2024届兰州市重点中学中考数学最后一模试卷含解析

2024届兰州市重点中学中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.反比例函数y=—的图象如图所示，以下结论：①常数m<-l；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点

x

A(-1,h),B(2,k)在图象上，则h<k；④若点P(x,y)在上，则点P，(-x,-y)也在图象.其中正确结论的个数是()

2C.3D.4

2.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2-3C.y=(x+2)2+3D.y=(x+2)2-3

3.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在

OE的位置上，测得AD长为0.9米，则梯子顶端A下落了()

A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米

4.一次函数y=(m—l)x+(m—2)的图象上有点M(X],yJ和点N(X2，y2),且％AX2,下列叙述正确的是()

A.若该函数图象交y轴于正半轴，则%<丫2

B.该函数图象必经过点(-1,-1)

C.无论m为何值，该函数图象一定过第四象限

D.该函数图象向上平移一个单位后，会与x轴正半轴有交点

5.如图,折叠矩形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，若AB=8,BC=104!UCEF的周长为()

D

7.如图，在。A5CD中，AC,5。相交于点0,点£是04的中点，连接并延长交AD于点凡已知SAAE*4,

A尸1

则下列结论：①一=-;②SABCE=36；③SAABE=12；@AAEF-AACD,其中一定正确的是（）

FD2

A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③

8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）

A.9B.7C.-9D.-7

9.如图，AABC为等边三角形，要在AABC外部取一点。，使得AABC和ADBC全等，下面是两名同学做法：（）

甲：①作NA的角平分线/；②以3为圆心，长为半径画弧，交/于点。，点。即为所求；

乙：①过点3作平行于AC的直线/；②过点。作平行于AB的直线M，交/于点。，点。即为所求.

A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

10.若|a|=-a,贝!]a为（）

A.a是负数B.a是正数C.a=0D.负数或零

11.已知，如图，AB是。O的直径，点D,C在。O上，连接AD、BD、DC、AC,如果/BAD=25。，那么NC的

度数是（）

A.75°B.65°C.60°D.50°

12.下列各数中，相反数等于本身的数是（）

A.-1B.0C.1D.2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如果a是不为1的有理数,我们把L称为a的差倒数如：2的差倒数是」=-1,-1的差倒数是广工=:，已

1一〃1-21-（一1）L

知4=4,出是对的差倒数，的是的的差倒数，％是。3的差倒数，…，依此类推，则。2019=.

14.如图，AB,AC分别为。。的内接正六边形，内接正方形的一边，5c是圆内接〃边形的一边，则"等于.

15.圆锥的底面半径为3,母线长为5,该圆锥的侧面积为.

16.若分式之的值为0,则a的值是.

17.已知x+y=G9="，贝（Jx2y+xy2的值为.

18.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面展开图的面积等于.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“官兵分布”问题：“一千官军一千布，一官四JE无零数，四军才

分布一请问官军多少数.”其大意为：今有1000官兵分1000匹布，1官分4匹，4兵分1匹.问官和兵各几人？

20.（6分）一道选择题有A3,。,。四个选项.

（1）若正确答案是4,从中任意选出一项，求选中的恰好是正确答案A的概率；

（2）若正确答案是A,8,从中任意选择两项，求选中的恰好是正确答案A,3的概率.

21.（6分）如图，在平面直角坐标比Qy中，正比例函数y=丘的图象与反比例函数》=—的图象都经过点A（2,-2）.

（1）分别求这两个函数的表达式;

（2）将直线Q4向上平移3个单位长度后与y轴交于点3,与反比例函数图象在第四象限内的交点为C,连接45,

AC,求点C的坐标及△ABC的面积.

22.（8分）如图，A（4,3）是反比例函数y='在第一象限图象上一点，连接OA,过A作AB〃x轴，截取AB=OA

X

（B在A右侧），连接OB,交反比例函数y=&的图象于点P.求反比例函数y=K的表达式；求点B的坐标；求小OAP

xx

23.（8分）如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF与DE交于点G,求证：GE=GF.

若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由

甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天?

25.（10分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下:

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何?

译文为:

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格

是多少？

请解答上述问题.

26.（12分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提

升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用」为625万元，乙种套房费用为700万元.

(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？

(2)如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于

甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？

(3)在(2)的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元

(a>0),市政府如何确定方案才能使费用最少？

27.(12分)如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB,已知观测点C到旗杆的距离CE=8逝m,测得旗杆的

顶部A的仰角NECA=30。，旗杆底部B的俯角NECB=45。，求旗杆AB的高.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可.

【详解】

解：•.•反比例函数的图象位于一三象限，

•*.m>0

故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；

将A(-l,h),B(2,k)代入y=—，得到h=-m,2k=m,

X

Vm>0

Ah<k

故③正确；

mm

将P（x,y）代入y=一得到m=xy,将P，（-x,-y）代入y=—得到m=xy,

XX

故P（x,y）在图象上，贝!|P0x,-y）也在图象上

故④正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键.

2、D

【解析】

先得到抛物线y=x2的顶点坐标（0,0）,再根据点平移的规律得到点（0,0）平移后的对应点的坐标为（-2,-1）,然

后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【详解】

解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,把点（0,0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到对应点的坐标

为（-2,-1）,所以平移后的抛物线解析式为丫=（x+2）与I.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利

用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐

标，即可求出解析式.

3、B

【解析】

试题分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可.

解：在RtZkACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=1,

；.AC=2,

VBD=0.9,

，CD=2.1.

在RtAECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.1M.19,

AEC=0.7,

.\AE=AC-EC=2-0.7=1.2.

故选B.

考点：勾股定理的应用.

4、B

【解析】

利用一次函数的性质逐一进行判断后即可得到正确的结论.

【详解】

解：一次函数y=(m—l)x+(m—2)的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，则m—1>0,m—2>0,若x^x2,

则丫1>丫2,故A错误；

把x=—1代入y=(m—+2)得，y=-l,则该函数图象必经过点(—1,-1),故B正确；

当m>2时，m-l>0,m—2>0,函数图象过一二三象限，不过第四象限，故C错误；

函数图象向上平移一个单位后，函数变为y=(m—l)x+(m—1),所以当y=0时，x=—1,故函数图象向上平移一

个单位后，会与x轴负半轴有交点，故D错误，

故选B.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活

应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

5、A

【解析】

解：•.•四边形ABCD为矩形，

.\AD=BC=10,AB=CD=8,

•.•矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，

/.AF=AD=10,EF=DE,

在RtAABF中，

VBF=^AF2-AB2=6,

.\CF=BC-BF=10-6=4,

/.△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=1.

故选A.

6、B

【解析】

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=24,

过A作AD_LBC于D,贝！|BD=12,

在R3ABD中，AB=13,BD=12,则,

AD=VAB2-BD2=5»

,,AD5

故12心防=立

故选B.

【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理.

7、D

【解析】

*1

在。ABC。中，AO=-AC,

2

点E是04的中点，

1

AE=-CE,

3

AD//BC,

△AFEs/\CBE,

AF_AE

3C-CE-3'

AD=BC,

1

AF=-AD,

3

AF1工乙…一小

---=—；故①正确;

FD2

SAEF/AF21

SBCEBC9

SA5CE=36；故②正确;

EF_AE.

~BE~~CE_3,

AEF_1

SABE3

SAABE=12,故③正确;

,：BF不平行于CO,

二AAEF与小ADC只有一个角相等，

.♦.△AE尸与△AC。不一定相似，故④错误，故选D.

8、C

【解析】

先求出x=7时y的值，再将X=4、y=-l代入y=2x+b可得答案.

【详解】

当x=7时,y=6-7=-l,

当x=4时,y=2x4+b=-l,

解得：b=-9,

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法.

9、A

【解析】

根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论.

【详解】

甲的作法如图一：

,/△ABC为等边三角形，AD是44c的角平分线

：.ZBEA=90°

ZBEA+ZBED=180°

ZBED=9Q°

:.ZBEA=ZBED=90°

由甲的作法可知，AB=BD

:.ZABC=ZDBC

AB=BD

在ABC和DCB中，＜NABC=NDBC

BC=BC

ABC=.DCB(SAS)

故甲的作法正确；

乙的作法如图二：

图二

BD//AC,CD//AB

ZACB=ZCBD,ZABC=ZBCD

ZABC=ZBCD

在ABC和DCB中，＜BC=BC

ZACB=ZCBD

，ABC=^DCB(ASA)

故乙的作法正确；

故选：A.

【点睛】

本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

10、D

【解析】

根据绝对值的性质解答.

【详解】

解:当a30时，|a|=-a,

；.|a|=-a时,a为负数或零，

故选D.

【点睛】

本题考查的是绝对值的性质，①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的

相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零.

11、B

【解析】

因为AB是。。的直径，所以求得NADB=90。，进而求得NB的度数，又因为NB=NC,所以NC的度数可求出.

解：；AB是。。的直径，

/.ZADB=90°.

；/BAD=25°,

.\ZB=65°,

•••NC=NB=65。（同弧所对的圆周角相等）.

故选B.

12、B

【解析】

根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数.

【详解】

解：相反数等于本身的数是L

故选B.

【点睛】

本题考查了相反数的意义.注意掌握只有符号不同的数为相反数，1的相反数是L

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

3

13、一•

4

【解析】

利用规定的运算方法，分别算得ai,a2,a3,a4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.

【详解】

Vai=4

111

32=---------=---,

\-ax1-43

1_1_3

a3=l-%1-1-1］履

1*=4

H4=1-d^

1--

4

数列以4,-1/；3三个数依次不断循环，

720194-3=673,

._3

・・32019=33=-9

4

3

故答案为：一♦

4

【点睛】

此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.

14、12

【解析】

连接AO,BO,CO,如图所示：

TAB、AC分别为。O的内接正六边形、内接正方形的一边,

.\ZAOB=^^=60°,ZAOC=^^=90°,

604

.,.ZBOC=30°,

故答案为12.

15、15K

【解析】

试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和

扇形的面积公式求解.圆锥的侧面积=L.2R・3・5=15TT.

2

故答案为15n.

考点：圆锥的计算.

16、1.

【解析】

试题分析：根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可.

试题解析：•.•分式一的值为0,

口♦3

••，

(二♦;=。

解得a=l.

考点：分式的值为零的条件.

17、372

【解析】

分析：因式分解，把已知整体代入求解.

详解：x2j+xj2=xy(x+y)=*=3亚.

点睛:因式分解的方法：(1)提取公因式法.nia+,"Z>+/nc=»i(a+5+c).

(2)公式法:完全平方公式，平方差公式.

(3)十字相乘法.

因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体，利用上述方法因式分解的能力.

18、24兀cm?

【解析】

解：它的侧面展开图的面积=‘・1兀・4、6=14兀故答案为14兀。机1.

2

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、官有200人，兵有800人

【解析】

设官有x人，兵有y人，根据1000官兵正好分1000匹布，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】

解：设官有X人，兵有y人,

x+y=1000

依题意，得:4x+；y=1000

x=200

解得：＜

y=800

答：官有200人，兵有800人.

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.

20-.(1)—;(2)—

46

【解析】

(1)直接利用概率公式求解；

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的恰好是正确答案A,B的结果数，然后根据概率公式求

解.

【详解】

解：(1)选中的恰好是正确答案A的概率为5；

4

(2)画树状图：

ABCD

Zl\ZK/N/N

BCDACDABDABc

共有12种等可能的结果数，其中选中的恰好是正确答案A,B的结果数为2,

21

所以选中的恰好是正确答案A,B的概率===：.

126

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

4

21、(1)反比例函数表达式为y=,正比例函数表达式为丁=-x；

x

(2)C(4,-l),SABC=6.

【解析】

ni

试题分析：(1)将点A坐标(2,・2)分别代入丫=1«、y=—求得k、m的值即可；(2)由题意得平移后直线解析式,

x

即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将AABC的面积转化为△OBC的面积.

试题解析：(1)把4(2,-2)代入反比例函数表达式丁=',

VV1

得-2=—,解得m=-4,

2

4

反比例函数表达式为y=——,

x

把4(2,—2)代入正比例函数丁=履，

得一2=2左，解得左=—1,

二正比例函数表达式为V=-％.

(2)直线由直线Q4向上平移3个单位所得，

直线BC的表达式为y=-x+3,

4

y——%=4%2=-1

由＜x，解得V

1%=-2$=4

y=-x+3

•••C在第四象限,

.•.C（4,-l）,

连接0C,

'：OABC,

=

SABCSBOC=~■OB-xc,

=—x3x4,

2

=6.

12

22、(1)反比例函数解析式为y=一；(2)点B的坐标为(9,3)；(3)AOAP的面积=1.

x

【解析】

(1)将点A的坐标代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=OA=1,由AB〃x轴即可得点B的坐标；

(3)先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得.

【详解】

k

(1)将点A(4,3)代入y=—，得：k=12,

X

12

则反比例函数解析式为y=一；

x

(2)如图，过点A作AC_Lx轴于点C,

则OC=4、AC=3,

.•4="+32=1，

；AB〃x轴，且AB=OA=1,

.•.点B的坐标为(9,3)；

(3)•••点B坐标为(9,3),

/.OB所在直线解析式为y=1x,

1

V=­X

-3

由＜可得点P坐标为(6,2),(负值舍去),

12

y=—

X

过点P作PDLx轴，延长DP交AB于点E,

则点E坐标为(6,3),

；.AE=2、PE=1、PD=2,

则AOAP的面积=，x(2+6)X3--X6x2--x2xl=l.

222

【点睛】

本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.

23、证明见解析.

【解析】

【分析】求出BF=CE,根据SAS推出AABF^^DCE,得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论.

【详解】VBE=CF,

，BE+EF=CF+EF,

.\BF=CE,

在小ABF和小DCE中

AB=DC

<NB=NC,

BF=CE

.'.△ABF^ADCE(SAS),

/.ZGEF=ZGFE,

.•.EG=FG.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

24、规定日期是6天.

【解析】

本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1,把相应数值代入即可求解.

【详解】

解：设工作总量为1,规定日期为x天，则若单独做，甲队需x天，乙队需x+3天，根据题意列方程得

111+g=1

2

x+3xx+3

解方程可得x=6,

经检验x=6是分式方程的解.

答：规定日期是6天.

25、共有7人，这个物品的价格是5