2024年中考数学复习：二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质

里年考点直击

1.二次函数的定义

一般地，形如y=ax2+bx+c(a丰O,a.b,c是常数)的函数，叫作二次函数.

2.二次函数解析式的表示方法

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a+O,a,b,c是常数).

(2)顶点式:y=a(_x-li)2+k(a#O,a,h,k是常数)或V=。(*+/)+言”.

(3)交点式:y=a(x-xOCx-x2)(a*。,刈,0是抛物线与x轴两个交点的横坐标,即方程a/+打+c=0的两个根).

注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但只有与x轴有交点的抛物线的解析式才可以化成交点式；确定抛物线

的解析式一般需要两个或三个条件，求解析式时要灵活运用条件选择不同的解析式.

3.二次函数的图象和性质

⑴二次函数的图象是抛物线，抛物线y=ax?+故+也丰0,a是常数冲a,b,c的作用如下：

①a决定开口方向及开口大小.

②b和a共同决定抛物线对称轴的位置：当b=0时，对称轴为y轴；当3>0(即a,b同号)时，对称轴在y轴左侧；当*0(即

a,b异号)时，对称轴在y轴右侧.

③c的大小决定抛物线与y轴交点的位置：抛物线y=ax2+bx+c(a丰0,a是常数)与y轴有且只有一个交点(0,c),如果c=0,

那么抛物线经过原点；如果c>0,那么抛物线与y轴交于正半轴；如果c<0,那么抛物线与y轴交于负半轴.

(2)抛物线y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a/0)关于直线x=-5对称，顶点坐标为(-).

①当a>0时，抛物线开口向上.当久〈-/寸，y随x的增大而减小；当x>一5时，y随x的增大而增大；当"-卷时，y取得

最小值用.

4a

②当a<0时，抛物线开口向下.当x<寸，y随x的增大而增大；当x>一方时，y随x的增大而减小；当x=-方时，y取得

最大值

4a

4.二次函数图象变换

(1)平移变换：上加下减，左加右减.

抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a/0)转化成顶点式y=a(x-h)2+k(a丰0,a,h,k是常数),确定其顶点坐标(h,k),可以由抛物

线、=a/经过适当的平移得到.具体平移方法如下：

向上第>0)［或下(Y0)］平移围个单位

y=a^y-ajc1±k

向右S>0)［或左(X0)］

向右

向右3>0)平移围个单位(A>0)

［或左(〃<0)］［或左(〃<0)］

平移I川个单位向上供>0)［或下(Y0)］平移I川个单位

平移同个单位

y=a(x+h)2y=a(H干份生万

向上依>0)［或下伐<0)］平移围个单位

⑵对称变换:

①关于X轴对称：抛物线y=a/+.+c(a丰O,a,b,c是常数)的图象关于x轴对称后，得到抛物线y=-a/-bx-c;抛物线y

=a(x-h)2+k(a和,a,h,k是常数)的图象关于x轴对称后，得到抛物线y=-a(x-h)2-k.

②关于y轴对称：抛物线y=ax2+bx+c{a丰O,a,b,c是常数)的图象关于y轴对称后，得到抛物线y=ax2-bx+c;抛物线y

=a(x-h)2+k(a丰0,a,h,k是常数)的图象关于y轴对称后，得到抛物线.y=a(x+/i)2+k.

③关于原点对称：抛物线y=ax2+bx+c{a丰0,a,b,c是常数)的图象关于原点对称后，得到抛物线y=-ax2+bx-c;抛物线y

=a(x-h)2+k(aW0,a,h,k是常数)的图象关于原点对称后，得到抛物线y=-a(x+h)2-k.

4.关于顶点对称(即抛物线绕顶点旋转180。)

y=a(x-h)2+k(a丰0,a,h,k是常数)关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2+k.

5.关于点(m,n)对称

y=a(x-K)2+k(a丰0,,a,h,k是常数)关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k.

例题精讲

()

ABCD

ABCD

举一反三2二次函数y=x2+2x+山的图象只经过三个象限，则实数m的取值范围是___.

2

例2如图，抛物线G:yx=a(x+l)+2(a*0)与H/:y2=-(x-2>-1交于点B(h-2),,且分别与y轴交于点D,E.过点B

作x轴的平行线，分别交抛物线G,H于点A,C.有以下结论：

①无论x取何值，%总是负数；

②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；

③当一3<x<l时，随着x的增大,yi-yz的值先增大后减小；

④四边形AECD为正方形.

其中正确的是()

A.①③④B.①②④

C.②③④D.①②③④

举一反三3如图，将二次函数月=(久+3)2+2的图象向下平移k个单位后，与二次函数y?=(久-2)

+1的图象相交于点A,过点A作x轴的平行线分别交Y1,y2于点BC当.AC=并力时，k的值是

()

A.2B.16

C.8D.4

例3阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1WxW犯求二次函数y=/-6x+7的最大值.他画图研究后发现，x=l和x=5时的函数

值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论.

他的解答过程如下：

二次函数y=必-6x+7的对称轴为直线.x=3,

由对称性可知，x=l和x=5时的函数值相等.

若l<m<5,K!Jx=l时,y的最大值为2;

若m25,则x=m时,y的最大值为m2-6m+7.

请你参考小明的思路，解答下列问题：

(1)当-2WxW时二次函数y=2/+4x+1的最大值为____,此时,x=

⑵若pSxWl,求二次函数y=2公+4x+1的最大值；

(3)若t<x<t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31,则.t=.

举一反三4（黄冈中考）当aVxVa+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为（）

A.—1B.2C.0或20.-1或2

例4如图，已知抛物线y=必+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.

⑴求抛物线的函数解析式；

⑵设D为抛物线的顶点,连接DA,DB,试判断A4BD的形状，并说明理由；

（3）设P为对称轴上一动点，要使PC-PB的值最大，求出P点的坐标.

举一反三5已知二次函数y=ax?+"+c（a丰0）,当x=3时，y有最小值-4,且图象经过点（（-1，12）.

（1）求此二次函数的解析式.

（2）该抛物线交x轴于点A,B（点A在点B的左侧），交y轴于点C,在抛物线对称轴上有一动点P,求P4+PC的最小值，并求

当PA+PC取最小值时点P的坐标

2

例5（乌鲁木齐中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x+bx+c经过点.4（2,-3）,,且与x轴的一个交点为B（3,0）.

（1）求抛物线（的的解析式.

（2）D是抛物线（Ci与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m,0）,其中租＞0,△ADE&ADE的面积为今

①求m的值；

②将抛物线的向上平移n个单位，得到抛物线（Q若当0Vx0小时，抛物线金与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n

的取值范围.

举一反三6（北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ad+瓜-5与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得

到点B，点B在抛物线上.

（T）求点B的坐标（用含a的式子表示）;

⑵求抛物线的对称轴；

⑶已知点P-：）,Q（2,2）.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求实数a的取值范围.

基础夯实

1.（荷泽中考）一次函数.y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

y

2.（河南中考）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（（一2,几）和（4,n）两点，则n的值为（）

A.—2B.-4

C.2D.4

3.（临沂中考）二次函数y=ax2+bx+c（aWO）,自变量x与函数y的对应值如下表：

X-5-4-3-2-10

y40-2-204

下列说法正确的是()

A.抛物线的开口向下

B.当无＞一3时,y随x的增大而增大

C.二次函数的最小值是一2

D.抛物线的对称轴是直线x=-|

4.（陕西中考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=mx2+2%-n（mW0）与y=-6x2-2x+m-几关于x轴对称，则m,n的

值为()

A.m=-6,n=-3B.m=-6,n=3

C.m=6,n=-3D.m=6,n=3

2

5.(温州中考)已知(-3,%),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x-12x+m上的点，则()

4y3<y2<yiB.y3<y1<y2

C.y2<73<yiD.yt<y3<y2

6.(眉山中考)若一次函数y=(a+l)x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2-ax()

A.有最大值3B.有最大值-?

C.有最小值a/4D.有最小值-：

4

7.(乌鲁木齐中考)如图，抛物线.y=ax2+bx+c(a/))过点(-1,0),且对称轴为直线x=l,有下列结论:①abc<0;②10a+3b+c>0;③抛

z

物线经过点(4,yj)与点(-3*2)，则yi>y2；@无论a,b,c取何值，抛物线都经过同一?点(一(/a,0);⑤am2+bm+aN0.其中正确的结论是

8.(徐州中考)已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为0(0,0).将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数解析

式为.

9.(杭州中考)在平面直角坐标系中，设二次函数yi=(x+a)(x-a-l),其中a”

(1)若函数yi的图象经过点(1,—2),求函数yi的解析式；

⑵若一次函数y2=ax+b的图象与yi的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b满足的关系式；

(3)已知点P(x(),m)和Q(l,n)在函数yi的图象上，若m<n,求x()的取值范围.

22

10.(昆明中考)如图，两条抛物线.yi=-x+4,y2=-|x+te+c相交于A,B两点，点A在x轴负半轴上，目为抛物线y2的

最局点.

(1)求抛物线丫2的解析式和点B的坐标；

(2)点C是抛物线yi上A,B两点之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D,当线段CD取最大值时.求SABCD.

〜二能力拓展

11.（南充中考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1,1）,（3,1）,（3,3）,（1,3）.若抛物线'=a/（a*0）的图象与正方形有公共点，则实

数a的取值范围是（）

A,-<a<3

9

9

C.1j<a<3

<a<1

12.（河北中考）如图，现要在抛物线y=x（4—x）上找点P（a,b）,针对b的不同取值,所找点P的个数，三人的说法如下：

甲:若b=5,则点P的个数为0;

乙若b=4,则点P的个数为1;

丙:若b=3,则点P的个数为1.

下列判断正确的是（）

A.乙错,丙对

B.甲和乙都错

C.乙对,丙错

D.甲错，丙对

13.（河南竞赛）已知二次函数y=2#+b久+l（b为常数）,当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中实线所绘抛物线

分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线所绘抛物线），这条抛物线的解析式是（）

A.y=-2x2+1

1c

B.y=——x2+1

）2