《中考真题》2019年中考数学母题题源系列专题02-方案设计问题(第二篇)(解析版)

PAGE1专专题02方案设计问题【母题原题一】【2019•烟台】亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．

（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？

（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】（1）计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）需调配36座客车3辆，22座客车5辆．【解析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，

依题意，得：，

解得：．

答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．

（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，

依题意，得：36m+22n=218，∴n=．

又∵m，n均为正整数，∴．

答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【母题原题二】【2019•山西】某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．

设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．

（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．

（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【答案】（1）y1=30x+200，y2=40x；（2）当x>20时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x；

（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．【名师点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【母题原题三】【2019·浙江温州】某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．【答案】（1）该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．【解析】（1）设成人有x人，少年y人，根据题意，得，解得．答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6=1320（元）．答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，当10≤a≤17时，若a=10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，∴b的最大值是2，此时a+b=12，费用为1160元；若a=11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b，∴b的最大值是1，此时a+b=12，费用为1180元；若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；当1≤a<10时，若a=9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，∴b的最大值是3，a+b=12，费用为1200元；若a=8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，∴b的最大值是3，a+b=11<12，不合题意，舍去；同理，当a<8时，a+b<12，不合题意，舍去；综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．【命题意图】考查方程与不等式、函数方案设计问题．方案设计问题一般是通过一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，让学生运用所学知识，技能和方法，进行设计、操作，寻求恰当的解决方案．有时也可能给出几个不同的解决方案，要求判定哪个方案更优．【方法总结】1．用方程或不等式解决方案设计问题，首先要来哦接问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．2．解决函数型方案设计问题，先根据题意和实际情况列出不等式（组）或函数关系式，再确定最优方案．1．【天津市河北区2019届中考一模数学试题】某货运公司有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨．I.请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨；Ⅱ.目前有46.4吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费500元，每辆小货车一次运货花费300元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？【答案】I.1辆大货车一次可以运货5吨，1辆小货车一次可以运货3.5吨；Ⅱ.当该货运公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少．【解析】I.设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨．根据题意可得，解得．答：1辆大货车一次可以运货5吨，1辆小货车一次可以运货3.5吨．Ⅱ.设货运公司安排大货车m辆，则小货车需要安排辆，根据题意可得，解得，∵m为正整数，∴m可以取8，9，10．当时，该货运公司需花费（元）．当时，该货运公司需花费（元）．当时，该货运公司需花费（元）．∴当时花费最少．答：当该货运公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少．【名师点睛】本题以运货安排车辆为背景考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．2．【2019年黑龙江省大庆市初中毕业升学考试数学模拟测试卷】某市某中学组织部分学生去某地开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）3042租金/（元/辆）300400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）①既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，需租用几辆客车；②求租车费用的最小值．【答案】（1）老师有16名，学生有284名；（2）①需租8辆客车；②租车费用最低为2900元．【解析】（1）设老师有x名，学生有y名，依题意，列方程组为，解得，答：老师有16名，学生有284名；（2）①∵每辆客车上至少要有2名老师，∴汽车总数不能大于8辆；要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆，∴需租8辆客车；②设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为（8–x）辆，∵车总费用不超过3100元，∴400x+300（8–x）≤3100，解得x≤7，为使300名师生都有座，∴42x+30（8–x）≥300，解得x≥5，∴5≤x≤7（x为整数），∵乙种车辆租金高，∴租用乙种车辆最少，租车费用最低，∴租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用最低为2900元．3．【2019年广西梧州市中考数学二模试卷】为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A、B两种型号的污水处理设备共10台（注：要求同时有两种型号），买2台A型设备和3台B型设备共需要90万元，其中A型设备单价是B型设备单价的1.5倍；经预算，指挥部购买污水处理设备经费不超过180万元，请解答下列问题：（1）A型设备和B型设备的单价各是多少万元？（2）指挥部有哪几种购买方案？（3）若A型设备月处理污水量200吨，B型设备月处理污水量180吨，现要求月处理污水量不低于1840吨，设购买设备需要总费用为y万元，A型设备x台，请写出y与x的函数解析式，并根据函数性质选择更省钱的购买方案？【答案】（1）A型设备和B型设备的单价各是22.5万元、15万元；（2）4种购买方案；（3）当购买A型设备2台，B型设备8台更省钱．【解析】（1）设A型设备和B型设备的单价各是x万元、y万元，，得．答：A型设备和B型设备的单价各是22.5万元、15万元；（2）设购买A型设备a台，则购买B型设备（10–a）台，22.5a+15（10–a）≤180，解得a≤4，∵a≥1，∴1≤a≤4，∴共有4种购买方案，方案一：购买A型设备1台，B型设备9台；方案二：购买A型设备2台，B型设备8台；方案三：购买A型设备3台，B型设备7台；方案四：购买A型设备4台，B型设备6台；（3）由题意可得，y与x的函数解析式是：y=22.5x+15（10–x）=7.5x+150，即y与x的函数解析式是y=7.5x+150，∵A型设备月处理污水量200吨、B型设各月处理污水量180吨，现要求月处理污水量不低于1840吨，∴200x+180（10–x）≥1840，解得x≥2，由（2）知x≤4，∴2≤x≤4，∴当x=2时，y取得最小值，此时y=165，即当购买A型设备2台，B型设备8台更省钱．4．【2019年江苏省泰州市姜堰区中考二模数学试卷】五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元；购进甲商品2件和乙商品1件共需130元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．【答案】（1）甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；（2）甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．【解析】（1）设商品每件进价x元，乙商品每件进价y元，得，解得．答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；（2）设甲商品进a件，乙商品（100–a）件，由题意得，a≥4（100–a），解得a≥80，设利润为y元，则y=10a+20（100–a）=–10a+2000，∵y随a的增大而减小，∴要使利润最大，则a取最小值，∴a=80，∴y=2000–10×80=1200．答：甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．【名师点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．5．【云南省红河州蒙自市2019届九年级初中学业水平模拟考试试题】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要印刷一批宣传单，学校附近有甲、乙两家印刷社，甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系是：y=0.15x；乙印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系如图所示：（1）写出乙印刷社的收费y（元）与印数x（张）之间的函数关系式；（2）若该小组在甲、乙两印刷社打印了相同数量的宣传单共用去70元，则共打印多少张宣传单？（3）活动结束后，市民反映良好，兴趣小组决定再加印1500张宣传单，若在甲、乙印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？【答案】（1）；（2）共打印400张宣传单；（3）兴趣小组决定再加印1500张宣传单，兴趣小组应选择乙印刷社比较划算．【解析】（1）当0≤x≤500，设y=k1x，由题意可知500k1=100，解得k1=0.2，即y=0.2x；当x>500时，设y=k2x+b，根据题意得，解得，即y=0.1x+50，故乙印刷社的收费y（元）与印数x（张）之间的函数关系式为：y=；（2）根据题意得：0.15x+0.2x=70，解得x=200，故共打印400张宣传单；（3）当0≤x≤500时，0.15x<0.20x，选择甲印刷社；当x>500时，若0.15x<0.1x+50，解得x<1000，即500<x<1000，选择甲印刷社划算；若0.15x=0.1x+50，解得x=1000，即x=1000．选择两家印刷社一样划算；若0.15x>0.1x+50，解得x>1000，即x>1000，选择乙印刷社划算；综上所述，0≤x<1000时选择甲印刷社划算，x=1000时选择两家印刷社一样划算，x>1000时选择乙印刷社划算．答：兴趣小组决定再加印1500张宣传单，兴趣小组应选择乙印刷社比较划算．【名师点睛】本题考查一次函数的应用及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题．6．【2018年河南省安阳市中考数学二模试卷】某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机．已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元，4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元．（1）求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元；（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍．设购进A型无人机x台，总费用为y元．①求y与x的关系式；②购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少？【答案】（1）一台A型无人机售价800元，一台B型无人机的售价1000元；（2）①y=–200x+50000；②购进A型、B型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少．【解析】（1）设一台A型无人机售价x元，一台B型无人机的售价y元，，解得，答：一台A型无人机售价元，一台B型无人机的售价元；（2）①由题意可得，即y与x的函数关系式为；②∵B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍，，解得，，∴当时，y取得最小值，此时.答：购进A型、B型无人机各台、台时，才能使总费用最少．7．【浙江省乐清市2019届1月初中毕业升学考试适应性测试数学试题】某校图书馆为了满足同学们阅读课外书的需求，计划购进甲、乙两种图书共100套，其中甲种图书每套120元，乙种图书每套80元．设购买甲种图书的数量套．（1）按计划用11000元购进甲、乙两种图书时，问购进这甲、乙两种图书各多少套？（2）若购买甲种图书的数量要不少于乙种图书的数量的，购买两种图书的总费用为w元，求出最少总费用．（3）图书馆在不增加购买数量的情况下，增加购买丙种图书，要求甲种图书与丙种图书的购买费用相同．丙种图书每套100元，总费用比（2）中最少总费用多出1240元，请直接写出购买方案．【答案】（1）购进甲种件，乙种25件；（2）9000；（3）甲种35套，乙种23套，丙种42套．【解析】（1）设购进甲种套，乙种()套，则120x+80(100–x)=11000，解得x=75，100–75=25（套）．答：购进甲种套，乙种25套．（2）设购进甲种x套，则，解得，购买两种图书的总费用，∵，∴随的增大而增大∵，∴当=25时，最少总费用是9000．（3）设购买丙种图书为y本，由题意知120x=100y，∴y=1.2x，于是有120x+100y+80（100–x–y）=9000+1240，解得x=35，则1.2x=42，∴100–x–1.2x=23．答：满足条件的方案是购买甲种图书35套，乙种图书23套，丙种图书42套．8．【2019年江苏省盐城市射阳县实验初中中考数学模拟试卷】某企业有员工300人生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）．为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品．根据评估，调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后企业生产A种产品的年利润为__________万元，生产B种产品的年利润为__________万元（用含m的代数式表示）．若设调配后企业全年的总利润为y万元，则y关于x的关系式为__________；（2）若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时运算过程可保留3个有效数字）．（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（m=2）继续投资开发新产品，现有六种产品可供选择（不得重复投资同一种产品），各产品所需资金以及所获利润如下表：产品CDEFGH所需资金（万元）200348240288240500年利润（万元）508020604085如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请你写出两种投资方案．【答案】（1）（300–x）（1+20%）m；1.54mx；y=（300–x）（1+20%）m+1.54mx；（2）①202人生产A产品，98人生产B产品；②201人生产A产品，99人生产B产品；③200人生产A产品，100人生产B产品；200人生产A产品，100人生产B产品总利润最大；（3）由所获年利润不少于145万元，可得投资产品为F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G．【解析】（1）生产A种产品的人数为300–x，平均每人每年创造的利润为m×（1+20%）万元，所以调配后企业生产A种产品的年利润为（300–x）（1+20%）m万元；生产B种产品的人数为x，平均每人每年创造的利润为1.54m，∴生产B种产品的年利润为1.54mx万元，调配后企业全年的总利润y=（300–x）（1+20%）m+1.54mx．故答案为：（300–x）（1+20%）m；1.54mx；y=（300–x）（1+20%）m+1.54mx；（2），解得<x≤100，∵x为正整数