(拔高)：立体几何第一章-空间直线、平面平行垂直【高中数学+二轮复习】

PAGEPAGE1精品文档第一章空间直线、平面平行垂直一、考纲解读1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.二、命题趋势探究有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.三、知识点精讲(一).直线和平面平行1．定义直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）表8-9文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行面∥面线∥面如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）表8-10文字语言图形语言符号语言线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(二).两个平面平行1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若,则∥2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）表8-11文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行线面面∥面如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行∥3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）表8-12文字语言图形语言符号语言面//面线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）面//面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线(三).线面垂直1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）表1文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直__平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直_b_a3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）表2文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行__线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直(四).斜线在平面内的射影1.斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.2.射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.(五).平面与平面垂直1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直__4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a四、思路小结(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.性质性质性质性质判定判定判定线∥面线∥线面∥面图0证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.证明线线平行的常用方法：eq\o\ac(○,1)利用直线和平面平行的判定定理；eq\o\ac(○,2)利用平行公理；(二).证明空间中直线、平面的垂直关系线线线面面面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.性质性质性质性质性质性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面图3五、解答题题型总结核心考点一：平行证明如图所示，在正方体中，是棱的中点．在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．原图：在棱上存在点，使平面．且为的中点．法一：分别取和的中点，，连结，，，．由四边形是平行四边形，有．又，分别为，的中点，有，∴．这说明、、、共面，所以平面．因四边形与皆为正方形，，分别为和的中点，所以，且，∴四边形是平行四边形，所以．而 平面，平面，故平面．法二：连结，，，且与交于点，连结，（要证线面平行转化为线线平行即）由平行四边形有，又为棱中点，有，∴，∴，且．∴，且面，面，∴棱上存在中点，使得面．【例2】如图，已知正方体中，、分别为、的中点，在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论．原图：法一：取使得，则这样的满足要求．延长交于，连接、．由，得．又，，∴易知，∴，是平行四边形∴．另外，由、分别为、的中点，知．∵，∴面面∵面，∴面．法二：延长交于，则．连接交于，则．连接，平面与面的交线即为，要想面，则只需即可．由知，只需即可，即．此时的满足要求．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，．在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论．原图：线段的中点就是满足条件的点．证明如下：取的中点连结、、，则，．取的中点，连结、，∵且，∴是正三角形，∴．∴四边形为矩形，∴．又∵，∴且，四边形是平行四边形．∴，而平面，平面，∴平面．核心考点：垂直证明【例1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，且交于点，证明：平面平面．∵底面，平面，∴；又∵，平面，平面，，∴平面．平面，∴．又∵，是的中点，∴；平面，平面，，∴平面．平面，∴．又∵，、平面，，∴平面，又∵平面，∴平面平面．【例2】如图，已知中，，，平面，，、分别是、上的动点，且．⑴求证：不论为何值，总有平面平面；⑵当为何值时，平面平面？⑴∵平面，∴．∵，且，∴平面．又，故．∴平面．又∵平面，∴不论为何值，总有平面平面．⑵由⑴知，，又平面平面，∴平面，∴．∵，，∴，，．由射影定理，解得，∴．因此时，平面平面．【例3】在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，且交于点，证明：平面平面．【解析】∵底面，平面，∴；又∵，平面，平面，，∴平面．平面，∴．又∵，