八年级数学下册 讲义（北师大版）第五章第04讲 解题技巧专题：分式的混合运算及规律和新定义问题(7类热点题型讲练)（原卷版）

第04讲解题技巧专题：分式的混合运算及规律和新定义问题(7类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一分式的混合运算问题】 1【考点二分式的混合运算错解复原问题】 6【考点三分式的混合运算先化简求值问题】 11【考点四分式的混合运算规律探究问题】 14【考点五分式的混合运算“倒数法”求值问题】 17【考点六分式的混合运算新定义型问题】 19【考点七分式的混合运算假分数问题】 24【考点一分式的混合运算问题】例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【变式训练】1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）化简：(1)；(2)．2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：(1)；(2)．3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7)；(8)．【考点二分式的混合运算错解复原问题】例题：（23-24八年级上·河南商丘·期末）以下是某同学化简分式的部分运算过程：解：原式①②③……解：(1)上面的运算过程中第步出现了错误；(2)选择一个你喜欢的x的值代入求值．【变式训练】1．（2023·贵州遵义·一模）以下是小明化简分式的过程．解：原式第一步第二步第三步第四步(1)小明的解答过程在第______步开始出错；(2)请写出正确的解答过程．2．（2023·贵州遵义·一模）下列是某同学化简分式的部分过程：解：原式第一步；第二步；第三步；(1)上面的化简过程从第______步开始出现错误；(2)请你写出完整的解答过程．3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：解：原式

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步．

第六步(1)第二步的依据是______；(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；(3)请写出正确的化简过程；(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．4．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．……第一步……第二步……第三步……第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【考点三分式的混合运算先化简求值问题】例题：（23-24八年级上·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中．【变式训练】1．（2024·新疆克孜勒苏·二模）先化简再求值：，其中．2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）先化简，再从四个数中，选取一个恰当的数进行求值．3．（23-24八年级上·山东德州·期末）先化简，再求值：，其中．4．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）先化简，再求值，，其中满足．【考点四分式的混合运算规律探究问题】例题：（2023七年级上·福建·专题练习）观察下列计算，，，，(1)第5个式子是；第个式子是．(2)从计算结果中找规律，利用规律计算．(3)计算．【变式训练】1．（22-23九年级上·安徽·开学考试）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_________；(2)写出你猜想的第个等式：_________用含的等式表示），并证明．2．（2023·安徽合肥·三模）观察以下等式：第1个等式：，第2－个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：__________________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．3．（2023·安徽·一模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________________(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．【考点五分式的混合运算“倒数法”求值问题】例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读与理解阅读下列材料，完成后面的任务．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：若，求代数式的值．解：∵，∴，∴，∴．任务：已知．(1)求的值．(2)求的值．【变式训练】1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即．因此，所以的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值．【考点六分式的混合运算新定义型问题】例题：（23-24八年级上·山东德州·期末）定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即，则称分式P与分式Q互为“关联分式”．如与，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．(1)请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”．(2)求分式的“关联分式”．【变式训练】1．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”．(1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．①求P（用含x的式子表示）；②若为定值，求m与n之间的数量关系．2．（23-24八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①；②；③．(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？3．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①；

②；

③；

④．(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由．【考点七分式的混合运算假分数问题】例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）如：；解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数．2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．【阅读材料】在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数