八年级数学下册 讲义（北师大版）第五章第01讲 认识分式(13类热点题型讲练)（解析版）

第01讲认识分式(15类热点题型讲练)1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、无意义、分式值为零、分式值为正（负）、分式值为整数的条件；2.了解分式的基本性质，掌握分式的约分、最简分式的概念知识点01分式的意义1.分式的意义知识点02分式的值为正或为负（1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0（2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0知识点03分式的基本性质3.分式的基本性质题型01分式的识别【例题】（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）在，，，，，中分式的个数有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：在，，，，，中，，，中分母是字母，属于分式，共3个，故选：A．【变式训练】1．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列各式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式，熟练掌握分母整式中含有字母是解题的关键．【详解】解：根据题意，得是分式，其余都不是，故B正确．故选：B．2．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）在代数式中，属于分式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，可以判断出题中六个代数式有个为分式，由此得出结论，解题的关键是正确理解分式的定义，形如：且为整式，中含有字母，这样的代数式是分式．【详解】根据分式的定义可知：为分式，共个，故选：．题型02分式有意义的条件【例题】（2023上·湖南永州·八年级校联考期中）若分式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，求解即可得到答案，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解此题的关键．【详解】解：由题意得：，解得：，的取值范围是，故选：D．【变式训练】1．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）若使分式有意义，则字母x的满足的条件是（

）A． B． C．且 D．或【答案】C【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，分母不等于零．【详解】解：要使分式有意义，则，∴，∴且，解得：且，故选：C．2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式有意义，则的取值范围为____．【答案】【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．题型03分式无意义的条件【例题】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x__________时，分式无意义．【答案】【分析】根据分式无意义的条件进行计算即可．【详解】解：∵分式无意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式中的分母为0时，分式无意义是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义．【答案】【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由分式没有意义，可得，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．2．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式无意义，则x的取值范围是_________．【答案】【分析】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可．【详解】解：∵分式无意义，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键．题型04分式值为零的条件【例题】（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式的值为0，则x的值为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，解得：．故选：D．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式的值为零，则x的值为（

）A． B．0 C．3 D．【答案】D【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：解得：，故选：D．【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件．2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式的值为0，则的取值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零，据此解答．【详解】解：依题意得：且，解得：，故选B．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．题型05分式的值【例题】（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）若，则分式__．【答案】2【分析】将分式变形为，再把代入计算即可．【详解】解：，将代入分式得：原式故答案为：2．【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的加减法和具备整体代入思想是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）当a＝1时，分式的值是______．【答案】2【分析】直接把a的值代入计算即可．【详解】解：当a=1时，．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．2．（2023春·七年级单元测试）已知，则分式的值为______．【答案】6【分析】根据求得，然后代入求值即可得解．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：6．【点睛】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的约分是解题的关键．题型06求使分式为正(负)数时未知数的取值范围【例题】（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值大于零，则x的取值范围是______．【答案】且【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．【详解】解：∵分式的值大于零，∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为负数，x的取值范围是_________．【答案】且【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案.【详解】解：由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：由①得：由②得：所以：x的取值范围是且故答案为：且【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键.2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式的值是正数，那么的取值范围是_____．【答案】x＞-4且x≠0【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x+4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．【详解】解：∵＞0，∴x+4＞0，x≠0，∴x＞-4且x≠0．故答案为：x＞-4且x≠0．【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，注意此题中的x≠0．题型07求使分式值为整数时未知数的整数值【例题】（2023春·七年级单元测试）若表示一个负整数，则整数________．【答案】或或【分析】由表示一个负整数，m为整数，可得或或，进而可得答案．【详解】解：因为表示一个负整数，m为整数，所以或或，所以或或；故答案为：或或．【点睛】本题考查了分式为整数时相关参数的求解，正确理解题意，得出是4的负约数是解题关键．【变式训练】1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可）【答案】0或1（答案不唯一）【分析】分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成．【详解】解：∵，若原分式的值为整数，那么由得，；由得，；由得，；由得，；∴或或0或1，故答案为：0或1(答案不唯一)【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键．2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.【答案】7或9【分析】根据分式的性质即可求出答案．【详解】解：∵的值为正整数，∴或3，∴整数的值为7或9，故答案为：7或9．【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．题型08判断分式变形是否正确【例题】（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答．【详解】解：，故A正确；与不一定相等，故B错误；与不一定相等，故C错误；当时，，故D错误，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可.【详解】解：A、，故本选项变形错误；B、，故本选项变形正确；C、，故本选项变形错误；D、，故本选项变形错误；故选：B.【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项正确，符合题意；B.，故该选项正确，符合题意；C.，故该选项正确，符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．题型09利用分式的基本性质判断分式值的变化【例题】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值（

）A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍【答案】D【分析】先用代替分式中的x、y进行计算，再比较大小即可．【详解】解：用代替分式中的x、y得．那么这个分式的值扩大2倍．故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是注意分式的基本性质的使用，以及整体代入．【变式训练】1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（

）A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍【答案】A【分析】根据分式的基本性质（无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变）解答．【详解】解：根据题意，得：，即分式的值缩小到原来的，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的【答案】A【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则，即可解答．【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍，∴，∴分式的值不变，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．题型10将分式的分子分母的最高次项化为正数【例题】（2023春·浙江·七年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数．(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可．【详解】（1）解：原式＝；（2）原式＝．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“”：(1)；(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；（3）利用分式的基本性质解答，即可求解；（4）利用分式的基本性质解答，即可求解．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．2．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数．(1)；(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．题型11将分式的分子分母各项系数化为整数【例题】（2023秋·八年级单元测试）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．（1）_________；（2）__________；（3）________．【答案】【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．【详解】解：（1）；故答案为：（2）；故答案为：（3）故答案为：【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_____．【答案】【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．【答案】【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．【详解】解：分式，分子、分母同时乘以10，则有原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．题型12最简分式【例题】（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；B、，是最简分式，符合题意；C、，不是最简分式，不符合题意；D、，不是最简分式，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各选项进行化简判断即可．【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意，故选：C．【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为(

)①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．【详解】解：①是最简分式；②是最简分式；③，不是最简分式；④，不是最简分式；综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义，分子、分母中没有公因式的分式是最简分式．题型13约分【例题】（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________．【答案】【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解．【详解】解：（1）；故答案为：；（2）．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的约分化简，首先把分式的分子和分母分解因式，约分化简即可求解．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）已知，则_____________，_____________．【答案】5/0.4【分析】根据得出，把代入求解即可．【详解】解：∵，∴，把代入，把代入，故答案为：5，．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是根据题意得出，以及掌握分式的约分．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）约分：（1）___________；（2）___________；（3）___________．【答案】【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．【详解】解：（1）；故答案为：（2）；故答案为：（3）故答案为：【点睛】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式．一、单选题1．（2024上·福建福州·八年级校考期末）若分式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了分是有意义的条件，由分式有意义的条件：分母不为0进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，故选：C．2．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（

）A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍【答案】C【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，根据题意得出，再根据分式基本性质化简即可．【详解】，把分式中的m和n都扩大3倍，分式的值不变，故选：C．3．（2023上·河南漯河·八年级漯河市实验中学校考阶段练习）在中，分式的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】题目主要考查分式的判断，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根据分式的定义即可判断．【详解】解：在中，是分式，共5个，故选：C．4．（2023上·湖北十堰·八年级统考期末）下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；根据分式的基本性质判断即可．【详解】A项，和都是最简分式，其值显然不一定相等，故本项不符合题意；B项，，故该选项正确，符合题意；C项，，故该选项不正确，不符合题意；D项，，计算不正确，故本项不符合题意；故选：B．5．（2023上·河北廊坊·八年级统考期末）下列说法错误的是（）A．若式子没有意义，则x的取值范围是B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍C．分式的值不可能等于0D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个【答案】B【分析】本题考查分式的定义，性质，分式有意义和分式的值为0，直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案即可．【详解】解：A．若式子没有意义，则，即，故不符合题意；B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，即，所以分式的值不变，故符合题意；C．当，即时，，所以分式的值不可能等于0，故不符合题意；D．若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故不符合题意；故选：B．6．（2024上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）已知，则的值是（）A． B．8 C． D．6【答案】A【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键．由可得进而得到，然后将整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴，即，则，∴．故选A．二、填空题7．（广西壮族自治区桂林市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）将分式化简的结果是．【答案】【分析】本题考查了分式的约分，先将分子因式分解，分解成乘积的形式，然后再约分即可求得结果，掌握因式分解是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．8．（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知时，分式无意义，则．【答案】2【分析】本题考查分式意义的条件，关键在于通过分式无意义算出a的值．当分式无意义时分母为0，据此可求出a的值．【详解】解：∵分式无意义，∴，此时，即：解得：．故答案为：2．9．（2023上·四川眉山·九年级校考期中）如果代数式有意义，则x的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．【详解】解：要使代数式有意义，∴，∴，故答案为：．10．（2024上·江西上饶·八年级统考期末）整数为时，式子为整数．【答案】【分析】由式子为整数可知或或或，从而可解得m的值．考查的是分式的值，根据式子为整数确定出的值是解题的关键．【详解】∵，∴或或或，解得：或或（不合题意，舍去）或．故答案为：．11．（2024上·河南信阳·八年级统考期末）已知分式，当时，分式的值为，当时，分式无意义，则．【答案】【分析】本题考查分式，掌握分式有意义条件和分式为零的条件是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，解方程求出、的值，代入代数式求出结果即可．【详解】解：根据题意得：，解得：，所以．故答案为：．12．（2022下·山西运城·八年级校联考阶段练习）已知（，且），，，…，则．【答案】/【分析】本题考查了分式的规律探究问题，先求得前个式子，找到规律，3个一循环，进而即可求解．【详解】根据规律可知，，．．故答案为：．三、解答题13．（2023上·全国·八年级课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，，，，，，，，，．【答案】整式：，，，，，，；分式：，，，【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可．【详解】解：整式有：，，，，，，；分式有：，，，．14．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）已知：，求下列各式的值(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，然后代入计算即可；（2）由可得，然后代入计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了分式的约分、代数式求值等知识点，灵活对已知代数式进行变形是解答本题的关键．15．（2023上·全国·八年级课堂例题）当取何值时，下列分式的值为0？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)无解(4)【分析】本题考查了分式为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，关键是熟练掌握分式值为零