2025届安徽省长丰二中高三年级摸底考试数学试题含解析

2025届安徽省长丰二中高三年级摸底考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A． B．C． D．2．已知是函数的极大值点，则的取值范围是A． B．C． D．3．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．4．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A．B．C．D．5．已知平面向量，，，则实数x的值等于（）A．6 B．1 C． D．6．已知复数和复数，则为A． B． C． D．7．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）A． B． C．1 D．38．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（）A．1194 B．1695 C．311 D．10959．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（）A． B． C． D．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11．已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（）A． B． C． D．12．设全集，集合，.则集合等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则_____．14．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则_______，_______．15．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．16．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx．（1）讨论函数f(x)在[−π，π]上的单调性；（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点．18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若射线与和分别交于点，求．19．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函数f(x)的最大值m；（2）正数a，b，c满足a+2b+3c=m，求证：20．（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：时间人数156090754515（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天办理社保手续所需时间超过4天60总计21090300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87921．（12分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.22．（10分）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意都有，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．2．B【解析】

方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴，即在上单调递增，时，，，且，∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．故选B．方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．3．A【解析】

设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可.【详解】设，延长至，使得，连，在直三棱柱中，，，四边形为平行四边形，，（或补角）为直线与所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故选：A.本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.4．B【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．5．A【解析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】，，，，即，故选：A本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.6．C【解析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．【详解】z1z2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案为C．熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.7．A【解析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，∴，故选：A.本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.8．D【解析】

确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．【详解】时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．故选：D．本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．9．B【解析】

先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有：、、、、、，在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：B.本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.10．A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11．C【解析】

求出导函数，由有不等的两实根，即可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论．【详解】，.若存在极值，则，又.又．故选：C．本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．12．A【解析】

先算出集合，再与集合B求交集即可.【详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．3﹣4i【解析】

计算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算得到答案.【详解】∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．故答案为：3﹣4i．本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.14．【解析】

由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，从而求得，结合范围，即可得到答案运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案【详解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面积公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案15．【解析】

由题意容积，求导研究单调性，分析即得解.【详解】由题意：容积，，则，由得或（舍去），令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时.故答案为：本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．【解析】

先求得与关于轴对称的函数，将问题转化为与的图象有交点，即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.【详解】因为关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解.时符合题意.时转化为有解，即，的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．见解析【解析】

（1）f(x)=2x−4xcosx−4sinx+4sinx=，由f(x)=1，x∈[−π，π]得x=1或或．当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x1f(x)−1+1−1+f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．（2）由（1）得极大值为f(1)=−4；极小值为f()=f()<f(1)<1．又f(π)=f(−π)=π2+4>1，所以f(x)在，上各有一个零点．显然x∈(π，2π)时，−4xsinx>1，x2−4cosx>1，所以f(x)>1；x∈[2π，+∞)时，f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1，所以f(x)在(π，+∞)上没有零点．因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x)，所以f(x)为偶函数，从而x<−π时，f(x)>1，即f(x)在(−∞，−π)上也没有零点．故f(x)仅在，上各有一个零点，即f(x)在R上有且仅有两个零点．18．（1）：;:．(2)【解析】

（1）由可得，由，消去参数，可得直线的普通方程为．由可得，将，代入上式，可得，所以曲线的直角坐标方程为．（2）由（1）得，的普通方程为，将其化为极坐标方程可得，当时，，，所以．19．（1）（2）见解析【解析】

（1）利用绝对值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“的代换”的方法，结合基本不等式证得不等式成立.【详解】（1）由绝对值不等式性质得当且仅当即时等号成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得当且仅当时等号成立，即，所以.法2：由得，，当且仅当时“=”成立.本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题.20．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出的观测值，即可进行判断；（2）先计算出时间在和选取的人数，再求出的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列，结合分布列即可求得数学期望.【详解】（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表如下：办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天453075办理社保手续所需时间超过4天16560225总计21090300结合列联表可算得.有95%的把握认为“办理社保手续所