750”30003000”6750

A.---------50=B.---------50=

3xX3xX

6750630003000“6750

C.------+50=D.------+50=

3xX3xX

【答案】C

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设8种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据用6750

元购买的A种绿植比用3000元购买的2种绿植少50株，列出方程即可.

【详解】解：设3种绿植单价是龙元，则A种绿植单价是3x元，根据题意得：

6750“3000

------+50=,

3xx

故选：C.

4.（2024•黑龙江绥化•中考真题）一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所

用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速，设未知

数列出方程，解方程即可求出答案.

【详解】解：设江水的流速为xkm/h,根据题意可得：

12080

40+%40-尤’

解得:x=8,

经检验：x=8是原方程的根，

答：江水的流速为8km/h.

故选：D.

5.（2024.广东省.中考真题）方程=々=士的解为（）

x-3x

A.x=3B.x=—9C.x=9D.x=—3

【答案】c

【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的

解.

【详解】解：

x-3x

去分母得：2x=3（x-3）,

去括号得：2x=3x—9,

2

移项、合并同类项得：-％=-9,

解得：x=9,

经检验：尸9是原分式方程的解，

故选：C.

【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增

根.

6.（2024.四川达州.中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先

加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的L2倍，最后两人同时完成.求

乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件.可列方程为（）

A,受-图=3。B,&-受=3。

1.2xxx1.2%

「12012030「12012030

1.2xx60x1.2160

【答案】D

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工L2x个零件，

再根据时间=工作总量+工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可.

【详解】解:设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，

,日汽*/日12012030

由题意得----,

x1.2%60

故选：D.

19

7.（2024.四川泸州.中考真题）分式方程一--3=--的解是（）

B.x=-lD.x=3

【答案】D

【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数

化为1,检验）求解，即可解题.

【详解】解：一--3

%—2

l-3（x-2）=-2,

l-3x+6=-2

x=3f

经检验尤=3是该方程的解，

故选：D.

8.（2024.山东.中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产

100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为（x-100）,根据“改造后生产600件的

时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可.

【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为（X-1。。）,

600400

根据题意，得:

xx-100

解得：%=300,

经检验x=300是分式方程的解，且符合题意,

答:改造后每天生产的产品件数300.

故选：B.

9.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）已知关于x的分式方程个-2=4无解，则左的值为（）

x-33-x

A.k=2或k=一1B.k=-2C.%=2或%=1D.k=—1

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将分式方程去分

母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可.

【详解】解：去分母得，区-2（x—3）=-3,

整理得，（左-2口=-9,

当上=2时，方程无解，

当发/2时，令x=3,

解得％=-1,

所以关于无的分式方程二-2=不二无解时，k=2或k=T.

故选：A.

1m

10.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）如果关于X的分式方程——=0的解是负数，那么实数用的取值

xx+1

范围是（）

4

A.加<1且〃7力0B.m<lC.m>1D.加<1且加力一1

【答案】A

【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的

解是负数得到"2-1<0,并结合分式方程的解满足最简公分母不为0,求出机的取值范围即可，熟练掌握

解分式方程的步骤是解题的关键.

【详解】解：方程两边同时乘以M尤+1）得，x+}-mx=0,

•••分式方程的解是负数,

m—l<0,

m<1,

又<工（九+1）w0,

%+1,

丰-1,

m-1

：・mwO,

「・加<1且机w0,

故选：A.

11.（2024四川遂宁•中考真题）分式方程三2=1-4m一的解为正数，则加的取值范围（）

x-1X-1

A.m>-3B.加>-3且加力-2

C.m<3D.〃z<3且

【答案】B

【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解

的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键.

【详解】解：方程两边同时乘以x-1得，2=x-l-m，

解得X=7"+3,

•••分式方程上27=1-/一m的解为正数，

X—1X—1

m+3>0,

m>-3,

又：Xw1,

即机+3wl,

•*.m^-2,

二册的取值范围为机＞-3且MIW-2,

故选：B.

二、填空题

12.（2024・四川宜宾•中考真题）分式方程=-3=0的解为_________.

x-1

【答案】尤=2

【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解

方程并检验即可.

V-L1

【详解】解：=-3=0,

x-1

x+l-3（x-l）=0,

••-2x=-4,

解得：x=2,

经检验：尤=2是原方程的根，

方程的根为x=2,

故答案为：x=2.

13.（2024・四川广元•中考真题）若点。（x,y）满足工+L=-!-,则称点。为“美好点”，写出一个“美好点”的

xyxy

坐标.

【答案】（2,-1）（答案不唯一）

【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以旧后去分母，令x代入一个数值，得到y的值,

以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键

【详解】解：等式两边都乘以孙，得x+y=l,

令x=2,贝=

“美好点”的坐标为（2,-1）,

故答案为（2,-1）（答案不唯一）

14.（2024・湖南省.中考真题）分式方程3=1的解是_____.

x+1

【答案】X=1

【分析】先给方程两边同乘最简公分母X+1,把分式方程转化为整式方程2=x+l,求解后并检验即可.

6

【详解】解：方程的两边同乘X+1,得2=x+l,

解得x=l.

检验：当x=l时,x+1=2/0.

所以原方程的解为x=L

故答案为：x=l.

【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键.

Yy-I-1

15.（2024・湖北武汉.中考真题）分式方程一===的解是____.

x-3x-1

【答案】x=—3

【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键.首先等号两边同时

乘以（》-3乂X-1）完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案.

X_X+1

【详解】解:

x—3x—1

等号两边同时乘以（x-3）（x-l）,得（x—l）x=（x-3）（x+l）,

去括号，得了2—尤=f—2x-3,

移项、合并同类项，得x=-3,

经检验，x=-3是该分式方程的解,

所以，该分式方程的解为x=-3.

故答案为：x=-3.

4kx_1

16.（2024・四川达州•中考真题）若关于x的方程一^-J=1无解，则％的值为____

x-2x—2

【答案】-1或2

【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到户备，再根据分式方程无解得到左+1=。

或£=2,解关于左的方程即可得到答案.

3kx-1

【详解】解:

x—2x—2

去分母得：3-Ax+l=x-2,

解得：％=£,

k+\

4kx—1

••・关于X的方程一\-J=1无解，

x—2x—2

当％+1=0或S=2时，分式方程无解,

Z+1

解得：上=-1或左=2（经检验是原方程的解）,

3kx—1

即上=一1或左=2,二工一口=1无解.

x-2x-2

故答案为：-1或2.

17.（2024・北京・中考真题）方程7r二+工=。的解为.

【答案】x=-l

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键.

先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根.

【详解】解：—+-=0

2%+3x

%+2x+3=0,

解得：x=-l,

经检验：x=-l是原方程的解，

所以，原方程的解为x=-1,

故答案为：x=­l.

2

18.（2024•浙江•中考真题）若一-=1,则苫=

x-1

【答案】3

【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【详解】解：去分母得：2=x-1,

移项合并得：-x=-3,

解得：x—3,

经检验，x=3是分式方程的解，

故答案为：3

19.（2024・四川凉山•中考真题）方程三=士的解是_____

x-3x

【答案】x=9

【分析】观察可得最简公分母是x（尤-3）,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.

【详解】解:方程的两边同乘x（尤-3）,得

3x-9-2x,

解得x=9.

检验：把x=9代入x（x-3）=54^0.

8

•••原方程的解为：x=9.

故答案为：x=9.

13

20.(2024.四川成都・中考真题)分式方程一二=三的解是—.

x-2x

【答案】x=3

【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3(x-2),求出整式方程的解得到x=3,经检验x=3

是分式方程的解，即可得到分式方程的解.

考点：解分式方程

21.(2024・重庆・中考真题)若关于x的一元一次不等式组3一的解集为彳<4,且关于V的分式

4%-2<3%+〃

方程T--+=1的解均为负整数，则所有满足条件的整数。的值之和是______.

y+2y+2

【答案】12

【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的

两个不等式，再根据不等式组的解集求出。>2；解分式方程得到丫=与电，再由关于y的分式方程

W一一三=1的解均为负整数，推出。<10且“r6且。是偶数，贝U2<。<10且。H6且a是偶数，据止匕

y+2y+2

确定符合题意的。的值，最后求和即可.

4x—2<3x+a(2)

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：彳<。+2,

•••不等式组的解集为xW4,

•*-a+2>4,

<2>2;

解分式方程个-/y=1得y==3，

y+2y+22

•••关于y的分式方程Y--%=1的解均为负整数,

y+2y+2

・・・^—<0且是整数且y+2=^—+2w0,

10且aw6且。是偶数，

•**2<a<10且且a是偶数，

・•・满足题意的a的值可以为4或8,

所有满足条件的整数。的值之和是4+8=12.

故答案为：12.

22.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）若分式方程」7=3-产的解为正整数，则整数机的值为____

x-11-x

【答案】-1

【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数加的值即可.

【详解】解：^7=3-产，

x-11-x

化简得：9=3+9，

X—1X—1

去分母得：x=3（x-l）+7nx,

移项合并得：（2+机卜=3,

解得：*=一一，

由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+,〃=1或2+机=3,

解得：机=-1或m=1（舍去，会使得分式无意义）.

故答案为：-1.

三、解答题

23.（2024.内蒙古包头.中考真题）（1）先化简，再求值：（X+1）2-2（X+1）,其中X=20.

二一2=上

（2）解方程:

x-4x-4

【答案】（1）x2-l,7；（2）尤=3

【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是:

（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把无的值代入计算即可；

（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1,检验，解分式方程即可.

【详解】解：(1)(x+1)2-2(^+1)

=x2+2尤+1-2尤一2

=元?-1,

当x=2应时，原式=(2^)2-1=7；

(2)--2=—

x-4x-4

10

去分母，得x-2-2（x-4）=x,

解得x=3,

把x=3代入x—4=3—4=-1/0,

•*-x=3是原方程的解.

24.（2024・四川自贡.中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.己知七

（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所

用的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.

【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子.

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用.设乙组每小时包无个粽子，则甲组每小时包（彳+20）个粽子，

根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结果.

【详解】解：设乙组平均每小时包x个粽子，则甲组平均每小时包（x+20）个粽子,

由题意得:

150

—,解得:x=80,

龙+20X

经检验：x=80是分式方程的解，且符合题意,

分式方程的解为：x=80,

x+20=100

答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子.

.13

25.（2024•广东广州•中考真题）解方程：---=

2龙-5x

【答案】x=3

【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验.依次去分母、去括号、

移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案.

1_3

【详解】解:

2x-5x

去分母得：x=3（2x-5）,

去括号得：x=6x-15,

移项得：X—6x=—15,

合并同类项得：-5光=-15,

解得：x=3,

经检验，x=3是原方程的解,

该分式方程的解为x=3.

26.（2024.江苏扬州.中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、8两种机器，A型机器比8

型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相

等.8型机器每天处理多少吨垃圾?

【答案】8型机器每天处理60吨垃圾

【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型.

设8型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（尤+40）吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案.

【详解】解：设B型机器每天处理无吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾,

500300

根据题意，得

x+40x

解得x=60.

经检验，x=60是所列方程的解.

答：2型机器每天处理60吨垃圾.

27.（2024•山东威海•中考真题）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时.后

购进一批相同数量的8型节能灯，一年用电9600千瓦•时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏8型节能灯

每年用电量的2倍少32千瓦•时.求一盏A型节能灯每年的用电量.

【答案】160千瓦.时

【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验.根据两种节能灯数量相等列式

分式方程求解即可.

【详解】解：设一盏5型节能灯每年的用电量为了千瓦•时,

则一盏A型节能灯每年的用电量为（2%-32）千瓦.时

160009600

2x-32x

整理得5元=3（2彳-32）

解得x=96

经检验：x=96是原分式方程的解.

2x-32=160

答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时.

2x

28.（2024.陕西・中考真题）解方程:-O---------1--------------=1.

X—1X~1

【答案】x=-3

【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程

的解进行检验即可.

12

【详解】解：$2+3x=1,

X-1x-1

去分母得：2+x(x+l)=d—1,

去括号得：2+尤2+*=%2—1,

移项，合并同类项得：x=-3,

检验：把x=—3代入(x+l)(x—1)得:(一3+1)(-3-1)=8H0,

x=-3是原方程的解.

29.(2024・广西•中考真题)综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达

到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5kg水.

浓度关系式：*=2留场.其中“、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所

加清水量(单位：kg)

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为Q01%,需要多少清水？

(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

(3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.

(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；

(3)两次漂洗的方法值得推广学习

【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；

(1)把d后=0.01%,d前=0.2%代入d=乎场，再解方程即可；

0.5+w

(2)分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；

(3)根据(1)(2)的结果得出结论即可.

【详解】(1)解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入d=平%

0.5+w

得OQ%=21等

解得w=9.5.经检验符合题意;

.••只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.

(2)解：第一次漂洗:

把"2kg，踹=。2%代入*豫

X…

第二次漂洗:

把w=2kg,…。.04%代入y黑

jfU0.008%<0.01%,

.••进行两次漂洗，能达到洗衣目标；

(3)解：由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，

从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.

30.(2024•重庆・中考真题)某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、

乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购

买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比3种外墙漆每千克的价格多2元.

(1)求A、8两种外墙漆每千克的价格各是多少元？

4

(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务

所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？

【答案】(DA种外墙漆每千克的价格为26元，则8种外墙漆每千克的价格为24元.

(2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.

【分析】本题考查的是分式方程的应用