2024年河南省南阳市镇平县中考二模考试数学试题（解析版）

2024年春期九年级中招模拟训练

数学试卷（一）

2024.5

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列各数中，比T小的数是（）

A.-V2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查实数的大小比较，将选项数字和-1逐个比较大小即可得解.

【详解】解：：—夜<-1<0<1>

，比一1小的数是一④，

故选：A

2.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号尸遥十七运载火箭，在酒

泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道，发射取得圆满成功将“圆满发射成功”六个字分别写在某正方

体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“圆”字所在面相对的面上的汉字是（）

【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的问题，根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔

一个，即可解答，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键.

【详解】在原正方体中，与“圆”字所在面相对的面上的汉字是“功。

故选：D.

3.党的二十大报告指出：十年来，我国建成了世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系,

教育普及水平实现了历史性跨越，基本养老保险覆盖了十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之

九十五.数据“十亿四千万”用科学记数法表示为（）

A.104xl07B.10.4xl08C.1.04xl08D.1.04xl09

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法的运用，根据科学记数法的形式ax10"（14。＜10）,确定〃的方法是看

小数点移动的位数，把原式变为。时，小数向右移动几位，〃的值为移动位数的相反数；小数点向左移动

几位，〃的值为几，由此即可求解，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

【详解】解：十亿四千万=1040000000=1.04x109,

故选：D.

4.如图一把直尺和一个含45。角的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上）,

若N2=72。，则N1的度数是（）

A.15°B.18°C.22°D.28°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质定理，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键.

直接利用“两直线平行，同位角相等”结合平角即可求解.

【详解】解：如图:

由题意得：AB//CD,/4=90。,

Z2=Z3=72°,

,ZZl+Z3+Z4=180°,

.­.Zl=180o-72°-90o=18°,

故选：B.

5.下列运算正确的是()

A.V2-2V2=-1B.(m-2)2=m2-2m+4

C.（机2〃J=633412

mnD.2m-m-2m

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了整式的乘法，幕的运算与二次根式的加减；根据相关运算法则计算即可；掌握运算法

则是关键.

【详解】解：A、V2-2>/2=-V2«故错误；

B、（m-2）2=m2-4m+4,故错误；

C、（机?〃）=m6n3,故正确；

D、2m3-m4=2m7>故错误；

故选：C.

6.下图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是（）

月销售量

III」I____IIIIII_____

°12345678910月份

A.这10个月的月销售量的众数为28

B.这10个月中7月份的月销售量最高

C.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差

D.4月至7月的月销售量逐月增加

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了折线图，众数、方差等知识，解题的关键知道方差是描述波动程度的量，方差越大，

波动越大.

【详解】解：A.这10个月的月销售量的众数为28出现了两次，出现次数最多，故众数为28,选项说法

正确，不符合题意；

B.这10个月中7月份的月销售量为40,为最高，选项说法正确，不符合题意；

C.前5个月的月销售量的波动程度小于后5个月的波动程度，故方差小于后5个月的方差，选项说法错

误，符合题意；

D.4月至7月的折线图是上升的，故月销售量逐月增加，选项说法正确，不符合题意;

故选：C.

7.关于x的一元二次方程必一%-左2=。根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D,无法判断

【答案】B

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解；

【详解】解：,.,。=1/=-1,C=-左2,

D=〃-4ac=（-lJ-4'1'（-左2）=4左2+i>o,

该方程有两个不相等的实数根.

故选：B

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程办2+6x+c=0（a#0）,当

△=〃-4ac〉0时，方程有两个不相等的实数根；当A=户-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当

△=〃—4这<0时，方程没有实数根是解题的关键.

8.如图，点。是448C外接圆的圆心，点/是的内心，连接08,IA.若NO8C=20。，则NC4/

的度数为（）

B.25°C.30°D.35°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接03,由

等腰三角形的性质和三角形内角和定理得NBOC=140°,进而由圆周角定理得

ZBAC=-ZBOC=1Q°,再根据内心的定义可得=据此即可求解，掌握内心的定义

22

是解题的关键.

【详解】解：连接05,

0B=0C,

：.Z0CB=ZOBC=20°,

/.ZBOC=180°—2x20。=140°,

ZBAC=-ZBOC=10°,

2

:点/是AA8C的内心，

ZCAI=-ABAC=-x70°=35°,

22

故选：D.

9.若反比例函数y=((左力0)经过点(-2,1),则一次函数y=kx+k的图象一定不经过()

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】此题考查了一次函数图象和性质、求反比例函数解析式，先利用反比例函数歹=£(k70)经过点

(-2,1),求出左二-2,再判断一次函数经过的象限即可.

【详解】解：•..反比例函数y=±(左H0)经过点(-2,1),

-2

k——2,

・♦・一次函数为y=一2x-2,

-2<0,

一次函数为y=-2x-2的图象经过二、三、四象限，一定不经过第一象限，

故选:A

10.如图1,在正方形4BCZ）中，点£是对角线AD上一动点，点厂是8C的中点.设DE=x,CE+

EF=y,已知了与x之间的函数关系图象如图（2）所示，点M（加,岔）是图象的最低点，那么冽的值为

图⑴图（2）

472

D.272-1

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握利用轴对称

得到最短距离是解题的关键.

连接则得到4E=CE,即当点E在//上时，如图，4£+0的值最

小，此时了的值最小，然后证明根据相似三角形的性质解题即可.

【详解】由正方形的性质可知点力，C关于直线AD对称，连接/E,4F,

VZ8CD是正方形,

/.DA=DC,NADE=NCDE,

又,：DE=DE,

△ADEQZ\CDE,

/.AE=CE,

:.CE+EF=AE+EF,

即当点E在/下上时，如图，+的值最小，此时了的值最小，

•••AF="

•・,点R是5C的中点,

:.BF=-CB,

2

设BF—n,则AB=BC=2%

AF=Mn，

/.yl~5n=V5，

解得〃=1,

/.AB=2,

/.=2亚，

・.・AD〃BC,

ZADB=ZDBF,ZDAE=ZBFE

:."DEs小FBE,

DEADc

••二二2,

BEBF

:.DE=-BD=^^，

33

故选B.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.明明用/秒走了s米，他的速度是m/s.

【答案】一

t

【解析】

【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.根据速度=路程+时间可得

出答案.

【详解】解：由题意得，他的速度为-m/s.

S

故答案为:

x—1<2+4x

12.不等式组1x的解集是.

[3

【答案】—l<x〈3

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键.

分别求解每一个不等式，再取公共部分的解集即可.

x-1<2+4x(1)

【详解】解：,色<]②

由①得：x>—1J

由②得：x<3,

...原不等式组的解集为：-l<x43,

故答案为：-l<x<3.

13.今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根

据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪

录.甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为

【答案】y

【解析】

【分析】本题考查了用列表或画树状图法求概率和概率公式.画树状图，共有16种等可能的结果，甲、

乙两人选择同一部电影的结果有4种，再利用概率公式进行计算即可.

【详解】解：A表示《热辣滚烫》、B表示《飞驰人生2》、C表示《熊出没逆转时空》、D表示《第二十

条》，

画树状图如下：

开始

ABCDABCDABCDABCD

共由16种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，

41

甲、乙两人选择观看相同影片的概率为：—

164

故答案为：—■

4

14.如图，扇形/08的圆心角N4O8=60°,半径04=4,点尸为扇形内一点，且。尸，8P,延长。尸

交蕊于点C,当4P+AP取最小值时，则图中阴影部分的面积为.

【解析】

【分析】本题考查扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质求

出。尸，尸3的长.当A、P、8共线时，4P+可取最小值，当A、尸、B共线时，4P+P5取最小值,

证明4P=AP,ZBOP=-ZAOB=30°,证明ANOB是等边三角形，得至1」。尸=26，

2

AP=PB=；AB=2,求出S“o?=2百，根据阴影部分的面积=S扇形Z0P-S&AOP即可得到答案.

【详解】解：当A、P、B共线时，4P+P8取最小值，

•/OPLBP,OA=OB,

:.AP=BP,ZBOP=-ZAOB=30°,

2

VZAOB=60°,AO=OB,

・••/08是等边三角形，

c

AB=OA=4,OP=-^—AO>

2

.•.0尸=2百，AP=PB=^AB=2,

.9.SAOP=-AP-OP=-x2x2yj3=243f

■22

•••阴影部分的面积=S扇形四—S"=型等寸—26=?一20.

3603

故答案为：----2M.

3

15.在矩形48CD中，45=8,点E为4s的中点，点/在边4D上，且22bDF.连接E厂，FC

和EC,若ACE尸为直角三角形，则4D的长为.

【答案】12或46##4G或12

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，分情况讨论：当NC£E=90°时,当NCFE=90°时，根

据同角的余角相等推出两个相似的三角形，根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：：48=8,点E为48的中点，

：.EA=BE=-AB=4,

2

在矩形A8CD中，AB=CD=8,AD=BC,

2AF=DF,

/.BC=AD=3AF,

①当NCEE=90°时，如图1所示.

图1

可知/幺£/+/8£。=90°,ZAEF+ZEFA=90°,

NBEC=NEFA.

•••NA=NB,

；.LEAFsACBE.

EAAF4AF

---=----,即an-----=----

CBBE3AF4

解得4F=迪.

3

•1•AD=3AF=4\/3•

②当NC£E=90°时，如图2所示

EAAF4AF

---=----,即B-----=----

FDDC2AF8

解得4F=4.

AD=3AF=12.

ZECF<90°,

・•.NECF不可能为直角.

综上所述，/D的长为12或4G.

故答案为：12或4G.

三、解答题.(本大题共8个小题，满分75分)

16.计算：

Q

【答案】(1)—

9

(2)1-x

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先化简零次累、绝对值、负整数指数累，再运算加减，即可作答.

(2)先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答.

【小问1详解】

1

解:j十2|+3-2

2

1-X2X+1

XX

(x+l)(x-l)X

—zx

Xx+1

—1—X-

17.近些年很多家庭喜欢在家里种植几株草莓，既可以美化环境，也为生活增添了乐趣.小华家今年种植了

甲、乙两个品种的草莓各10株，为了对两个品种的草莓进行比较并推荐给自己的好朋友，他将每株草莓的

果实重量(克)做了如下记录并分析：

11

甲120130140150100160130150110

0

乙1101601701401301906080100160

分析:

平均数中位数方差

甲130130S甲2

乙130aS乙2

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表格中的。=,S/s乙2；(填“>”"=”或“<”)；

(2)综合上表的分析，你认为小华应选择哪个品种的草莓推荐给好友？理由是什么？

(3)通过预估，好朋友家的花园能够种植草莓一百株，根据上面信息，分别计算甲、乙两个品种可能收

获果实多少克？

【答案】(1)135,<

(2)推荐甲品种，因为在平均数相同的情况下，甲的方差小于乙的方差，所以甲品种的果实重量更均匀,

更稳定

(3)13000克

【解析】

【分析】(1)根据中位数和方差的定义即可解答；

(2)结合统计表，合理分析即可(答案不唯一)；

(3)用平均数乘种植的株数，即可解答.

本题考查了中位数，方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是

能根据中位数、方差的意义对本题进行分析.

【小问1详解】

解:依题意,将乙品种的数据按照从小到大的顺序排列，可得60、80、100、110、130、140、160、照0、

170、190,

从中可以发现中间的两个数分别为130、140,

(130+140)^2=135,所以中位数。=135；

从表格中可以发现甲品种的数据大约分布在100至160之间，甲品种的数据大约分布在60至190之间，

可以得出甲品种的数据比乙品种的数据波动更小，所以，甲品种数据的方差也比乙品种数据的方差小；

故答案为135,<.

【小问2详解】

解推荐甲品种，因为在平均数相同的情况下，甲的方差小于乙的方差，所以甲品种的果实重量更均匀(答

案不唯一，合理即可).

【小问3详解】

解：130x100=13000(克)，

答：甲、乙两个品种可能收获果实均为13000克.

18.如图，。<9的直径4S=4,8c切于点B,连接幺C交OO于点连接OD.

(1)取的中点E,连接。£.当NZ的度数为时，四边形ODCE为平行四边形;

(2)若NC=30°,求的长.

【答案】⑴45°(2)6

【解析】

【分析】(1)利用三角形的中位线定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质解答即可；

(2)连接AD,利用圆的切线的性质定理得到N45C=90。,利用含30。角的直角三角形的性质，勾股定理

解答即可.

【小问1详解】

当44=45°时，四边形ODCE为平行四边形，理由：

；OA=OB,BE=EC,

为4c的中位线，

：.OE\\AC.

若四边形ODCE为平行四边形，则ODII8C,OD=EC.

BE

：.OD=OB,BE=EC,

OB=BE

NABC=90°,

AOBE为等腰直角三角形，

ZBOE=ZBEO=45°,

■：OE\\AC,

：.ZA=ZBOE=45°.

...当NZ=45。时，四边形ODCE为平行四边形.

故答案为：45°；

【小问2详解】

的直径48=4,8C切。。于点8,

ABVBC,

...4=30°,

:.AC=2AB=S,

BC=」AC?-AB?=473，

连接8£>,如图，

1/45为。。的直径，

ZBDC=90°,

:.ZC=30°,

:.BD=-BC=2y/3,

2

:.CD=三BC?-BD。=6-

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，含30。角的直角

三角形的性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，连接AD得到直径所对的圆周角是解决此类问

题常添加的辅助线是解题的关键.

4

19.如图，平行四边形048c的边0c在无轴正半轴上，反比例函数y=—（x>0）的图象经过点4X加）,

X

。是。/边的中点.

dk1\------I/B

（1）直接写出m的值为；点D的坐标为；

（2）尺规作图：在边上求作一点E,连接。£,使。£〃x轴（保留作图痕迹，不写作法）

4

（3）若£>£交反比例函数>=—（》>0）的图象于点尸.连接。尸、AP,求

x

（\\

【答案】⑴4；-,2

）

（2）见解析（3）3

【解析】

4

【分析】（1）把点4（1,冽）代入y=—求得加的值，利用中点坐标公式，求出点。的坐标;

（2）作线段5C的垂直平分线交于点区作直线直线。£即为所求；

（3）先求出尸的坐标，利用尸•（”—了。）进行求解即可.

【小问1详解】

44

解：把点4（1,加）代入>=—得机=一=4,

x1

•；N（1,4）,。是04边的中点，

【小问2详解】

解：作线段8C的垂直平分线交于点£,作直线DE,直线£>£即为所求，如图所示:

解：•.•点2（1,4）,。是CU边的中点，点

二尸点的纵坐标为2,

4

把了=2代入y=—（x>0）,得x=2.

・・・点尸（2,2）.

13

：.DP=2——二一.

22

113

•1-5想0=5。尸•（"一%）=5*5乂（4-0）=3.

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性

质，尺规作图，三角形的面积公式.熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键.

20.为让学生感悟自然界和生活中的数学，王老师组织大家周末到户外，同学们发现休闲广场水平地面上

放置两个同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子.同学们对球形石墩的半径十分感兴

趣，观察并绘制了如图所示的平面示意图，OZ和。8是两球的主视图，均与地面1相切，太阳光线与地

面的夹角是70°,由此得到N8QN=35。，ZAPM=55°,已知W=1.70m,PQ=0.21m请根据以

上数据求出球的半径8N.（参考数据：sin350»0.57,cos350®0.82,tan350»0.70,结果精确到0.1

m)

【答案】0.7米.

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形，涉及了圆的切线的性质定理，根据题意可得和△3NQ都是直角

BNr

三角形.在RtAZM5中可得儿0=NMtan35°aO.7r,在Rt/^N。中可得QV=--------。一,据此即

tan35°0.7

可求解；

【详解】解：与。都相切，

A4WP和ABN。都是直角三角形.

设球的半径为r.

在RtANMP中，由N4PM=55°,得乙4=35°,

MP=ZAftan35°«0.7r.

在Rtz^NQ中，4BQN=35°,

•;MN=1.7,PQ=0.21,

：.0.7r+0.21+—=1.7.

0.7

解得”0.7.

答：球的半径8N约为0.7米.

21.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育

用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为尤元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象

如图所示.

(1)分别求y甲，y乙关于无的函数关系式；

(2)两图象交于点A,求点A坐标；

(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

x(0<x<300)

【答案】⑴y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为丁乙=八；…、二、

0.7x+90(x>300)

(2)(600,510)

(3)当x<600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当无>600时，选择乙商店

更合算.

【解析】

【分析】(1)根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；

(2)根据(1)的结论列方程组解答即可；

(3)由点力的意义并结合图象解答即可.

【小问1详解】

由题意可得，y甲=085x；

乙商店：当g烂300时，p乙与x的函数关系式为y乙=苫；

当x>300时，y乙=300+(x-300)x0.7=0.7x+90,

x(0<x<300)

由上可得，>乙与x的函数关系式为y乙=

0.7x+90(x>300)

【小问2详解】

y申=0.85xx=600

由<-,解得4

j乙=0.7x+90/乙=510'

点/的坐标为(600,510)；

【小问3详解】

由点/的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，

结合图象可知，

当x<600时，选择甲商店更合算；

当x=600时，两家商店所需费用相同；

当x>600时，选择乙商店更合算.

【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函

数的性质解答.

22.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分

（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离

计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的

高度04为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为/zm（力为定值）.设运动员从起跳点工

起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=ax2+bx+c（a丰0）.

19

（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时。=-弟力=历，求基准点K的高度队

②若。=一,时，运动员落地点要超过K点，则6的取值范围为；

50-------------

（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过K点,

并说明理由.

9

【答案】（1）66（2）①基准点K的高度〃为21加；②6>—；

（3）他的落地点能超过K点，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据起跳台的高度04为66%,即可得c=66；

1919

(2)①由。=----，b=—，知y=—-X2H-------x+66,根据基准点K到起跳台的水平距离为75加，即

50105010

得基准点K的高度〃为21加；

②运动员落地点要超过K点，即是x=75时，y>21,故-茄X752+753+66>21,即可解得答案；

(3)运动员飞行的水平距离为25加时，恰好达到最大高度76%,即是抛物线的顶点为(25,76),设抛物

2

线解析式为y=a(x-25)2+76,可得抛物线解析式为y=-(x-25)2+76,当x=75时，y—36,从

而可知他的落地点能超过K点.

【小问1详解】

解：：起跳台的高度。/为66加，

：.A(0,66),

把/(0,66)代入y=ax2+6x+c得：

c=66,

故答案为：66；

【小问2详解】

.1,9

..y-——-----x+66,

,5010

:基准点K到起跳台的水平距离为75m,

.1,9

.•y=—-X752H-----x75+66=21,

-5010

基准点K的高度力为21加；

y=——N+bx+66,

-50

运动员落地点要超过K点,

.•.当x=75时，y>21,

即-」-义752+75计66>21,

50

9

解得b>一,

10

9

故答案为：b>—；

10

【小问3详解】

解：他的落地点能超过K点，理由如下：

•••运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,

...抛物线的顶点为(25,76),

设抛物线解析式为y=a(x-25)2+76,

把(0,66)代入得：

66=。(0-25)2+76,

2

解得a=

125

，抛物线解析式为>=-2(x-25)2+76,

125

2

当尤=75时，y=--------x(75-25)2+76=36,

125

V36>21,

,他的落地点能超过K点.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键