《新思路数学》前言

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑新思路数学《教诲数学初中读本》前言为什么我们要写这个读本,而且叫“新思路”?新思路,不是新数学。还是本来的初中数学,不是讲另外的数学内容。就好比“条条道路通罗马”,沿不同的道路,到同一个罗马。我们是沿另一条道路,到同一个初中数学。初中数学就是我们要到的“罗马”。几何、代数和三角,是中学数学课程的主要内容。初中数学是它们初出茅庐开始建功立业的舞台。几何研究的对象是图形。研究主意以推理为主,从容易的显然的命题出发,推出不容易不显然的结论。在数学教诲的历史上,几何推理是训练学生逻辑思维的重要途径。醉翁之意不在酒,在乎山水之间。几何推理之意不仅在推几何结论,更在乎借助几何训练逻辑推理。这是单纯的逻辑课程或剥离了数学内容单纯讲逻辑用语不能代替的。我们坚持必须推理,不能让学生误认为知识是数学家凭自己的权威规定出来的。数学家唯一的权威就是讲道理。任何人只要懂了同样的道理,就可以同样地举行推理,得出同样的准确结论,在这个问题上有同样的权威。除了几何推理之外,还有代数推理,通过计算得出结论。计算的根据是运算律。运算律也是容易的显然的命题。在运算律指挥下举行计算,就是从运算律出发举行推理。计算过程有一定之规,可以按部就班举行,不像几何推理那么灵便,而是更死板,因此更容易控制。代数计算可以用来解决各种问题,包括几何问题,详细做法是建立直角坐标系,用坐标表示点,方程表示曲线,通过坐标和方程的计算推出几何。这部分内容叫做解析几何。本来就是初中数学的“罗马”的重要组成部分。还有一条用计算推几何性质的的路径是三角。几何与三角研究的对象都是图形,首先是最容易但内容依然丰盛的三角形。几何侧重定性的研究,三角侧重定量的研究。但三角的“定量”不是处理数据,而是将图形性质转化为数据,将角与边的关系、方向与位置的关系通过三角函数转化为数,然后交给代数运算去处理。三角是联系几何与代数的一座桥梁,是沟通初等数学和高等数学的一条通道。函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识与三角有关,大量的实际问题的解决要用到三角知识。三角固然是桥梁,这座桥却修得有点晚。几何大厦都已经初具规模了,才请三角来修桥。修桥之前只能由几何推理孤军奋战做定性研究。几何的优点是形象直观,一张图一看就懂,胜过千言万语。缺点是:定性研究大而化之,缺乏量化;逻辑推理过于灵便,缺乏一定之规,难以控制。孤军奋战建几何,建得辛劳,学得也辛劳。三角空怀特技却袖手旁观难以施展,颇感委屈。代数隔岸观火,没有桥梁不能过河助阵,被冷落在对岸。为什么三角不能早点出场呢?因为三角需要的决定工作太多。至少必须先有相似三角形,才干有三角函数。相似之前必须有全等三角形。按照郑重的逻辑推理,由全等过渡到相似,要经过相似比为正整数、有理数、实数三个阶段。有理数到实数需要用到极限。即使把这些过渡全砍了,路途依然遥远。张景中先生经过多年探索,尝试了一条新路:用面积计算协助建立几何系统。面积公式小学就学过了,可以直接作为推理的出发点。平行四边形面积等于底乘高,三角形面积等于底乘高除以2,直接作为公理,学生容易采纳,逻辑也说得通。面积公式的底和高不分整数分数无理数,绕过了从整数到实数的鸿沟。还有一个优点,平面图形的面积很容易做加法。一个图形划分成几部分,总面积等于各部分面积之和。既直观,又显然,还不失逻辑严密性。在平面上算线段,方向既不相同也不相反的两条线段怎么相加相减,就需要大费周折。我们这个读本按照这个思路通向初中数学的“罗马”。既不是“奉天承运皇帝诏曰”强行颁布几何定理,也不按传统路径让几何推理孤军奋战,而是引入面积计算作为一种重要推理方式,与几何推理分工合作,共同建设几何系统。面积计算也是代数推理,代数运算提前进场助阵。几何、代数、三角三驾马车齐头并进,既不失严密,又便于学习,可望减低难度。这种教学方式在一些中学举行过实验,具有可行性。然后写成这个读本,以便进一步实验。张景中先生的计划是用单位菱形的面积代表菱形内角的正弦。倘若内角是直角,就是单位正方形,面积就是1。内角不是直角,面积就要打折扣,折扣率由角决定,就是这个角的正弦。倘若用底乘高的公式来计算单位菱形的面积,底边长为1,面积就等于高,折扣率就是高与1之比,也就是直角三角形的直角边与斜边长之比,与传统正弦的定义一致。用面积而不用边来计算正弦,带来无数优势。面积比边更直观,更容易做加法。用计算来推理,轻车熟路,操作容易不容易错。正弦定理、和角公式、正弦增减性轻巧算出,传统的教学难点无形中出现了。不妨以和角公式为例,用如下一幅图展示面积相加的妙用:图中OD⊥AB,△OAB的面积S△AOB=S△AO1sin不需要精巧设计,两个三角形面积相加就得到和角正弦公式。普通来说,几何推理更形象直观,容易理解它的几何意义。缺点是过于灵便,不容易控制。代数推理就是计算。计算的准确性由运算律保证,不容易犯错。计算过程与数的计算相同,都有一定之规,容易控制。缺点是计算过程是一个黑匣子:输入已知算式,输出计算结果,中间过程的几何意义都藏在运算律中了,看不出来。这既是优点也是缺点。优点只做代数运算不必管几何意义,得心应手。缺点是看不懂原理。因此,异常重要异常基本的几何性质我们依然先用几何推理做一遍,例如平行四边形的判定和性质,三角形全等的判定,等腰三角形的性质,用几何图形的旋转、平移来解释,尽量直观。以后用面积计算再推一遍,看成训练面积主意的习题。代数要协助研究几何和三角,首先需要修练自己。代数研究的对象是算式。研究主意是计算,是算式的加减乘除。小学学了算术的加减乘除。初中为什么要学代数的加减乘除?算术只能算有限个已知数的加减乘除,不能算无穷多数。只能由已知数算出未知数,不能由未知数算出已知数或算出其它未知数。现实却常常需要算无限个数,要求用未知数算出已知数或其它未知数。算术不能算,代数才干算。怎么算?用字母代表数。一个字母代表无穷多个数,也代表未知数的无穷多个可能的值。只算一次,一次不止顶一万次,而是顶无穷多次,得到的结果就代表无穷多不同答案。有一种时髦,是训练学生看见数据“探索”逻辑。例如,写几个平方数0,1,4,9,16,25,…计算其中相邻两数之差得到1,3,5,7,9,….看见到它们是前若干个奇数,就“由此得到”所有的相邻平方数之差都满意同样的逻辑。看见是有益的,能猜到逻辑也是可喜的,“由此得到”却是错误的。只看见有限个数据,不能由此断定无穷多个平方数也满意同样的逻辑。只能预测,不能成为结论。惟独“探”,没有“究”。必须对所有的平方数所有验证才干得出结论,n2n−1就是所有的奇数。不必等教了两数差的平方公式再算n−12,或着教了两数平方差公式再算n2−无数人没有感到字母运算用了运算律。他们觉得没实用运算律,用的书上教的运算法则。3+2教了掰手指,分数1/3+1/2教了必须通分,异号两数相加(-3)+2教了绝对值相减。字母运算教了同底数幂相乘指数相加、去括号、合并同类项等等。算术法则只能适用于一小部分数,例如掰手指只能算十以内的正整数,字母代表所有的数,其中大量的不能掰手指,因此不能掰手指算字母。惟独能够适用于所有的数的运算法则才干适用于字母。所有这些运算法则所有都是由运算律推出来的。包括通分约分、去括号、合并同类项等等,都是运算律推出来的。运算律很少,推出来的法则却运算律不多,众所周知的有交换律,结合律,分配律。还有加法的0的性质0+a=a,乘法的1的性质1a=a。引入分数之后乘法添加倒数1/a的定义a1/a字母运算的加减乘除全靠这些运算律,不然就彻低没法运算。其它法则都由它们推出来。例如去括号和合并同类项由分配律推出来。甚至0的乘法性质0a=0也由加法性质0a+a=0a+1a=0+1a看见有篇文章研究为什么−12=1,举了各种推理过程,却又疑惑它们是循环论证。其中有以−12为例。−1+1=0与−1×1−两边同加1得−1−1+−1+1=1固然由运算律建立运算法则经过了郑重推理。你适用这些法则的时候可以不懂这些推理,但应该知道这些法则的来源。不要以为没有运算律什么事,把老祖宗忘了。就好比你可以不会种田,但别认为米饭是碗里长出来的或是超市的货架上长出来的。更重要的是,你可以随时利用这个来源补充你的资源,例如,当我们让学生计算a+ba−b的时候,就别说还没有教平方差公式怎么能算这个乘法。我们不是教平方差公式,只是让学生领教字母运算的威力,让学生通过字母运算做这道乘法习题,理所固然不教答案,让学生自己做答案。我们也不是教字母运算法则,而是让学生利用已经在小学学过的运算律做乘法。不管做出什么答案,都不超纲。不管他算a+ba−b还是a+ba2等差数列和等比数列是高中数学的内容,高中教了等差数列和等比数列的名称,教了通项公式,求和公式。倘若初中教“等差数列”、“等比数列”的名称,教公式,要求学生套公式求通项或求和。这就是超纲。但倘若你什么都不教,把这些数排在那里,不说它是等差数列,不说是数列,只说是“一列数”。也不教公式,让学生自己想主意求和1+2+3+⋯1=一开始用加法交换律。然后用“50个相同加数101的和等于乘积101×50”。这些都是小学知识。并不因为高斯是伟大的数学家就在9岁的时候想出一个谁也不懂的主意求和。恰好相反,他想的是一个大家都懂的主意。大家都懂,但是大家都想不到这么用,教师也没想到。这就是9岁小高斯的伟大之处:能够用大家都懂的容易主意解决大家都解决不了的“难题”,让大家大概你觉得,高斯那么伟大,谁也赶不上。后来的高斯确实高不可攀。但是9岁的高斯可以赶,可以攀,应该赶,应该攀。怎么赶,怎么攀?建立一个意识,并且形成习惯:努力利用已经学过的知识解决没学过的问题。做出答案了,有可能你就发现了一项新知识。这叫授之以渔,或曰素质教诲,核心素质。喜欢动脑筋的人可能还会问:运算律是天然数运算总结出来的逻辑,为什么新添加的分数,负数也恰好满意这些运算律呢?不是新数恰好满意旧的运算律,而是新数的运算都是按依然的运算律制定出来的,固然应该满意。天然数的算法本身就是按运算律制定的。学算术一开始背天然数的顺序0,1,2,3,4,5,…就是背3这是按结合律规定加法。为什么3×2=3+33这是按分配律和1的乘法性质a×1人类历史上,加减乘除的运算法则最开始应该是按现实需要制定的。后来发现按现实需要制定的算法都满意运算律,符合运算律的算法适用于广泛的现实需要。因此,以后扩充数就按照运算律制定算法。不但数的运算满意运算律,数以外的其它对象也可以制定运算,只要满意运算律,就是合法的运算,就有资历分享运算律推出的所有性质。以下就是一例:上图同位角∠1=∠2相等。怎样由此导出每个角由始边旋转到终边得到,刻画了始边到终边的方向改变,可以写成:终边方向-始边方向=旋转角。从而有:终边方向=始边方向+旋转角。同位角∠1=∠TSA与∠方向相同的两条始边向左旋转相等角度∠1与∠2到达的终边SA,TC固然应该方向相同。因此SA//TC.都知道可以由第三条直线与前两条直线相交所成的角来判定平行。为什么要用第三条直线?上图讲清晰了:第三条直线的作用是提供了不同点S,T出发的同方向始边ST,方向固然不是数,满意运算律也能加减。另一方面,能够加减了,就能用数表示。选一个公共的始边方向用0∘表示,0∘方向旋转到每个方向有个旋转角,终边方向=始边方向+旋转角=0+旋转角旋转角的度数就变成终边方向的度数了。倘若0∘表示的始边方向