高二下学期6月周考数学试卷

高二下数学6月周考1（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数的求导运算中，错误的是（

）A． B．C． D．2．已知随机变量，则（

）A．15 B．20 C．5 D．103．的展开式中含项的系数为（

）A．24 B．28 C．20 D．324．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（

）A．7 B．12 C．15 D．315．质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（

）A． B． C． D．6．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（

）A．96种 B．132种 C．168种 D．204种7．已知数列满足，且，若，则正整数为（

）A．13 B．12 C．11 D．108．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，下列说法正确的是（

）A．展开式共有9项 B．展开式中的常数项是240C．展开式的二项式系数之和为256 D．展开式的各项系数之和为110．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值为B．有两个不同的零点C．D．若在区间上恒成立，则11.如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（A在轴的上方，在轴的下方），过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（）A.当直线的斜率为1时， B.若，则直线的斜率为2C.存在直线使得 D.若，则直线的倾斜角为第二卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为.参考数据：若，则13.在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为______．14．已知正数满足，则.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知数列的前n项和．（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.(1)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率;(2)每盒绿茶（净重）原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望.18．（17分）已知函数，函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，求函数的零点个数．19．（17分）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线与轴交于点M，且(1)求C的方程；(2)B为上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q①证明：直线BP、BF、BQ的斜率成等差数列；②圆N经过B、P、Q三点，是否存在点B使得？若存在，求出|BM|；若不存在，请说明理由.参考答案第一卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数的求导运算中，错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本函数的导数公式及导数的运算法则逐项求导判断即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：C2．已知随机变量，则（

）A．15 B．20 C．5 D．10【答案】D【分析】根据题意，利用二项分布的方差的计算公式以及方差的性质，即可求解.【详解】由随机变量，可得，则.故选：D.3．的展开式中含项的系数为（

）A．24 B．28 C．20 D．32【答案】B【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可.【详解】设展开式中第项含x项，则，令，解得，因此，所以的展开式中含项的系数为28.故选：B4．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（

）A．7 B．12 C．15 D．31【答案】C【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以，则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.5．质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，孪生素数有和，和，和，和，共组.所以，，所以.故选：D6．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（

）A．96种 B．132种 C．168种 D．204种【答案】C【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得.【详解】依题意其余位主播有两种情况：①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点；所以不同游玩方法（种）.故选：C7．已知数列满足，且，若，则正整数为（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】B【分析】确定，，利用累加法确定，代入计算得到答案.【详解】，故，，故，.故，，即，故，解得.故选：B8．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得点点距列方程得代入双曲线求出离心率.【详解】设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限，因为，所以，所以，又，解得，所以，所以，解得，所以，代入双曲线方程得：，解得，所以.故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A的坐标.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，下列说法正确的是（

）A．展开式共有9项 B．展开式中的常数项是240C．展开式的二项式系数之和为256 D．展开式的各项系数之和为1【答案】BD【分析】利用二项式系数的性质求出，再逐项分析判断得解.【详解】由二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，得展开式共有7项，，对于A，展开式共有7项，A错误；对于B，展开式中的常数项是，B正确；对于C，展开式的二项式系数之和为，C错误；对于D，取，得展开式的各项系数之和为1，D正确.故选：BD10．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值为B．有两个不同的零点C．D．若在区间上恒成立，则【答案】ACD【分析】先利用导数分析讨论函数的单调性和极值情况，即得A项；解方程即可判断B项；利用的单调性可判断C项；将等价转化成，求得在上的最大值，即可判断D.【详解】由知其定义域为，，则当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；对于A：由上分析知，在时取得极大值，故A正确；对于B：令，解得，故函数只有一个零点，故B错误；对于C：因为，即，又，故，因为在上单调递减，则，即，故C正确；对于D：由可得，令，则，由可得，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.故，故得，故D正确.故选：ACD.11.如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（A在轴的上方，在轴的下方），过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（）A.当直线的斜率为1时， B.若，则直线的斜率为2C.存在直线使得 D.若，则直线的倾斜角为【答案】AD【解析】【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.【详解】易知，可设，设，与抛物线方程联立得，则，对于A项，当直线的斜率为1时，此时，由抛物线定义可知，故A正确；易知是直角三角形，若，则，又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误；由上可知，即，故C错误；若，又知，所以，则，即直线的倾斜角为，故D正确.故选：AD第二卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为.参考数据：若，则【答案】0.84/【分析】根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案.【详解】由题意知，该产品服从，则，所以，即抽到“可用产品”的概率为0.84.故答案为：0.84.13.在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意直观想象三棱住的外接球位置，再利用球的截面性质可得当为所截圆的直径时截面面积最小，从而得解.【详解】由直三棱柱可知，平面，又，所以两两垂直，设直三棱柱外接球的半径为R，通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同；过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小，因为，则所求截面面积最小值为.故答案为：.14．已知正数满足，则.【答案】【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，结合函数值域，求得，再求即可.【详解】，；令，则，故当，，单调递增；当，，单调递减；又，故，即故，当且仅当时，取得等号；由题可知，，故，则，故，即，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数，利用导数求得其值域，从而求得.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知数列的前n项和．（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，当时，，所以，当时，，又，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故【小问2详解】因为，所以，，，，所以，所以16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交与点，根据题意证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：连接交与点，连接，可得平面与平面的交线为，因为平面，平面，所以，又因为为的中点，所以点为的中点，取的中点，连接，可得且，又因为为的中点，可得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面．【小问2详解】解：取的中点，连结，因为，可得，且，又因为，且，所以，所以，又因为，且平面，所以平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，因为为的中点，为的中点，可得，则，设是平面的法向量，则，取，可得，所以，设是平面的法向量，则，取，可得，所以；设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．17．（15分）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.(1)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率;(2)每盒绿茶（净重）原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，38.【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式求解即得.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）由三道工序至少有一道工序合格的概率为，得，解得，记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件A，B，C，这三道工序加工中恰有两