八年级数学下册 讲义（北师大版）第一章第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)（原卷版）

第02讲等边三角形的性质与判定(4类热点题型讲练)1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.知识点02等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形.题型01等边三角形的性质【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）如图，是等边三角形的中线，，则的度数为．【变式训练】1．（2022下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则．2．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，和均为等边三角形，点分别在上．（1）若，则度；（2）是否与全等？．（填“是”或“否”）题型02等边三角形的判定【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．

(1)求证：；(2)若，判断的形状，并说明理由．2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．

(1)求证：是等腰三角形；(2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论．题型03等边三角形的判定和性质【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点．(1)求证：；(2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边中，点在内，，且，．(1)试判定的形状，并说明理由；(2)判断线段，的数量关系，并说明理由．2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，．(1)求的度数；(2)判断的形状并加以证明；(3)连接，若，求的长．题型04含30°角的直角三角形三边的数量关系【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．(1)求证：；(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．【变式训练】1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在中，，点是上一点，若，则．2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）已知：如图，在等边中，点D是上任意一点，点E在BC延长线上，连接，使得．(1)如图1：求证：；(2)如图2，取的中点F，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，求证：．一、单选题1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为（）A． B． C． D．2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在中，，，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（）

A． B． C． D．4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，，点是射线上一点，且，点，在射线上，且，．则的长为()A．1 B．2 C．3 D．45．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（

）

A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题6．（2023上·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知等边三角形的周长为18，则边长为．7．（2023上·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在中，，那么．若P是边上一动点，连接，则的长的取值范围为．8．（2023上·安徽淮北·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，于点．（1）；（2）若，，则的长为．9．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图所示摆放．将两个三角板抽象成如图所示的和，点依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为．10．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图1是由四片大小一样的门扇连接成的折叠门，该门的轨道装在天花板上，图2是其示意图．已知轨道，在推拉合页或时，滚轮，在轨道上移动，已知每小片门扇宽度均相等()．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，，，此时门被关上部分的长是；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，，，相比第一次，门又拉伸了．

三、解答题11．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，连接．(1)若，求的长；(2)判断的形状，并说明理由．12．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．

(1)证明：；(2)求的长．13．（2023上·山东日照·八年级校考期中）如图,为等边三角形,,相交于点,于,,．(1)求证:;(2)求的度数;(3)求的长．14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点．

(1)如图1，若分别为的中点，求证：(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，．(1)求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点是外一点，连接，，，且平分，若，，求的长．16．（2023上·湖北鄂州·八年级