高考数学总复习：空间角与距离、空间向量及其应用

专题八立体几何与空间向量175

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

、五年高考,

考点改|用向量法判定空间中的位置关系3.（多选）（2022新高考I,9,5分，中）已知正方体

，，则（）

（多选）（2021新高考n,10,5分，中）如图，下列各43COT1B1G

直线BC,与DA所成的角为

正方体中,o为下底面的中心,M,N为正方体的A.190°

B.直线BC与CA所成的角为90°

顶点,P为所在棱的中点，贝！J满足MNL0P的是｝｝

C.直线Bg与平面BBRD所成的角为45°

（）

D.直线BC｝与平面ABCD所成的角为45。

答案ABD

4.（2020新高考I,20,12分，中）如图，四棱锥尸-

ABCD的底面为正方形,底面4BCD设平

面PAD与平面PBC的交线为I.

B（1）证明:以平面POC；

（2）已知PO=4O=1,Q为/上的点，求P8与

平面QCD所成角的正弦值的最大值.

答案BC

考点（2：空间角与距离解析（1）证明：因为底面所以

又底面ABCD为正方形，所以AD1

1.（2022全国甲，7,5分，中）在长方体48co-

OC.因此40,平面PDC.

A1B1C1D］中，已知与O与平面48co和平面

因为平面P5C,所以40〃平

所成的角均为30。,则（）

面PBC.

A.AB=2AD

由已知得/〃4D因此/±平面PDC.

B.AB与平面AB｝C｝D所成的角为30°

（2）以D为坐标原点，51的方向为支轴正方

C.AC=CBl

D.B.D与平面所成的角为45°向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

答案D则0（0,0,0）,C（0,l,0）,5（1,1,0）,P（0,0,

2.（2023全国乙理,9,5分，中）已知△A5C为等腰1）,反=（0,1,0）,前=（1,1,-1）.

直角三角形,43为斜边，△A8O为等边三角

形.若二面角C-AB-D为150。,则直线CD与

平面48c所成角的正切值为

1V22

A.—B.—D.—

55<45

答案C由（1）可设。（Q,0,1）,则丽=（a,0,1）.

1765年高考3年模拟A版高考数学

设〃=(%,y,z)是平面QCD的法向量，则X-.-ABLAC,:.OD//AC,

又•:。£＞《平面P4C,4CU平面PAC,:.OD//

[n,OQ=0,1ax+z=O,

_„BP可取〃=(T,O,a).平面P4C,

\n-DC=Q,=Q

---y又D、E分别为AB、PB的中点,DE//PA,

/—\〃•PB~l—a

所以cos(n,PB)=---------------------------.又•「OEC平面P4C,P4U平面PAC,:.DE//

Ini­\PB\7W1+1

平面P4C,

/T

设PB与平面QCD所成角为仇则sin。二日-x又0O、Z)EU平面ODE,ODHDE=D,

平面ODE〃平面PAC,

IQ+1I

又OEU平面ODE,.-.OE〃平面PAC.

/l+a2

证法二：连接04,•••PO是三棱锥P-ABC

易错余弦值转化为正弦值后应

:(:的高，

PO_L平面ABC,;.POA.OA.POLOB,

该是个正数).

APOA=APOB=90°PA=PB,PO=PO,

因为；当且仅当。时等号

=1△P04/△POB,...OA=OB,

延长BO交AC于点/，连接PF,

成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值

易知在RtZUBP中，。为3歹的中点，

的最大值为。

.,：E为PB的中点，OE//PF,

又(W平面P4C,PFU平面PAC,

5.(2022新高考□,20,12分，中)如图，P。是三棱

OE〃平面PAC.

P-ABC的高,P4=PB,48,4C,E为PB的

(2)取48的中点M,连接0M,O4,以M为坐

中点.

标原点,MB,M。所在直线分别为轴，过

(1)证明：。E〃平面P4C；

点M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如

(2)若443。=ACBO=30°,PO=3,PA=5,^

图所示的空间直角坐标系.

二面角C-AE-B的正弦值.

解析（1）证法一:连接。4,PO=3,PA=5,.\结合（1）可知OA=OB=4,

是三棱锥的高，；。平

•••POP-ABC.P_L5LAABO=ACBO=30°,:.OM=2,MB=2j3,

面4BC,

尸（0,2,3）,5（2百,0,0）,4（-2后,0,0）,

PO1OA,PO±OB,:.APOA=APOB=90°,

口‘1力’

又PA=PB,PO=PO,:.APOA^APOB,

OA=OB,

ABLAC,ACBA=60°,AB=4j3,

取43的中点O,连接则ODLAB,

AC=12,C（-2V3,12,0）.

设平面AEB的法向量为?=（利，力肉）,

盛=（4月,0,0）,港“3月

孙二0,

AB・=0,

一即♦「3

AE・%=0,3/3久]+%+宁[=0,

令为=3,则Z]=-2,二%=(0,3,-2).

设平面AEC的法向量为%=(%2，>2/2),

就=(0,12,0),

%二。，由题意知,42(2,2,1),当(0,2,2),C(0,0,

AC・M2=0,2

_即,3用2+乃+"=0,3),4(2,0,2),

AE-H2=0,

则吐=(0,-2,1),戒=(0,-2,1),

令42=有，贝1为=-6,.,.“2=(4,0,-6),

B2C2=A2D2B2C2J/A2D2,

,\•〃2124万

—二----,

/.cos(n],n9>=——=——又知82c2与42无公共点，

l«il-1«21713x73913

B2C2//A2D2.

设二面角C-AE-B的平面角为仇则sin0=

(2).•点P在棱防1上，.•.设P(0,2,a)(0W

-J1—cos-0-y-,>'•—■面角C~AE—B的正弦值«W4),

结合(1)可知汇=(-2,-2,2),*=(0,—

2,1),P4=(2,0,l-a),PG=(0,-2,3-a).

6.(2023新课标I,18,12分，中)如图，在正四棱

设平面A2C2D2的法向量为"]=(%]，力,Zj),

柱45co中,48=2,A4]=4,点儿，

•«1=0,[-2x1-2y.+2z.=o,

B2,C2.D2分别在棱A4],防上,即

•«1=0,|-2乃+々=0,

AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：当。2〃/2；令Z]=2,则“1=(1,1,2).

设平面P42c2的法向量为〃2=(出,4,Z2),

(2)点P在棱上，当二面角P-A2C2-D2

为150。时，求82P.

•〃2=0，(2x,+(l-a)z2=0,

即一

・“2=0,\-2y2+(3-a)z2-0,

令名2=2,则〃2=(aT,3-a,2),

又；二面角P-A2C2-D2为150°,

\n{•n2I

Icos150°I=Icos〈”[,n2)I

In,I•ln2I

_la-l+3-a+4l_76

解析(1)证明：以C为原点，正，无，记的

•V(a~l)*2+(3-a)2+4V2a2-8a+14

方向分别为％轴,y轴,z轴的正方向，建立如

叵/a

图所示的空间直角坐标系，即:=，"化简得/_4a+3=0.解得

2Va2-4a+7

a=1或a=3,

当a=1B't,B2P=1；当a=3H'f,B2P=1.

综上,为P=L

1785年高考3年模拟A版高考数学

7.（2023新课标n,20,12分，中）如图，三棱锥(0,0,0),

A-BCDrp,DA=DB=DC,BD_LCD,AADB=5A=(-J2,0,^),AB=(O,^,-J2),

AADC=60°,E为BC的中点.

EF=DA,:.F(-/2,0,72)AF=(-/2,0,

⑴证明：8C，〃4；

0).(8分)

点产满足滋凉求二面角的

（2）=,D-AB-F设平面DAB的法向量为%=(%*,zi),

正弦值.

IDA-M1=0,[-"%i+7Iz]=0,

则一即，

\AB-n}=0,[也以-yiz1=0,

令Z1=1,则％=(1,1,1).(9分)

设平面489的法向量为%=(%2，又2/2),

解析(1)证明：连接

=为的中点，DE1BC.令Z2=l,则〃2=（0,1,1）.（10分）

设二面角的平面角为

(1分)D-AB-F8,

又；DA=DB=DC,AADB=AADC=60°,,\n}•n?\2A/6

则as臼二证向

/\ACD与△480均为等边三角形，

AC=AB,:.AE±BC.(2分)又，0e[0,IT],

又4ECOE=E,4EU平面ADE,DEU平

面ADE,

BCl^^ADE,(3分)/3

二面角D-AB-F的正弦值为］■.（12分）

XvDAADE,:.BC1DA.(4分)

(2)设DA=DB=DC=2,则BC=2j2,DE=8.（2023北京，16,14分，中）如图，在三棱锥

P-ABC中，P4，平面ABC,PA^AB=5C=1,

AE=42,

AE2+DE2=^=DA1,(6分)PC=73.

AE1DE.5L-.-AEA.BC,DEQBC=E,DE(Z^（1）求证平面P45；

求二面角的大小

面BCZ),3CU平面BCD,:.4EL平面BCD.（2）A-PC-B.

以E为原点，记，港，就的方向分别为％轴,y

轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系，

解析（1）证明：因为尸4,平面

U平面48C,

所以P4，BC,PA，48.所以PB=

-JPA2+AB2=J2.

又因为3C=1,PC=^，所以PB2+BC2=PC2,

则0(71,0,0),4(0,0,71),3(0,&■,()),£■所以PB1BC,

专题八立体几何与空间向量179

又因为R4L8C,且P4np8=P,P4,P8U平：解析(1)设4到平面48。的距离为”.因为

面P4B,

=

A-ABC~^A-AXBC~^^LABC*

所以平面P4区

(2)以8为原点，5C所在直线为4轴,BA所4

•匕5C.4四G=1，SAA、BC=2左，所以“二

在直线为了轴，建立如图所示的空间直角坐

4

标系，3x一

3厂

=72.

I272

(2)如图，取43的中点E,连接4E.

-一

B

则4(0,1,0),8(0,0,0),。(1,0,0),「(0,1,；

1),所以布=(0,0,1),公=(1,-1,0),记=

(1,-1,-1),记=(1,0,0),

设平面P4C的法向量为机=(肛’,Z]),B

(m•AP=z=0,因为所以AE,40又因为平面

贝”一v令九=1,则m=(1,1,：

AtBCJ_平面ABB,Al,平面A.BCC平面

\m,AC=x1-yl=0,

ABBA=4j8,4EU平面48昂4,所以4E1.平

0),ll

设平面出。的法向量为"=('为,Z?),面413c.又3CU平面ABC,所以AE1BC.

由直三棱柱43C-4B]G得山平面45C,

In-PC=XT-y2-z-,=0,

贝1」一一一一令Z2=-l,则〃=(0,：又BCU平面48C,所以A4,1BC,XA4,n

\n•BC=X2=0,

AE=A,AA1,4EU平面ABBtA.，所以BCJ_平面

1,-1),

ABB.],又4BU平面所以BCLAB.

\m-n11

所以cos〈/n,〃〉=।|=「L=°,

\m\•Ini72x722由(1)知AE=d=后,所以AB^AAl^2,AlB=

又因为二面角4-PC-B为锐二面角，272,

所以二面角A-PC-B的大小为于又因为的面积为2立，所以BC=2.

以5为坐标原点，向量就，而，嬴的方向分

9.(2022新高考I,19,12分，中)如图，直三棱柱

别为孙y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系

ABC-AlB1Cl的体积为4,/XA.BC的面积为

B-xyz,

272.

(1)求4到平面43c的距离；则C(2,0,0),4(0,2,0),4(0,2,2),0(1,1,

(2)设。为4c的中点,A4]=43,平面415c1),8(0,0,0),则就=(2,0,0),谕=(0,2,

，平面488Ml，求二面角4-BO-C的正弦值.

0)屈=(1,1,1).

设平面ABD的法向量为«!=(%!，乃,句),

曲•84=0,(2y.=0,

贝(1一即

,BD=0,(%1+%+21=0,

B令“1=1,得Zi=T,所以/二(1,0,-1).

(^180)5年高考3年模拟A版高考数学

设平面的法向量为〃2=(«2,先,22),所以所以S^c=；4c-EF=EF.

则巴即『巴

当EF上BD时,EF最小，即AAFC的面积最

[n2-BD=0,\x2+y2+z2=0,

73

令,%=1,得Z2=T,所以“2=(°,1,T)•小,止匕时石产=彳.

如图，以E为坐标原点，就，港，)的方向分

别为光轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角

又sin〈〃i,%〉＞0,所以sin〈〃i,〃2〉=—.坐标系则C(-1,0,0),4(1,0,0),8

(O,73,O),D(O,O,I),F[O,^,1L

所以二面角A-BD-C的正弦值为；\44J

所以石=(-1,0,1),^=(0,-J3,1),

10.(2022全国乙理，18,12分，中)如图，四面体

CF=fl——.

ABCD中，40，CO=CO,乙ADB=LBDC,

E为4c的中点.

设平面48。的法向量为"=(*,y,z),

(1)证明：平面5矶)，平面4(刀；

(2)设AB=BD=2,44c3=60°,点F在BDIAD•n=0,(_%+z=0,

则一即厂

上，当9C的面积最小时，求CF与平面\BD•n=0,(_J5"y+z=0,

43。所成的角的正弦值.令y=l,得〃=("」,").

设CF与平面ABD所成的角为6,

„..In,CFI4^/3-

贝[Ism0=Icos{n,CF}I=------——=,所

\n\\CF\7

4J3

解析(1)证明：因为40=0,E为4c的以CP与平面480所成的角的正弦值为

中I占八、、,

所以OELAC.因为4403=ABDC,AD=CD,

BD=BD,

所以所以=

又E为AC的中点，所以BEVAC.

11.(2021全国甲理，19,12分，中)已知直三棱柱

又OE,BEU平面BED,且DECBE=E,

ABC-A.B,C,中，侧面A4向8为正方形，

所以AC,平面3EO,又4CU平面4cO,

45=BC=2,E,尸分另U为4c和CG的中点

所以平面ACD±平面BED.

为棱A]B]上的点,8

⑵由题意及(1)知48=BC=2,

(1)证明：8歹，。£；

又44cB=60。,所以4c=2,BE=VJ.

(2)当B,D为何值时，面BBXCXC与面DFE

因为为4c的中点，所以OE=1.

所成的二面角的正弦值最小？

所以DE2+BE1=BD-，贝!J0E，BE.

连接EP,因为AC_L平面BED,EFU平

面BED,

专题八立体几何与空间向量Q81

第四步:求出相关平面的法向量.

⑵》=(-1,1,1),而=(a,-2,1),

设平面DFE的法向量为〃=(x,y,z),

->

IEF・n=-x+y+z=0,

则—不妨设%=1,则y=

\FD-n=ax-2y+z=0,

解析第一步：证明线线垂直，为建系做

a+12~a

---,z----,

铺垫.3'3，

BF,B{B_L,BFCB^B=B,(Q+12-a)

.•・〃=”亍，亍J.

A1B1_1_平面BlClCB,

-：AB//A.B,481.平面B©CB,易知阳=(1,0,0)是平面BB©C的一个法

又•.・BCU平面BCCB,;.ABLBC.向量.

第二步：建立空间直角坐标系，求出相关量第五步：由向量夹角公式表示二面角大小,

的坐标.利用函数思想求其最值.

以B为坐标原点，区4,3。,3与所在直线分别设平面BB©C与平面OE歹所成的锐二面

为％轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角角的大小为。，贝IJcos0-Icos(m,n)I二

坐标系，则B(0,0,0),F(0,2,l),£(l,l,

0)部=(0,2,1),设B]D=a(0WaW2),

则O(a,0,2),则笳=(l-a,l,-2).

_____/aii

2

sind-\!l-cos0三可,故当。二万,即BXD~—

第三步:利用a•8=0判定线线垂直.时，平面BB{CXC与平面DFE所成的二面角的

(1)证明：•.•筋•凉=(0,2,1)-/a

正弦值最小，最小值为

2)=0x(l-a)+2xl+lx(-2)=0,.'.BFLDE.

1825年高考3年模拟A版高考数学

、三年^/以,

综合拔高，148Eb均为直角梯形9〃

平面ABEF,AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

1.(2024届山东潍坊安丘三区县检测，5)在正三棱

已知点为上一点求证：

柱43C-4向孰中，若43=2,44i=l,贝IJ点4(1)G49,4G=4O,8G

与平面不平行；

到平面48c的距离为()OCE

(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦

答案B值为g,求点F到平面DCE的距离.

2.(2024届江苏南京第一中学月考，8)在正方体

ABCD-AlBlCiDl中，点E为棱CIDI上的一动

点,记直线Bg与平面43石所成的角为仇则

cos0的最小值为()

解析(证明：因为平面

答案C1)04,

3.(2023河南郑州一模，10)在如图所示的实验装4bU平面所以DA1AB,DAA-AF.

置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都

为1,且它们所在的平面互相垂直活动弹子

分别在正方形对角线AC和BF上移动,

且CM和的长度保持相等CM=BN=a

(0<°<笈).则下列结论重误的是()

又48,4斤,所以以4为坐标原点,4月,48,40

所在直线分别为4,y,z轴，建立空间直角坐标

系，则B(0,2,0),E(l,2,0),C(0,2,l),D(0,

0,2),6(2,0,0),

所以沅=(-1,0,1),晶=(-1,-2,2)，丽=

(2,-2,0),

设平面DCE的法向量为〃=(%,y,z),

B.当a时,的长度最小

In-EC=-x+z=0,

C异面直线AC与8/所成的角为60°则一

[n•ED=-%-2y+2z=0,

D.MN〃平面BCE

令％=2,贝陵=2,丁=1,所以〃二(2,1,2),

答案B

因为〃•诟=2x2+1x(-2)=2*0,所以n与

4.(2024届山东滨州新高考联合质量测评，19)如

图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD与就不垂直，即BG与平面DCE不平行.

专题八立体几何与空间向量183

(2)设49=a(a>0且a#l),贝!J尸(0,0,0),于是」-+工-3父+您丫

tan2atan?。(0P)1OP」

BF=(a,-2,0).

"-小4

因为直线BF与平面DCE所成角的正弦值

OP2

2OC2-J(AC2+BC2)

2

\BF\Ini-OP

I2a-2I2

2OC---4AB_2。-2-。-2_㈣2

3xVa2+4

OP2-OP2-OP2

化简得lla2-40a-16=0,

PC2_1

4

解得a=4或a=-五(舍去)，故4/=4.所以AP2-OA2~2,

OPOP

9(4,0,0),而=(-4,0,2),由(1)知平面OCE(2)因为tanB=tana,即=JT•,

''vONOM

的一个法向量为〃=(2,1,2),

所以0M=90N,即BC=EAC,

所以点F到平面DCE的距离d=

因为4c2+8。2=4),所以BC=2j3,AC=2.

\FD'n\_4

在圆0中，。1LCB,以点C为坐标原点，G4

-THI-

所在直线为无轴,CB所在直线为y轴，过C且

5.(2023山东烟台一模，19)如图，已知圆锥P。，

垂直于平面的直线为z轴建立空间直角

AB是底面圆。的直径，且长为4,C是圆。上

坐标系C-xyz.

异于4,3的一点,P4=2怎设二面角P-AC-B

与二面角P-BC-A的大小分别为a与后

(1)求一+—^的值；

tanatanp

(2)若tan[3-tana,求二面角A-PC-B的

余弦值.则C(0,0,0),4(2,0,0),3(0,24,0),

则洋(2,0,0),3=(0,26,0),

因为平面44C,所以0P〃z轴，

从而P(l,有,2"),则谦=(1,有,2

设平面PAC的法向量为m=(x,y,z),

解析(1)连接「。,则。。，平面45。

[m-CA=0,(2x=Q,

分别取的中点M,N,连接PM,0M,则一即

[m・CP=0,'x+j3y+242z-0,

PN,0V,则在圆0中,。4c

不妨取夕=2左，则机=(0,20百).

由P。，平面ABC,ACU平面ABC,得P01

设平面PBC的法向量为〃二(机,〃,方)，

AC.又P0C0M=。，所以AC,平面PM0,因

为PMU平面PM0,所以AC，PM.所以In•CB=0,[2a口二0,

则一即

[n-CP=0,{

4PM0=a.同理，4PN0=/3.m+侣n+2尬1t-0,

1845年高考3年模拟A版高考数学

不妨取加=2也，则〃=（2/',0,-1）.D.对任意点"，线段AD上必存在点N,使得

CNL