高二下学期3月周考数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高二下数学周考时间：120分钟；满分：150分第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知1，，，8是等比数列，那么的值等于（

）A．1 B．4 C．8 D．162．已知向量，满足，，且与的夹角为，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（

）A． B． C．2 D．44．等比数列的前项和是,且,若,则(

)A． B． C． D．5．等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为A．65 B．75 C．90 D．1106．已知，，成等差数列，且公差为，若，，成等比数列，则公差A． B．C．或 D．或7．已知直线与圆交于两点，则弦最短时，（

）A．2 B．1 C． D．8．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（

）A． B． C． D．10．若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（

）A． B． C． D．11．已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．12．提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（

）A．数列的通项公式为B．数列的第2021项为C．数列的前项和D．数列的前项和第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，则公差d＝．14．已知数列满足，，则的通项公式是.15．若，，则；16．设为数列的前项和，，则．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．18．（12分）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.(1)求的值及数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19．（12分）如图正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点F.

(1)求证：F是的中点；(2)求点D到平面的距离.20．（12分）已知数列满足，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．（12分）已知数列的首项，前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)令，数列的前项和为，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值．22．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】根据等比数列的定义即可得出，从而求出【详解】解：，，，8是等比数列；；．故选：．2．B【分析】根据平面向量的夹角公式即可求解．【详解】解：∵，，且与的夹角为，∴，∴．故选：B．3．B【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.【详解】由可设的公比为，等比数列的前三项和为84，，，解得，故选：B.4．D【分析】根据等比数列的性质成等比数列，列方程求解【详解】设,则,所以由等比数列性质知成等比数列所以,得,所以所以故选：D5．A【分析】由的首项，前项和为，，求出，可得，再求数列前10项和．【详解】∵的首项，前项和为，，解得故数列的前项和为故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．C【分析】根据等差中项、等比中项性质列方程组解得，，即得公差.【详解】因为，，成等差数列，所以，又，，成等比数列，所以，上述两式联立解得或，所以公差或，故选C．【点睛】本题考查等差中项、等比中项性质，考查基本求解能力.7．A【分析】求出直线所过定点，当⊥时，最小，根据直线垂直与斜率的关系即可得到答案.【详解】变形为，故直线过定点，因为，则该定点在圆内，而的圆心为，半径为，设圆心到该直线的距离为，因为，则当最大时，取得最小值，而当时，最大，即取得最小值，因为，则.故选：A8．【分析】根据题意先求，然后利用倒序相加法求，则由可得，求出的最小值即可求得的取值范围【详解】因为，所以，由，，所以，所以，所以由，得，，，所以，令，（）则当，递减，当时，递增，因为，所以，所以，即的取值范围是，故答案为：9．AB【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.【详解】由题意可得：等比数列的首项，公比，即，对A：，且，即为等比数列，A正确；对B：，且，即为等比数列，B正确；∵，则有：对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；故选：AB.10．BD【分析】举特例，可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.【详解】对于A,不妨取，但，不满足，故A错误；对于B,,对，若,则，则,即，故B正确；对于C，不妨取，但，不满足，故C错误；对于D,,对，若,则，则，故，即，故D正确；故选：BD11．ACD【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可.【详解】对于A,数列为等差数列，，数列为递减的等差数列，故A正确，对于B,数列为递减的等差数列，的最大值为，故B错，对于C,由得的最小值为,即，故C正确，对于D,故D正确.故选：ACD12．CD【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和【详解】数列各项乘以10再减4得到数列故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；从而所以故B错误当时；当时0.3.当时也符合上式，所以故C正确因为所以当时当2时，所以所以又当时也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.13．2【分析】由数列的前n项和定义、等差数列的等和性、等差数列的通项公式及等差前n项和公式计算可得.【详解】{an}为等差数列，故由Sn－Sn－3＝51（n>3）可得an－2＋an－1＋an＝51，由等差数列的等和性可得：3an－1＝51，即：an－1＝17，所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，所以，解得：n＝10，所以，解得d＝2．故答案为：2.14．【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解.【详解】因为①所以，当时，②，①-②可得，，所以，所以数列的通项公式是.故答案为：.15．【分析】设，求出，然后根据等比数列的定义即得.【详解】解：设，所以，，，所以，所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：.16．【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用前项和公式求出结果．【详解】设为数列的前项和，①当时，解得，当时，②①-②得，即（常数），所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．则（首项符合通项）．故，所以.故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的前项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17．(1)，(2)【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；（2）确定第组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】（1）设中位数为x,平均数为,因为前三个矩形面积为，故，解得；.（2）人，人,即第五组有30人，第六组有20人,人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为，第六组的两人为,则共有抽法为，共10种，其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．18．(1)，(2)【分析】（1）当时，，两式相减得，由，可求出的值；（2）由（1）知，由绝对值的定义结合等差数列的前项和公式即可求出数列的前项和.【详解】（1）因为，所以时，，所以.又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，综上.（2）由（1）知，当时，，当时，所以.19．(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到，结合E是棱的中点，得到结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间向量求解出点到平面的距离.【详解】（1）连接，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，故，故，又E是棱的中点，所以F是的中点.

（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得，故，

点D到平面的距离为.20．（1）（2）【分析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；（2）分析可知应用错位相减法求数列的和．【详解】（1）由知，数列是等差数列，设其公差为，则，所以，，即数列的通项公式为．（2），，，两式相减得：，整理得：，所以．21．(1)(2)14．【分析】（1）由得出等差数列，再应用等差数列通项求解；（2）先应用裂项相消得出前n项和，再把不等式恒成立问题转化为最值求解.【详解】（1）由．当时，两式相减得：，整理得：所以，，（）所以，是以1为首项，公差为3的等差数列．所以（2）由