辽宁省葫芦岛市多校2023-2024学年高一年级下册7月期末考试数学试题（含答案）

葫芦岛市多校2023-2024学年高一下学期7月期末考试

数学试题

(分数：150分，时间：120分钟)

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知z=-l+i,则目=()

A.0B.1C.V2D.2

2.已知：z(2-i)=5,贝1］彳=()

A.2+iB.i-2C.-2-iD.2-i

3.要得到函数/'(x)=cos2x,xeR的图象，只需将函数g(x)=cosx,xeR的图象()

A.所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变

B.所有点横坐标缩小纵坐标不变

C.所有点纵坐标缩小横坐标不变

D.所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变

4.已知向量a=(l,加)，6=(-2,3),且之,九则根=()

A.2B.；C.—D.—6

32

5.已知正四棱台的上底面边长为1,下底面边长为2,高为2,则该正四棱台的体积为

()

714

A.1B.2C.-D.—

33

6.函数ksin|■卜呜-cos|J的最大值是()

.V2,V2„1+V2「

AA.Id--Bn.1------C.--------D.1

222

7.已知两个不重合的平面B,三条不重合的直线a,b,c,则下列四个命题中正确的

是()

A.若aPb,bua,则a尸eB.若a_L6，bVc,则。尸c

C.a//P,b///3,aua,bua,贝Ija〃尸D.ciPa,au0,aC\/3=b,则aPb

8.在锐角中，角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,面积为S,且

V3(«2+C2-^)=45,若C=1,则V/BC面积的取值范围是()

rvs日

b,4JB.[8，2J

二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2

分.

9.设函数/（x）=2sin（2x+^J,则下列结论正确的是（）

A.的最小正周期为兀

B./（x）的图象关于直线尤=9对称

0

C./（X）的一个零点为x=

D.〃x）的最大值为1

10.已知向量2=（-1,2）花=（3,4）,则下列说法正确的是（）

A.allb

B.仅-Q）_LQ

C.a与5的夹角余弦值为g

1r

D.々在B方向上的投影向量为（6

11.如图，正方体/BCD-44aA的棱长为1,。为AD的中点，直线4c与平面£30。

交于点则下列结论正确的是（）

A.G，M,。三点共线B.平面平面G8D

c•点4到平面c加的距离为5D.二面角4-8D-G的余弦值为:

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量卜|=3,加=(1,2),且Z//B，则向量£的坐标为.

13.如图所示，圆锥的底面半径为0,高为新，则该圆锥的表面积为

14.已知ae(O,7t),若cos(£-a1=',则5吊］20+野=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.weR,复数z=(疝-8加+15)+(〃/一5"i+6)i

⑴若z为纯虚数，求百

(2)复平面内表示复数z的点在第四象限，求比的取值范围

16.已知向量3,B满足卜|=3,忖=6,a-b^9.

⑴求|3"&

⑵若向量23+的与3-22相互垂直，求实数上的值.

17.如图，在三棱锥P-48C中，PC，底面NBC,AB1BC,D,E分别是AB,的

中点，PC=AC=2,BC=y/2.

(1)求证：DE〃平面P/C；

(2)求三棱锥。-尸/C的体积.

18.在锐角V48c的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且2asinS=6A

(1)求角A的大小；

(2)若a=7,Z>+c=10,求V48c的面积.

19.唐代诗人温庭基的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不

知”，表达了诗人的相思之情.为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”(如图所示)：

棱长为1的水晶正八面体(八个面都是全等的正三角形)，中间的球体部分是被挖空的(表

面不被破坏)，并嵌入了红豆.

(1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积.

(2)超市推出一项活动，在，玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等

边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片.甲乙两人每人抽取

一次(抽取结果互不影响)，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率.

⑶若点尸为(1)中球面上的任一点，设ZPAD=02,二面角8-4尸-。的平

面角为夕，求证：tana-tana-cos。为定值.

参考答案:

1.c

2.D

3.B

4.B

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AC

10.BCD

11.ABD

13.6兀

1

14.

3

15.(l)|z|=6；

(2)2<m<3.

16.(1)377

(2)左=4

17.(1)证明见解析

【详解】(1)因为。，£分别是43,尸3的中点，所以DE是VP4B中位线,

所以DE〃尸/,£)£N平面尸/。，尸/匚平面尸/。，所以DE〃平面P/C

(2)因为^D-PAC=‘P-ADC,

因为尸C_L底面48C,即尸C_L平面ADC,

又ABBC,BC=g，AC=2,所以AB=JAC?-BC?=6，

又D是AB的中点，所以Sv3c=；SVABC=H叵乂叵=；，

又PC=2,所以噎皿=；x；x2=；.

71

18.⑴『

4

【详解】(1)由2asinB=拒b，

利用正弦定理得：2siib4sinB=6sinB，

sinBw0,

siih4=,又A为锐角，

2

则/=(;

(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc-cosA,

即49=b2+c2-be=(b+c)2-3bc=100-3Z)c,

:.bc=n,

又siib4=,

2

贝USVHBC=1"加Si必=.

19.⑴声

⑵在

“25

(3)证明见解析

【详解】(1)设被挖空的球体的半径为八球心为O,根据题意,

当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，

此时设四棱锥£一/8。的高为儿贝二号.

所以餐八间体=^E-ABCD=2X-X1X1X，

正八面体每个面的面积是凡处,=1X1XI=3.

VABC224

由匕E八面体=8%_/BC得：=8x—x^-r.解得所以$=4兀，"=彳兀.

33463

(2)在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，

该试验的样本空间。={(4B,Q,(A,B,0,(4B,E),(A,B,F),(A,C,D)

,(4C,E),(A,C,F),(A,D,E),(A,D,F),(A,E,F),(B,C,D),(B,C,E)

AB,C,F),(B,D,E),(B,D,E,F),(C,D,E),(C,D,F),(C,E,F),(D,E,F)}

共20个样本点，所以〃(0)=20.

每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型.

设事件4=甲获得“花好”卡片，事件4=乙获得“花好”卡片

4=A={(4B,E),(4B,F),(A,D,E),(4D,F),(B,C,E),(B,C,F),(C,D,E),(C,D,F)},

o,

所以力(4)=〃(4)=8,从而尸(4)=汽4)=云=不

设事件瓦=甲获得“月圆”卡片，事件为=乙获得“月圆”卡片，

任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形，

所以〃(耳)="但)=20-8=12,从而尸(BJ=P但)=?=(.

记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M,

M^A{B^A2B1,且4与与外与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，

得

233212

P(M)=P(A1B2