2024学年初中数学能力提升题专项 勾股定理 练习(附答案)

2024学年初中名校数学能力提升题专项（勾股定理）练习

班级：姓名：得分:

注意事项：

本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2023春•忻城县期中）在Rt448C中，ZC=90°,且/3=10,BC=6,则NC等于（）

A.12B.8C.4D.2

2.（2023春•黔西南州期末）如图，在△N2C中，/3=90°,AC='J2,则/加+台^的值是（）

3.（2023秋•涕水区期中）在△N8C中，ZC=90°,N4,ZB,NC的对应边分别是a,b,c,则下列式

子成立的是（）

A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2

4.（2023秋•西安月考）如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形4的

5.（2023春•合川区校级期中）平面直角坐标系内，点P（1,V3）到原点的距离是（）

A.y/2B.2C.V3+1D.4

6.（2023春•中宁县期末）如图，在△48C中，AB=AC=4,ZB=15°,CD是腰N8上的高，则的长

A.4B.2C.1

7.（2023春•普陀区校级期末）如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为

圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点则点4表示的数是（）

-1A1

A.-72B.1-72c.-1+72D.-1-'/2

点4,3都在格点上，若AC卫磐，则3C

8.（2023春•兰山区期末）如图，边长为1的正方形网格图中，

的长为（）

/人

__________

____N_______

一1______

Lxf11111

B

「

A\/13Rxfl3W15D.713

323

9.（2023秋•高新区校级月考）如图,Rt44BC中,ZC=90°AC=6cm,BC=Scm,AD平分■/CAB,交

BC于D,DELAB于E,则CD等于（）

一

CDB

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

10.（2023秋•海曙区期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国算术《周髀算经》中早有记载.如

图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片,再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置

在最大正三角形纸片内.若已知图中阴影部分的面积,则可知（）

T

A.直角三角形纸片的面积

B.最大正三角形纸片的面积

C.最大正三角形与直角三角形的纸片面积和

D.较小两个正三角形纸片重叠部分的面积

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（2023秋•漂阳市期中）若直角三角形两直角边长分别为9和40,则斜边长为.

12.（2023秋•天桥区校级月考）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点N表示（3,4）,则04=

13.（2023秋•临沐县校级月考）在△/8C中，BC=6,2C边上的高40=4,且AD=2,则△/CD的面积

为_______

14.（2023春•中山市期末）平面直角坐标系中有两点/（机，-1）,B（3,4）,当加取任意实数时，线段

48长度的最小值为.

15.（2023秋•建邺区校级期中）如图，△N8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,若C”是△N8C的高线，

则CH=.

16.（2023秋•秦淮区期中）如图，在RtZX/BC中，ZACB=90°,AB=4cm,分别以NC,8c为边作正方

2

形，面积分别记为S2,则5[+邑=cm.

17.（2023秋•云岩区月考）如图，在RtZX/BC中，ZABC^90°,/C=5,5c=<5，分别以△/2C的三

边为直径画半圆，则两个月形图案（阴影部分）的面积之和是

18.（2023秋•仁寿县校级月考）如图，已知在中，ZACB=90°,/C=8,8c=16,。是/C上

的一点，CD=3,点尸从8点出发沿射线8c方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点尸的运动时间

为t.过点。作于点E.在点P的运动过程中，当f为时，能使DE=CZ）?

三、解答题（本大题共6小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（2023秋•温州期中）如图，在△4BC中，AB=AC,4D平分/R4C,已知3c=10,AD=12,求NC

的长.

20.（2023秋•玉林期中）如图，在△N8C中，ZC=90°,ZABC=60°,BD平分/ABC,若4D=6,求

□

线段CD的长.

21.（2023秋•碑林区校级期中）在△NBC中，/2=13,3c=14,NC=15,4D为2c边上的高，求4D的

长.

22.（2023秋•苏州期中）如图1,将长为20+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2

所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形.

（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；

（2）已知图2中小正方形面积为36,求大正方形的面积？

2a+3

23.（2023春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了

一种证明勾股定理的方法：如图1点2是正方形/CDE边CD上一点，连接/S得到直角三角形/C2,

三边分别为a,b,c,将△NC8裁剪拼接至△/跖位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变

证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.

CaBCaB

24.（2023秋•大丰区期中）如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AB=10cm,AC：BC=3：4,动点P从

B出发沿射线BC以Icm/s的速度运动，设运动时间为t（s）.

（1）求8c边的长.

（2）当△A8P为等腰三角形时，求f的值.

BP

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（20223春•忻城县期中）在中，ZC=90#,且48=10,BC=6,则4c等于（）

A.12B.8C.4D.2

【详细分析】由勾股定理可直接得出结果.

【过程解答】解：由勾股定理得：-<C=VAB2-BC2=V102-62=8'

故选:B.

2.（20223春•黔西南州期末）如图，在中，Zfi=90°,AC=、2,则的值是（）

Ba---------

A.2B.3C.2V2D.4

【详细分析】由勾股定理可直接得出结果.

【过程解答】解：由勾股定理得：

即川2用,2=（如）2s2,

故选：A.

3.（20223秋•涕水区期中）在△K8C中，ZC=90a,ZA,NB,NC的时应边分别是a,b,c,则F列式

子成立的是（）

222222222

A.a+i=cB.a+<^=bC.a-b=c1D.i+c=o

【详细分析】根据勾股定理进行过程解答即可.

【过程解答】解：；/。=90°,ZA.N8、NC的对应边分别是a、b、c,

：.（f+b2=<^.

故选：A.

4.（20223秋•西安月考）如图，三个正方形围成一个直角二角形，图中的数据是它们的面积，则正方形/

的面积为（）

36

A.72B.64C.60D.54

【详细分析】根据勾股定理和正方形面枳的公式直接可得答案.

【过程解答】解：由勾股定理得，图形4的而枳为100-36=64,

故选：B.

5.（20223春•合川区校级期中）平面直角坐标系内，点尸（1,“）到原点的距离是（）

A.V2B.2C.V3+1D.4

【详细分析】直接利用两点间的距离公式可得答案.

【过程解答】解：由两点间距离公式得，＜?P=V12+（V3）2=21

故选：B.

6.（20223春•中宇县期末）如图，在△.48C中，.45=/C=4,Z5=15°.8是腰X8上的高，则8的

A.4B.2C.1D.—

2

【详细分析】根据二角形外角的性质得NR4c=30°,再利用含30。角的直角三角形的性质可得CO的

长.

【过程解答】解：ZB=15°,

.,.ZJCB=Z5=15°,

：.ZDAC=3Q°,

CD是腰.48上的高，

：.CD1AB.

：.CD=—AC=2,

2

故选:B.

7.（20223春•普陀区校级期末）如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点

为圆心、正方形的时角线及为半径画弧，交数轴丁点X,则点/表示的数是（

C.-1+V2D.-1-V2

【详细分析】利用勾股定理求出正方形的时角线长，从而得出答案.

【11桂髀苔】*¥：.正力力的炫tc为I,

•••对角线长为Y12+]2=&,

...点X表示的数是1-V2.

故选：B.

8.（20223春•兰山区期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点4,8都在格点上，若AC一师,则

B・华

D.VI3

【详细分析】根据勾股定理求得月8的长度，然后根据线段的和差即可得到结论.

【过程解答】解：•••/8=后:?=2疝，吐丝3一

：.BC=AB=AC=2>T\3-

33

故选：C.

9.（20223秋•高新区校级月考）如图，RtZ\48C中，ZC=903,AC=6cm,BC=Scm,3平分NC48,

交BC于D.DELAB于E,则等于（）

DB

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【详细分析】首先利用勾股定理求出.48,然后利用角平分线的性质得到。=OE,在中，利

用勾股定理建立方程求解即可.

【过程解答】解：是NC4B的平分线，DEVAB,ZC=90,

：.CD=DE,

在RtZUCD和RtA.4£D中，

|AD=AD

ICD=ED'

)@RtZUEO(HL'),

•*»ACJ=AE=6cm9

•；4C=6cm,BC=8cm,

：.AB=y/^Q2+BC2=IOCTO.

.\BE=AB-AE=10-6=4(cm),

设Z)E=KCTM,则CD=xsnBD=(8-x)cm,

在RtADEB中，BD1=DE1+BE1,

:.(8-x)2=X2+42,

:・x=DE=3.

故选:B.

10.(20223秋•海曙区期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算术《周髀算经》中早有记载.如

图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置

在最大正三角形纸片内.若已知图中阴影部分的面积，则可知()

A.宜角二角形纸片的面积

B.最大正三角形纸片的面积

C.最大正三角形与宜角三角形的纸片面积和

D.较小两个正二角形纸片重叠部分的面积

【详细分析】设三个正三角形而枳分别为Si，S2,S3,（不妨设Si>S2>S3）,由勾股定理和二角形面枳

可得S1=S2+S3，再由面枳和差关系即可求解.

【过程解答】解：如图，设二个正二角形面积分别为Si，SA53,（不妨设Sl>S2>53），两个小正三角

形的重叠部分的面积为54，

,.•△48C是直角三角形，ZJCB=90°,

：.ABZ=AC2+BC2,

l2

■:SI=华启,S2=^-AC,SJ=^-BC.

AS2+S3=^-.4（^+—8（^=^-（AC2+BC2）=^-AB2,

4444

S]=S2+S3，

:.S用彩=S[-（S2+S3-S4）=S]-S2-S3+S4=SA，

故选：D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案宜接填写在横线上

11.（20223秋•深阳市期中）若直角三角形两直角边长分别为9和40,则斜边长为41

【详细分析】利用勾股定理直接计算即可.

[过程解答]解：由勾股定理得，斜边=>/92+4o2=4i.

故答案为：41.

12.（20223秋•天桥区校级月考）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点上表示（3,4）,则。4=

5

【详细分析】根据勾股定理直接计算即可.

【过程解答】解：由勾股定理得，0.4=7^42=5，

故答案为：5.

13.(20223秋•临沐县校级月考)在△.48C中，BC=6,BC边上的高.40=4,且8。=2,则/MCO的面枳

为8或或.

【详细分析】根据题意得出8的长度，再利用三角形面积公式求出的面积即可.

【过程解答】解：根据题意，分以下两种情况：

①如图：

•:BC=6.,42)=4,5。=2,

：.CD^BC-BD=6-2=4,

••S^ACD=^^D9AD=~'K4X4=8,

②如图：

V5C*=6»-4D=4»BD=2,

：.CD=BLHBC=S,

:•SUCD=gcD・AD=三X8X4=16.

故答案为：8或16.

14.(20223春•中山市期末)平面直角坐标系中有两点乂(m,-1),B(3,4),当切取任意实数时，线段

.48长度的最小值为5.

［详细分析］根据垂线段最短即可解决问题.

【过程解答】解：（m.-1）,

二点4在直线丁=-1上，

要使,45最小，

根据“垂线段最短”，可知：

过8作直线y=-1的垂线，垂足为即为4,

：.AB最小为5.

故答案为：5.

15.（20223秋•建邺区校级期中）如图，AJBC+，ZC=903,AC=4,BC=3,若。7是八45。的高线,

则CH=孕.

一5一

【详细分析】先根据勾股定理求出.48的长，再由二角形的面积公式即可得出结论.

【过程解答】解：,.'RtAJBC4J..4C=4,BC=3.

.,..4B=7AC2+BC2=V42+32=5-

是ZXJBC的高线，

10

：.AB9CH=AC-BC,即5C"=4X3,解得CH=答.

5

故答案为：孕.

5

16.（20223秋•秦淮区期中）如图，在Rt&lBC中，ZACB=90,AB=4cm,分别以/C,8C为边作正方

【详细分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出dd+BC2的值，根据Si，S2分别表示正方形面

积，求出S1+S2的值即可.

【过程解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90".AB=4cm,

由勾股定理得：

222

Uli]SI+S2=JC+BC=16（cm）,

故答案为：16.

17.（20223秋•云岩区月考）如图，在RtZMBC中，ZABC=90s,AC=5,BC=V5.分别以△KBC的二

边为直径画华画，则两个月形图案（阴影部分）的面积之和是5.

【详细分析】由勾股定理得/6+8~=/已.43=2巡，设以.48、BC、XC为直径的半圆分别为①、②、

।③，则ST+SZ=SA,而S耍彭=S[+SZ+SJ48C-5尊=5之或'，即可解决问题.

【过程解答】解：•••/48C=90°,

J.AB^BC2=心.48=JAC2-BC2=^52-（75）2=2遥，

设以.45、BC、4c为直径的半网分别为①、②、③，

22

•••&=4nX（坐）=2LA3,

228

同理：52=专8d,53=-^-^,

12

•'•附+$2=《（.AB^+BC）=-^-^C=Ss,

8o

:・S国彰=SB+SN+S-sc--Si=S^5C=="*^*^C='yX2V5XV5=5»

即两个月形图案（阴影部分）的面积之和是5,

故答案为：5.

18.（20223秋•仁寿县校级H考）如图，已知在RtZ\4BC中，ZACB=90a,JC=8,BC=16,。是/C上

的一点，8=3,点尸从8点出发沿射线8c方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点尸的运动时间

为t.过点D作DEVAP丁点E.在点P的运动过程中，当t为5或11时,能使DE=CD?

B

（详细分析］根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解.

【过程解答】解：①点尸在线段8C上时，过点。作。心于£如图1所示:

图1

则/.4。=/尸。=90",

:.NPED=NACB=90°,

平分/WPG

NEPD=4CPD,

又,：PD=PD,

二△尸Z>E丝△PDC(AAS),

：.ED=CD=3,PE=PC=\6-2t,

：.AD=AC-8=8-3=5,

•*»A£=At

W=4H+PE=4+16-2f=20-It,

在RtA4PC中，由勾股定理得：82+(16-2r)2=(20-2，)2.

解得：，=5；

②点尸在线段8C的延长线上时，过点。作丁E,如图2所示:

S2

同①得：XPDE9XPDC(A.4S),

：.ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=S-3=5,

：.AE=4.

：.AP=AE+PE=4+2f-\6=2t-12,

在RtA4PC中，由勾股定理得：铲+（2r-16）2=（2r-12）2,

解得：r=ll.

综上所述，在点尸的运动过程中，当，的值为5或11时，能使。E=8.

三、过程解答题（本大题共6小题，共66分.过程解答时应笃出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（20223秋•温州期中）如图,在AlffC中，48=/C,平分NH4C,已知8c=10,."）=12,求/C

的长.

【详细分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

【过程解答］解：'：AB=AC,平分NA4C,

：..ADA.BC,BD=CD=^-BC=S,

2

'：AD=12,

222=1

：.AC=VAD-K：D2=712+5^

故4C的长为13.

20.（20223秋•玉林期中）如图，在△48C中，NC=90°,ZABC=60u,8。平分N4BC,若WD=6,

求线段。的长.

【详细分析】由『NC=90",ZABC=603,可以得到N4=30’，又由8。平分N.4BC,可以推出二

CBD=ZABD=ZA=30,,8。=4。=6,M利用“30”角所对的宜角边等f•斜边的一半”即可求出结

果.

【过程解答】解：VZC=90G,ZJ5C=60°,

AZJ=30°,

,.•8。平分NHBC,

ZCBD=^ABD=ZJ=30°,

・・BD=AD=6,

6X=3.

22

故线段CO的长为3.

21.（20223秋•碑林区校级期中）在△/8C中，X8=13,8c=14,AC=15,/。为8。边上的高，求.4。的

长.

【洋细分析】由题意知，BD+DC=14,设8D=x,则CZ）=I4-x,在直角△48D中，.45是斜边,根据

勾股定理HMJWJB），在直角入4。。中，根据勾股定理4c2=X炉+C。2.列出方程组即可计算x的

值，即可求得.10的长度.

【过程解答】解：VBC=14,&BC=BD+DC.

12.UU=X,则〃L=14-X,

则在宜角£^.4BD中,AB1=AD2+BD2,

即132=/D2+），

在直角中，/C^/zZ+CZ/,

即152=^0?+（14-x）2,

整理计算汨x=5,

22.（20223秋•苏州期中）如图1,将长为2/3,宽为2。的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图

2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形.

（1）用关于。的代数式表示图2中小正方形的边长：

（2）已知图2中小正方形面枳为36,求大正方形的面枳？

【详细分析】（I）观察图形，用直角-：角形较长的直角边栽去较短的宜角边即可:

（2）根据正方形的面积=边长的平方列出代数式，把。=3代入求值即可.

【过程解答】解：（1）•••宜角三角形较短的宜角边=5X2a=a,

2

较长的直角边=2o+3,

；・小正方形的边长=20+3-o=o+3：

（2）小正方形的面积=（«+3）2=36,

：.a=3（负值舍去），

:.大正方形的面积=92+32=90.

23.（20223春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很