湖南省长沙市宁乡县2024年中考数学考试模拟冲刺卷（含解析）

湖南省长沙市宁乡县2024年中考数学考试模拟冲刺卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）

A.8.23x106B.8.23x107C.8.23xl06D.8.23xl07

2.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A.m<-1B.m<lC.m>-1D.m>l

3.某同学将自己7次体育测试成绩（单位:分）绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（）

A.50和48B.50和47C.48和48D.48和43

4.如图，CD是。O的弦，O是圆心，把。。的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，ZCAD=100°,则NB

C.60°D.50°

5.已知。=5匕，下列说法中，不正确的是（）

A.d-5b=0B.。与匕方向相同

C.a11bD.|a|=5网

6.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）

8.右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）

9.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负

数，若气温为零上10℃记作+10℃,则-3℃表示气温为（）

A.零上3℃B.零下3℃C.零上7℃D.零下7七

10.如图1,点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单

位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y,得

到函数图象如图2,通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t=3时，机器人一定位

于点O;③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有（）

A.①④B.①③C.①②③D.②③④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.化简,+一一=.

x-lX—1

12.已知抛物线丫=2*2+6*+（:开口向上且经过点。,1）,双曲线y=，经过点（a,be）,给出下列结论：©be>0；

2x

②b+c>0；③b,c是关于x的一元二次方程x?+（a—l）x+；=O的两个实数根；④a—b—cN3.其中正确结论

是（填写序号）

13.如图，直线y=6x,点Ai坐标为（1,0）,过点Ai作x轴的垂线交直线于点Bi,以原点O为圆心，OBi长为半

径画弧交X轴于点A2；再过点A2作X轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交X轴于点A3,…,

按照此做法进行下去，点A8的坐标为.

14.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女

在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为

个.

15.如图，在。O中，直径ABJ_弦CD,NA=28。，则ND=

16.如图，在^ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC交AC于点D,DE平分NBDC交BC于点E,则工

AD

4

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格

是多少？

请解答上述问题.

18.（8分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采

集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数.

（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副）,

求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）

图（2〉

19.（8分）我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四

种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的

统计图.请结合图中的信息解答下列问题：

⑴在这项调查中，共调查了多少名学生？

⑵将两个统计图补充完整；

⑶若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生，2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生.请用画树状

图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率.

20.（8分）如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1.

（1）在图1中画出△关于x轴对称的△A1O31,并写出点4,51的坐标；

（2）在图2中画出将△绕点。顺时针旋转90。的△42。a，并求出线段。3扫过的面积.

%

21.（8分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分.为了解“学

习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅

.个家庭；将图①中的条形图补充完整；学

习时间在2〜2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是.度；若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习

时间不少于1小时的约有多少个家庭?

22.（10分）如图，OO的半径为4,B为。O外一点，连结OB,且OB=6.过点B作。O的切线BD,切点为点D,

延长BO交。。于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为点C.

（1）求证：AD平分NBAC；

⑵求AC的长.

23.（12分）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在

全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A：结伴步行、B：自行乘车、C：家人接送、D：其他方式,

并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，解答下列问题：

学生上学方式条形统计图

学生上学方式扇形统计图

请补全条形统计图；请补全扇形统计图;

(3)“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数是.度

(4)如果该校学生有2000人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人?

24.如图所示，在口中，E是CZ＞延长线上的一点，5E与交于点F,DE=-CD.

2

⑴求证：RABFs^CEB；

(2)若4DEF的面积为2,求。ABCD的面积.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO,与较大数的科学记数法不同的是其所使

用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

详解：0.000000823=8.23x101.

故选B.

点睛:本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(r,其中iw|a|V10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

2、B

【解析】

根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出4=4-4m>0,解之即可得出结论.

【详解】

••・关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，

/.△=(-2)2-4m=4-4m>0,

解得：m<l.

故选B.

【点睛】

本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.

3、A

【解析】

由折线统计图，可得该同学7次体育测试成绩，进而求出众数和中位数即可.

【详解】

由折线统计图，得：42,43,47,48,49,50,50,

7次测试成绩的众数为50,中位数为48,

故选：A.

【点睛】

本题考查了众数和中位数，解题的关键是利用折线统计图获取有效的信息.

4、B

【解析】

试题分析：如图，翻折AACD,点A落在A，处，可知NA=NA，=100。，然后由圆内接四边形可知NA，+NB=180。，解

得NB=80。.

故选：B

A'

5、A

【解析】

根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用.

【详解】

A、。-50=0,故该选项说法错误

B、因为。=5人，所以a与8的方向相同，故该选项说法正确，

C、因为。=5b，所以a//b，故该选项说法正确，

D、因为a=5Z?，所以|。|=5|6；故该选项说法正确，

故选：A.

【点睛】

本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零

向量.零向量和任何向量平行.

6、A

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知：选项A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项

正确；选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；选项C既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本

选项错误；选项D既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误.故选A.

考点：中心对称图形；轴对称图形.

7、C

【解析】

根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x,使得x1=a,则x就是a的平方根，由此即可解决问题.

【详解】

•:(±1)J,

A4的平方根是士1.

故选D.

【点睛】

本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

8、B

【解析】

解：从上面看，上面一排有两个正方形，下面一排只有一个正方形，故选B.

9、B

【解析】

试题分析：由题意知，代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃.

故选B.

考点：负数的意义

10、C

【解析】

根据图象起始位置猜想点B或F为起点，则可以判断①正确，④错误.结合图象判断3WK4图象的对称性可以判断②

正确.结合图象易得③正确.

【详解】

解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为L故①正确；

观察图象t在3—4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，

则当t=3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O,故②正确；

所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；

因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E,故④错误.

故选：C.

【点睛】

本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,x+1

【解析】

分析：根据根式的除法，先因式分解后，把除法化为乘法，再约分即可.

11

详解:解：原式=

X—1,(x+l)(x-l)

1

•(x+1)(X-1)

x-1

=x+l,

故答案为x+1.

点睛：此题主要考查了分式的运算，关键是要把除法问题转化为乘法运算即可，注意分子分母的因式分解.

12、①③

【解析】

〃〉0

试题解析：♦.•抛物线y=a/+。犬+。开口向上且经过点（1,1）,双曲线y二,经过点（〃，bc）9/.<a+b+c=l9

2、1

be=——

、2a

/.bc>Q9故①正确；

时，则从c均小于0,此时8+cV0,当〃=1时，》+c=0,则与题意矛盾，当OVaVl时，则氏c均大于0,此

时）+c>0,故②错误；

2

.../+（。一1）%+J_=。可以转化为：%+（Z?+c）x+bc=Of得或x=c,故③正确；

2a

,:b,c是关于x的一元二次方程X?+（。-1）%+2=0的两个实数根，:,a-b-c=a-（Z>+c）=a+（a-1）=2a-1,当

2a

a>l时，2a-1>3,当0<a<l时，-l<2a-1<3,故④错误；

故答案为①③.

13、（128,0）

【解析】

•••点Ai坐标为（1,0）,且BiAiLx轴，.•.Bi的横坐标为1,将其横坐标代入直线解析式就可以求出Bi的坐标，就可

以求出AiBi的值，OAi的值，根据锐角三角函数值就可以求出NxOB3的度数，从而求出OBi的值，就可以求出OA?

值，同理可以求出OB2、OB3…，从而寻找出点A2、A3…的坐标规律，最后求出A8的坐标.

【详解】

点A坐标为（1,0）,

o\=1

44，x轴

•••点片的横坐标为1,且点片在直线上

:•y=6

44=^/3

在放Mg0中由勾股定理，得

OBX=2

sinNOgA=：

ZOB.A,=30°

Z.OByA^=NOB2Al=NOB3A3=...=Z.OBnAn=30

04=04=2,4(2,0),

在RZA4与O中，052=204=4

/.0A3=4,A3(4,0).

••.OA4=8,?OA-="T4尸(2.

.-.0^=2^'=128.

.•.4=(128,0).

故答案为(128,0).

【点睛】

本题是一道一次函数的综合试题，也是一道规律试题，考查了直角三角形的性质，特别是30°所对的直角边等于斜边的一

半的运用，点的坐标与函数图象的关系.

14、1

【解析】

分析：类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：万位上的数X6，+千位上的数X63+百位上的数

X62+十位上的数X6+个位上的数，即1x64+2x63+3x62+0x6+2=1.

详解：2+0x64-3x6x6+2x6x6x6+1x6x6x6x6=1,

故答案为：1.

点睛：本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型

新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力.

15、34°

【解析】

分析：首先根据垂径定理得出NBOD的度数，然后根据三角形内角和定理得出ND的度数.

详解：..,直径AB_L弦CD,.*.ZBOD=2ZA=56°,/.ZD=90°-56°=34°.

点睛：本题主要考查的是圆的垂径定理，属于基础题型.求出NBOD的度数是解题的关键.

【解析】

试题分析：因为AABC中，AB=AC,NA=36。

所以NABC=NACB=72°

因为BD平分NABC交AC于点D

所以NABD=NCBD=36o=NA

因为DE平分NBDC交BC于点E

所以NCDE=NBDE=36°=NA

所以AD=BD=BC

根据黄金三角形的性质知，

所以以二三一二一亲一-丁子一二-一-二J」.■

考点：黄金三角形

点评：黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36。，每个底角为72。.它的腰与它的底成黄金比.当底角被平分时,

角平分线分对边也成黄金比，

三、解答题(共8题，共72分)

17、共有7人，这个物品的价格是53元.

【解析】

根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.

【详解】

解：设共有x人，这个物品的价格是y元，

8x-3=y,[%=7,

r,解得s

7x+4=y,[y=53,

答：共有7人，这个物品的价格是53元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程的应用.

18、(1)补全条形统计图见解析；“骑车”部分所对应的圆心角的度数为108。；(2)2人都是“喜欢乘车”的学生的概率

【解析】

(1)从两图中可以看出乘车的有25人，占了50%,即可得共有学生50人；总人数减乘车的和骑车的人数就是步行

的人数，根据数据补全直方图即可；要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；(2)列出从这4

人中选两人的所有等可能结果数，2人都是“喜欢乘车”的学生的情况有3种，然后根据概率公式即可求得.

【详解】

(1)被调查的总人数为25+50%=50人；

则步行的人数为50-25-15=10人；

如图所示条形图，

“骑车”部分所对应的圆心角的度数=—X360。=108。；

(2)设3名“喜欢乘车”的学生表示为A、B、C,1名“喜欢骑车”的学生表示为O,

则有45、AC.AD.BC、BD、C£)这6种等可能的情况，

其中2人都是“喜欢乘车”的学生有3种结果，

所以2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为工.

2

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

2

19、(1)50名;(2)补图见解析;(3)刚好抽到同性别学生的概率是二

【解析】

试题分析：(1)由题意可得本次调查的学生共有：15+30%；

(2)先求出C的人数，再求出C的百分比即可；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到同性别学生的情况，再利用概率公式

即可求得答案.

试题解析：(1)根据题意得：15+30%=50(名).

答；在这项调查中，共调查了50名学生；

①②

(3)用A表示男生，5表示女生，画图如下:

A/\\/A\B

AAsiAASSAAS3AAA3AAAB

共有20种情况，同性别学生的情况是8种,

Q2

则刚好抽到同性别学生的概率是—=-

205

57r

20、(1)Ai(-1,-2),Bi(2,-1)；(2)—・

4

【解析】

(1)根据轴对称性质解答点关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数;

(2)根据旋转变换的性质、扇形面积公式计算.

【详解】

Ai(-1,-2),Bi(2,-1)；

(2)将小AOB绕点O顺时针旋转90。的4A2OB2如图所示:

C)B=Vl2+22=A/5,

线段OB扫过的面积为：90兀义町)‘

3604-

【点睛】

此题主要考查了图形的旋转以及位似变换和轴对称变换等知识，根据题意得出对应点坐标位置是解题关键.

21、(1)200；(2)见解析；(3)36；(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个.

【解析】

(1)根据1.5〜2小时的圆心角度数求出1.5〜2小时所占的百分比，再用1.5〜2小时的人数除以所占的百分比，即可

得出本次抽样调查的总家庭数；

(2)用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数，再用总人数减去其它家

庭数，求出学习2-2.5小时的家庭数，从而补全统计图；

(3)用360。乘以学习时间在2〜2.5小时所占的百分比，即可求出学习时间在2〜2.5小时的部分对应的扇形圆心角的

度数；

(4)用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案.

【详解】

54

解：(1)本次抽样调查的家庭数是：30+而=200(个)；

故答案为200；

1QQ

(2)学习0.5-1小时的家庭数有：200x==60(个)，

360

学习2-2.5小时的家庭数有：200-60-90-30=20(个)，

补图如下：

家庭教(个)

20

⑶学习时间在2〜2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360x—=36。；

故答案为36；

(4)根据题意得:

90+30+20人

3000x-----------------=2100(个).

200

答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个.

【点睛】

本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形

圆心角的度数与360。的比.

22、(1)证明见解析；(2)AC=号.

【解析】

(1)证明：连接OD.

•••BD是。O的切线,

/.OD1BD.

VACIBD,

，OD〃AC,

.*.Z2=Z1.

VOA=OD.

•*.Z1=Z1,

.*.Z1=Z2,

即AD平分NBAC.

(2)解：VOD/7AC,

/.△BOD^ABAC,

.ODBOBn4_6

ACBAAC10