数学-湖南省金太阳2025届高三年级8月入学考试（下标HUN）试题和答案

湖南省高三年级入学考试数学参考答案1.C【解析】本题考查复数相等与复数的模,考查数学运算的核心素养.由儿十2i=y十1—儿i(儿,y∈R),得儿=y十1且2=—儿,解得儿=—2,y=—3,则|儿2十yi|=|4—3i|=\16十9=5.2.D【解析】本题考查三角函数的周期,考查逻辑推理的核心素养.因为w>0,所以T=≥3π,解得0<w≤3.A【解析】本题考查集合的交集,考查数学运算的核心素养.因为A={y|y=(儿十1)2—1}=[—1,十∞),B={儿|—5<儿<2},所以A∩B=[—1,2).4.C【解析】本题考查双曲线的离心率与平面向量,考查直观想象的核心素养.依题意可得,所以=5.因为与同向,所以5.B【解析】本题考查等比数列,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为两个等比数列{an},{bn}的公比相等,且a1十b1=1,a3十b3=—2(a2十b2),所以数列{an十bn}是首项为1,公比为—2的等比数列,所以数列{an十bn}的前7项和为=43.6.D【解析】本题考查正态分布,考查应用意识以及逻辑推理的核心素养.依题可知,儿-=3.2,s2=1.44,所以Y~N(3.2,1.22),故P(Y>2)=P(Y>3.2—1.2)=P(Y<3.2十1.2)≈0.8413.因为X~N(2.8,1.22),所以P(X<4)=P(X<2.8十1.2)≈0.8413,所以P(X<4)=P(Y>2),P(X<4)十P(Y>2)≈1.6826>1.68.7.A【解析】本题考查两角和与差的正切公式,考查数学运算的核心素养.所以tan(α—β)=3,故tan2α=tan[(α十β)十(α—β)]=1—73=—.8.D【解析】本题考查直线与半椭圆的位置关系,考查直观想象与数学运算的核心素养.由儿得儿,即十,所以C为椭圆十的右半部分.当m=0时,直线l:儿=0与C有两个公共点;当m≠0时,直线l:y=儿十3,令=k,将y=k儿十3代入十=1,得儿2十18k儿十15=0,【高三数学●参考答案第1页(共8页)】●HUN 则△=(18k)2—60(3k2十4)>0,得k2>,则m2<.由图可知<0,所以m∈(—\,09.ACD【解析】本题考查统计,考查数据处理能力.该部门一年中请假天数为0的人数为3063443=10,A正确.该部门一年中请假天数大于5的人数为4十4十3=11,B错误.因为30×40%=12,且请假天数为0的人数为10,请假天数为4的人数为6,所以这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4,C正确.这30名员工一年中请假天数的平均数为×(4×6十5×3十6×4十7×4十8×3)=<4,D正确.10.ABD【解析】本题考查函数的性质、导数的几何意义、直线的斜率,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.因为f(儿)的定义域为(—∞,—1)U(1,十∞),且f(—儿)=—儿十=—f(儿),所以f(儿)为奇函数,A正确.f(儿)在(—∞,—1)和(1,十∞)上均为增函数,当儿∈(—∞,—1)时,f(儿)<0,当儿∈(1,十∞)时,f(儿)>0,所以f(儿)在其定义域内为增函数,B正确.当儿∈(—∞,—1)U(1,十∞)时,f’(儿)=1十2<2,则曲线y=f(儿)的切线的斜率小于2,C错误.设曲线y=f(儿)上任意一点为,则y=儿—则2—1==22—1儿11.BC【解析】本题考查空间几何体的新概念、体积、线面角以及外接球的表面积,考查空间想象能力与直观想象、数学运算的核心素养.因为圆锥PO的底面直径与线长度分别为2,4,所以圆锥PO的母线长为4,高为\=\,则圆锥PO的体积为π×12A1 π,A错误.设圆锥PO内切球的半径为r,则,解得r=所以圆锥PO内切球的线长度为2rA1 CDCDAD1MAD1MBBCC1NM1EFNM1EFB1=2\515,C正确.因为AB=2,A1B1=4,所以AC=2\<A1C1=4\<6,所以AC1=6.过A,C作A1C1的垂线,垂足分别为E,F,则EF=AC=2\2,A1E=FC1=4\22\2=\2,所以EC1=3\2,则AE=\62—(3\2)2=3\.AA1与底面A1B1C1D1所成的角为上AA1E,且tan上A=3,B正确.设正四棱台ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R,球心【高三数学●参考答案第2页(共8页)】●HUN为N,设正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心分别为M,M1,则MM1=AE=3\2,且N在MM1上.设NM1=h,由NA1=NA,得h2十(2\2)2=(3\—h)2十(\2)2,解得h=\2,则正四棱台ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积为4π×(h2十8)=40π,D错误.12.100【解析】本题考查对数的运算,考查数学运算的核心素养.因为lgy=1,所以y=10,又lg儿5=5lg儿=y=10,所以lg儿=2,则儿=102=100. 13.6\2π【解析】本题考查圆的方程,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.由(儿2十y2—1)2—8(儿2十y2)十15=0,得(儿2十y2—1)2—8(儿2十y2—1)十7=0,即[(儿2十y2—1)—1][(儿2十y2—1)—7]=0,即儿2十y2=2或儿2十y2=8,所以曲线C表示两个同心圆,且这两个圆的半径分别为\2,2\2,所以曲线C的周长为2π×(\2十2\2)=6\2π.14.【解析】本题考查排列组合的实际应用,考查应用意识与分类讨论的数学思想.甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种:第一种,这3人都在第二排,共有AA种不同的安排方法;第二种,这3人中1人在第一排,2人在第二排,共有CAA=3AA种不同的安排方法;第三种,这3人中2人在第一排,1人在第二排,若第二排的这1人安排在中间的位置,则有CCAA=4AA种不同的安排方法,若第二排的这1人不安排在中间的位置,则有C(C—2)AA=8AA种不同的安排方法.故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为1十34十8AA=6=.15.【解析】本题考查直线与抛物线、基本不等式的综合,考查数学运算与数学抽象的核心素养.解:(1)因为A(6,m十2),B(24,m十8)是抛物线C:y2=2p儿(p>1)上的两点,((m十2)2=12p,所以〈………………………1分!(m十8)2=48p,则(())=4,整理得m2=16,解得m=士4.……………3分当m=—4时,12p=(m十2)2=4,解得p=<1,不合题意;…………4分当m=4时,12p=(m十2)2=36,解得p=3>1.…………5分故C的准线方程为儿=—.………………6分(2)由(1)知C的焦点为,0),…………7分2=0.……8分设P(儿1,y1),Q(儿2,y2),则儿1十儿2=3k6,……………9分所以|PQ|=儿1十儿2十p=3k6十3=6十,…………11分【高三数学●参考答案第3页(共8页)】●HUN所以|PQ|十k2=6十十k2≥6十2\,…………………12分当且仅当=k2,即k2=\时,等号成立,所以|PQ|十k2的最小值为6十2\.……………………13分评分细则:【1】第(1)问中,C的准线方程还可以写为2儿十3=0,第(2)问中,未写取等条件扣1分.【2】第(2)问中,也可以用弦长公式|PQ|=\求得|PQ|=6十不扣分.16.【解析】本题考查立体几何与空间向量的综合,考查空间想象能力与数学运算、直观想象的核心素养.(1)证明:连接A1C交AC1于点E,………1分则E为A1C的中点.………………………2分连接DE.因为D为A1B1的中点,所以DEⅡB1C,………3分又DEG平面AC1D,B1C丈平面AC1D,所以B1CⅡ平面AC1D.……………………5分(2)解:取AB的中点O,连接CO,DO.A1 A1因为AC=BC=6,AB=10,所以CO丄AB,且CO=\62—52=\11.…………7分→A以O为坐标原点,OC的方向为儿轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系→A则O(0,0,0),D(0,0,5),C(\11,0,0),A(0,—5,0),……8分B1EODB1EOyByC\→→所以AD=(0,5,5),AC=(\11,5,0).→→设平面ACD的法向量为m=(儿,y,z),则……………10分令儿=5,得m=(5,—\11,\11).………11分→易知平面A1AD的一个法向量为n=OC=(\11,0,0).………………→.……………13分由图可知,二面角C-AD-A1为钝角,所以二面角C-AD-A1的余弦值为…………15分评分细则:【1】第(1)问还可以先证明平面B1OCⅡ平面AC1D,再证明B1CⅡ平面AC1D,阅卷时,请按照步骤给分.【高三数学●参考答案第4页(共8页)】●HUN【2】第(2)问中,两个平面的法向量均不唯一,只要与对应法向量共线即可.【3】第(2)问还可以用这样的方法求解:取AB的中点O,连接CO,DO.依题意可得四边形AODA1为正方形.…6分因为AC=BC=6,AB=10,所以CO丄AB,………………7分 且CO=\62—52=\11.…………………8分在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1丄底面ABC,则AA1丄CO.…………9分因为AB∩AA1=A,所以CO丄平面ABB1A1.…………10分A1取AD的中点F,连接OF,CF,则OF丄AD.………………11分A1易证AD丄CF,………………12分所以上OFC为二面角C-AD-A1的补角.…13分A因为,所以CF=\,cos上OFC=,…………………14分DCB1B 所以二面角C-AD-A1的余弦值为—57.…………15分17.【解析】本题考查解三角形与平面向量,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.解:(1)因为b十c=3,b2十c2=5,所以(b十c)2=b2十c2十2bc=5十2bc=9,所以bc=2.…………………1分因为D为BC的中点,所以A—=(A—十A),…………2分则2,即|(c2十2bccosA十b2)……………4分=1,则AD=||=1.…………5分(2)因为sinAcosC=\19,sin(A—C)=sinAcosC—cosAsinC=,……………6分所以cosAsinC=,……………………7分则sinB=sin=sinAcosC十cosAsinC=,………………8分则,………………9分2=b,得a2—c2=b2.又b2十c2=5,所以a2=5—b2.…………10分因为1<b<\,所以\<c<2,所以b<c,则B<C,B为锐角,…11分【高三数学●参考答案第5页(共8页)】●HUN………12分整理得(5b2—23)(b2—2)=0,解得b2=2或b2=,……14分所以cosB=,…………整理得(5b2—23)(b2—2)=0,解得b2=2或b2=,……14分 又1<b<\,所以b=\2.………………15分评分细则:【1】第(1)问中,得到“bc=2”后,还可以这样解答: 由余弦定理得a=\b2十c2—2bccosA=\6.……………2分因为b十c=3,bc=2,所以b=1,c=2或b=2,c=1.……3分不妨假设b=1,c=2,则AD2=22十(\)2—2×2×\×(\62)22—12=1,则AD=1.……………………5分理的核心素养.解:不妨设提出的问题的3个选项依次为1,2,3,且设正确选项为1,人作答时能排除的选项为3,记Ci为人第一次答题时选择的是第i个选项,Di为机器第一次答题时选择的是第i(i=1,2,3)个选项,记E=测试者重复提问,F=测试者误判,G=机器改变选项.(1)1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为P(E)=P(C1D2十C1D3十C2D1)=×十×十×=.……………6分(2)当机器重复回答问题改变选项时,测试者误判的情况有三种:①若第一次答题时人和机器都选择1,则当重复提问时,人选择2,机器选择2或3,且测试者随机判断机器为人,则P(C1D1FG)=××××=;………9分②若第一次答题时人和机器都选择2,则当重复提问时,机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人,或人选择2且机器选择1,或人选择2,机器选择3且测试者随机判断机器为人,则P(C2D2FG)=××××十×十×××=;……12分③若第一次答题时人选择2,机器选择3,则当重复提问时,人和机器都选择1且测试者随机判断机器为人,或人选择2,机器选择1,或人选择2,机器选择2且测试者随机判断机器为人,则P(C2D3FG)=××××十×十×××=…………15分【高三数学●参考答案第6页(共8页)】●HUN所以P(F|EG)=P(C1D1FG十2()G十C2D3FG)=……………17分评分细则:【1】未写“不妨设提出的问题的3个选项依次为1,2,3,且设正确选项为1,人作答时能排除的选项为3,记Ci为人第一次答题时选择的是第i个选项,Di为机器第一次答题时选择的是第i个选项,记E=测试者重复提问,F=测试者误判,G=机器改变选项”,但是每一问的步骤都正确,不扣分.第(1)问中,“P(E)=P(C1D2十C1D3十C2D1)=×十×十×=”写为“P(E)=P(C1D2十C1D3十C2D1)=××3=”,不扣分.(1)由题意可知,第一次提问时人回答正确的概率为,机器回答正确的概率为,…2分设“1位测试者在图灵测试中不需要重复提问”为事件A,……………6分(2)设“第一次提问机器和人均回答正确,测试者重复提问且机器改变选项”为事件B,“第一次提问机器和人均回答错误,测试者重复提问且机器改变选项”为事件C,“测试者误判”为事件D,“测试者重复提问且机器改变选项”为事件E,B与C互斥,且E=B十C.P(BD)=××××=,………9分P(CD)=(1—×(1—××××十×十××=,……12分P(E)=[1—P(A)]×(1—=,……………………15分则P(D|E)==P(BDP)十(EP)(CD)==,所以在测试者重复提问且机器改变选项的前提下,测试者误判的概率为…………17分的核心素养.12232331122323313112=163×(29)十2×(43)=18.……………………2分22—3322—33(2)f(儿)=儿十儿十【高三数学●参考答案第7页(共8页)】●HUN—2儿十4.…………3分当儿或儿>1时,f/>。;当—<儿<1时,f/<。.………4分所以在和上是增函数,在上是减函数,所以f(儿)的极大值点为极小值点为1